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Alexander Fufaev

Fadenstrahlrohr: so findest Du Masse & Ladung heraus!

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Fadenstrahlrohr-Versuch - ist ein Experiment, mit dem Du die spezifische Ladung q/m von geladenen Teilchen bestimmen kannst, in dem Du sie in ein Magnetfeld hineinschickst und dann Lorentzkraft und Zentripetalkraft ausnutzt.

Fadenstrahlrohr-Versuch: Aufbau + Kreisbahn Speichern | Info
Schematischer Versuchsaufbau vom Fadenstrahlrohr mit eingezeichneter Elektronen-Kreisbahn.

Elektronenkanone - damit erzeugst Du einen Elektronenstrahl. Die Kanone besteht aus einer Glühwendel, die mithilfe einer Heizspannung erhitzt wird. Dadurch bildet sich eine Elektronenwolke an der Glühwendel aus. Mittels einer angelegte Beschleunigungsspannung \( U_{\text B} \) zwischen der Glühwendel und der durchlässigen Anodenblende, beschleunigst Du die Elektronen. Nach dem Verlassen der Anodenblende (aus der Elektronenkanone) kommen die Teilchen mit der Geschwindigkeit \( v \) heraus. Auf diese Weise entsteht ein Elektronenstrahl.

Mit einer anderen Methode kannst Du natürlich andere geladene Teilchen erzeugen. Es müssen nicht unbedingt Elektronen sein. Sie sind einfach nur der Klassiker.

Der aus der Elektronenkanone austretende Teilchenstrahl gelangt dann in das homogene Magnetfeld zwischen zwei Helmholtz-Spulen. Das sind einfach kreisförmige elektrische Spulen, zwischen denen sich ein homogenes Magnetfeld ausbildet, wenn Du duch die Spulen einen elektrschen Strom durchjagst. Die magnetische Flussdichte \(B\), welche die Stärke des Magnetfelds beschreibt, wurde so eingestellt, dass die Magnetfeldlinien immer senkrecht zur Bewegungsrichtung (also zur Geschwindigkeit \( v \)) der Teilchen zeigen. Damit wird eine wichtige Formel, die Du gleich kennenlernst, super einfach werden.

Der Teilchenstrahl (und eventuell die Kanone) muss sich in einem Glaskolben befinden, in dem ein Gas drin ist (z.B. Wasserstoff). Denn nur so kannst Du die Bewegung der Teilchen im Magnetfeld sichtbar machen. Die fliegenden Elektronen werden an die "im Weg stehenden" Wasserstoffatome durch Stöße einen Teil ihrer Energie abgeben. Die Atome werden deswegen energetisch angeregt. Nach einer sehr kurzen Zeit strahlen sie die erhaltene Energie in Form von sichtbarem Licht wieder ab. Und dieses Licht wirst Du sehen können.

Was Du dann beobachten wirst, ist - eine Kreisbahn des Elektronenstrahls!

Wenn der Gasdruck im Kolben zu groß gewählt wird, dann werden Elektronen allzu stark von den Gasatomen abgebremst. Das würde den Wert der spezifischen Ladung stark verfälschen! Deshalb wählst Du den Druck im Glaskolben so gering wie möglich, aber eben so, dass Du gerade noch eine sichtbare Anregung der Atome - ein Leuchten - erkennen kannst, um nicht nur die Kreisbahn zu bestaunen, sondern auch ihren nicht verfälschten Kreisbahnradius messen zu können.

Drei-Finger-Regel Speichern | Info
Richte Deine Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger wie hier gezeigt, um die Ablenkrichtung der Elektronen herauszufinden.

Du weißt hoffentlich, dass eine elektrische Ladung (in diesem Fall: Elektron) eine sogenannte Lorentzkraft erfährt, welche die bewegten Ladungen im Magnetfeld ablenkt.

Die Richtung der Lorentzkraft bestimmst Du mit der Drei-Finger-Regel. Für negative Ladungen benutzt Du die linke Hand. Für positive Ladungen die rechte. Da Du Elektronen hast, nimmst Du also die linke Hand:

Wenn Du die Drei-Finger-Regel richtig angewendet hast, muss Dein Mittelfinger - in jeder Position des bewegten Elektrons - bei der kreisförmigen Bewegung in die Kreismitte zeigen; denn die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung.

Spezifische Ladung eines unbekannten Teilchens

Die spezifische Ladung ist das Verhältnis der Teilchenladung \( q \) zu seiner Masse \( m \), also \( \frac{q}{m} \). Mit dem Fadenstrahlrohr kannst Du statt Elektronen andere geladene Teilchen untersuchen, falls Du ihre Eigenschaften nicht kennst. Du könntest beispielsweise mit dem Fadenstrahlrohr die Masse des geladenen Teilchens herausfinden, wenn Du zumindest seine Ladung kennst. Oder andersherum. Wenn Du dagegen weder seine Ladung noch seine Masse kennst, dann kannst Du zumindest sein Verhältnis (also die spezifische Ladung) bestimmen. Beispiel: Unterschied Ladung / spezifische Ladung Elementarladung e = 1.6·10-19C eines Elektrons und eines Protons ist zwar gleich; ihre spezifische Ladungen e/m dagegen nicht - weil die Masse des Protons mp viel größer ist als die Masse des Elektrons me.

