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Alexander Fufaev

Effektive Masse der Ladungsträger - im Kristallgitter

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Effektive Masse \( m(\vec{k}) \) - ist die Masse eines Ladungsträgers (z.B. eines Elektrons), die von seinem Wellenvektor \( \vec{k} \) abhängig ist.

Wozu braucht man effektive Masse?
Mithilfe der effektiven Masse kann ein Bandelektron als ein freies Elektron beschrieben werden, wobei die Wechselwirkung des Bandelektrons mit dem gitterperiodischen Potential in die k-abhängige effektive Masse überführt wird.

Effektive Masse (richtungsabhängig) - im Kristallgitter 1 \[ \left(\frac{1}{m_{\text{eff}}}\right)_{ij} ~=~ \frac{1}{\hbar^2} \, \frac{\partial^2 \mathcal{E}(k) }{\partial k_i \, \partial k_j} \] mit \( i,j \in \{ x,y,z \} \).

An der Formel 1 für die effektive Masse kannst du folgende Erkenntnisse gewinnen:

Falls die effektiven Massen in jede Richtung gleich sind, dann vereinfacht sich die Formel 1 zu:

Effektive Masse (richtungsunabhängig) - im Kristallgitter 2 \[ m_{\text{eff}} ~=~ \hbar^2 \, \left( \frac{\partial^2 \mathcal{E}(k) }{\partial k^2} \right)^{-1} \]

Beispielsweise an der Ober- bzw. Unterkante eines Bands (in der Umgebung von Maxima und Minima) sind die effektiven Massen gleich, was die Nutzung der Formel 2 ermöglicht. Die Maxima und Minima des Bandverlaufs können harmonisch angenähert werden (isotroper, parabolischer Verlauf): 3 \[ \mathcal{E}(k) ~=~ \mathcal{E}_0 ~\pm~ \frac{\hbar^2}{2 m_{\text{eff}}} \, \left( k_{\text x}^2 +k_{\text y}^2 + k_{\text z}^2 \right) \]

Im Falle einer parabolischen Dispersion 3 ist das Konzept der effektiven Masse insbesondere sinnvoll, weil die effektive Masse nämlich an diesen Stellen konstant ist.

Wenn sich der Ladungsträger aus der Ober- bzw. Unterkante wegbewegt, dann kann der Bandverlauf nicht mehr wie in 3 angenommen werden, was dazu führt, dass die effektive Masse abhängig vom Wellenvektor \( \vec{k} \) wird.

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