Lorentzkraft (magnetische Kraft): Kreisbahn Speichern | Info
Entstehung der Kreisbewegung durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld des Elektrons zeigt.

Wenn die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Magnetfeldlinien wie in diesem Fall senkrecht aufeinander stehen, dann gilt:

Formel: Lorentzkraft
hier ist nur der magnetische Anteil der Lorentzkraft relevant, der auf bewegte Ladungen wirkt
1 \[ F_{\text L} ~=~ q \, v \, B \]
Mehr zur Formel...
  • q: Elektrische Ladung (bei Elektronen: Elementarladung: e) in C
  • v: Geschwindigkeit der Ladung in m/s
  • B: Magnetische Flussdichte in T
Zentripetalkraft: Kreisbahn Speichern | Info
Zentripetalkraft bei einer Kreisbewegung

Die Lorentzkraft tut genau das, was normalerweise die Zentripetalkraft tut, nämlich einen Körper (bei uns ist das ein geladenes Teilchen) auf einer Kreisbahn halten:

Formel: Zentripetalkraft
hält Ladungen auf einer Kreisbahn und wirkt der Lorentzkraft entgegen
2 \[ F_{\text Z} ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \]
Mehr zur Formel...
  • m: Masse der Ladung (hier: Ruhemasse des Elektrons) in kg
  • v: Geschwindigkeit der Ladung in m/s
  • r: Radius der erzeugten Kreisbahn in m

Die Lorentzkraft ist in diesem Fall die Zentripetalkraft, weil beide ja wie gesagt mit dem Teilchen das Gleiche tun: Sie halten es auf der Kreisbahn! Deshalb kannst Du die beiden Kräfte gleichsetzen: 3 \[ q \, v \, B ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \]

Forme nun 3 nach der spezifischen Ladung um:

Formel: Spezifische Ladung (mit Geschwindigkeit ausgedrückt) 4 \[ \frac{q}{m} ~=~ \frac{v}{r \, B} \]
Mehr zur Formel...
  • q: Ladung in C
  • m: Masse in kg
  • v: Geschwindigkeit in m/s
  • B: Magnetische Flussdichte in T
  • r: Radius der Kreisbahn in m

Perfekt! Die Stärke des Magnetfelds \( B \) kennst Du, weil Du das Magnetfeld ja selber einstellst. Den Radius \( r \) der entstandenen Kreisbahn kannst Du mit einem Lineal bestimmen oder abschätzen. Die Geschwindigkeit \( v \) kennst Du auch, dazu musst Du sie nur irgendwie mit der Beschleunigungsspannung \( U_{\text B} \) ausdrücken, weil Du sie ja mit einem Spannungsgerät einstellst und sie die Geschwindigkeit festlegt.

Geschwindigkeit der Teilchen berechnen

Die gesamte kinetische Energie \( \frac{1}{2} m \, v^2 \) erhält ein geladenes Teilchen, nachdem es die Beschleunigungsspannung \( U_{\text B} \) in der Elektronenkanone durchlaufen hat. Diese elektrische Spannung beschleunigt das Teilchen auf die Geschwindigkeit \( v \). Die elektrische Energie \(q \, U_{\text B}\), wird komplett in kinetische Energie umgesetzt. Du kannst also die beiden Formeln für kinetische Energie und elektrische Energie gleichsetzen: 5 \[ \frac{1}{2} \, m \, v^2 ~=~ q \, U_{\text B} \]

Stelle 5 z.B. nach der spezifischen Ladung \( \frac{q}{m} \) um: 6 \[ \frac{q}{m} ~=~ \frac{v^2}{2\, U_{\text B}} \]

Dann kannst Du 4 mit 6 gleichsetzen und nach der Geschwindigkeit umstellen:

Formel: Geschwindigkeit des Teilchens 7 \[ v ~=~ \frac{2\, U_{\text B}}{r \, B} \]

Um die spezifische Ladung zu bekommen, die nur von physikalischen Größen abhängt, die Du kennst, musst Du lediglich die bekannte Geschwindigkeit 7 in 4 einsetzen. Dann hast Du:

Formel: Spezifische Ladung (mit Spannung ausgedrückt) 4 \[ \frac{q}{m} ~=~ \frac{2 \, U_{\text B}}{r^2 \, B^2} \]

Wenn Du doch die Masse oder die Ladung des Teilchens kennst, musst Du einfach diese Größe auf die andere Seite der Gleichung bringen (auf die bekannte Seite sozusagen), um die unbekannte Größe auszurechnen. Aber das hast Du ja schon verstanden.

Nun steht Dir nichts mehr im Wege die unbekannten geladenen Teilchen zu erforschen!

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