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Alexander Fufaev

Divergenz: als Auseinanderspreizung des Vektorfeldes

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Divergenz - ist ein Maß dafür, wie stark ein Vektorfeld auseinanderspreizt. Divergenz macht aus einem Vektorfeld ein Skalarfeld.

Divergenz bekommst Du durch Skalarmultiplikation des Nabla-Operators \( \nabla \) mit einem beliebigem Vektorfeld \(\vec{v}\): 1 \[ \text{Divergenz} ~=~ \nabla ~\cdot~ \vec{v} \]

Wenn Du das Skalarprodukt 1 ausschreibst, bekommst Du als Ergebnis eine skalare Funktion heraus (d.h. das Ergebnis ist kein Vektorfeld mehr): 2 \[ \nabla ~\cdot~ \vec{v} ~=~ (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})~\cdot~(v_{x},v_{y},v_{z}) = \frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z} ~=~ \text{Skalare Funktion} \]

Diese skalare Funktion, welche die Divergenz repräsentiert, kann an einem bestimmten Ort entweder positiv, negativ oder auch Null sein. Interpretiert werden diese drei Fälle folgendermaßen:

Divergenz ist positiv: +n - dann ist der jeweils betrachtete Ort, also ein bestimmter Koordinatenpunkt, eine Quelle. Beispiel: zweidimensionales Vektorfeld \( \vec{v} \)(x,y). Offensichtlich nimmt hier die Kraft mit dem Abstand zu. Die Beträge der Vektoren werden ja mit dem Abstand größer. Schaust Du Dir eine Umgebung an, so siehst Du, dass die Vektoren, die in die Umgebung gelangen kürzer sind, als die die herauskommen. Auch bei Betrachtung anderer Umgebungen ist es nicht anders. Divergenz ist positiv und beträgt in diesem Fall konstant 2. Würdest Du in dieses Kraftfeld Teilchen schmeißen, dann würden sie beim Passieren einer Umgebung, eben beim Reinkommen eine kleinere Geschwindigkeit besitzen und beim Herauskommen eine größere Geschwindigkeit. Es würden also, sagen wir mal innerhalb einer Sekunde, mehr Teilchen die Umgebung verlassen als betreten, sodass die betrachtete Umgebung eben als eine Quelle erscheint.

Divergenz ist negativ: -n - dann ist der betrachtete Ort eine Senke. Eine Senke ist genau das Gegenteil einer Quelle; da kommt mehr herein als heraus. Würdest Du nur die Vorzeichen des Feldes \( \vec{v} \) negativ machen: (-x,-y), dann hättest Du ein Feld mit konstanter negativer Divergenz - eine Senke.

Divergenz ist Null: n=0 - es kommt am jeweiligen Punkt nichts rein und auch nichts raus. Oder es kommt genauso viel rein wie herauskommt, sodass sich die Vektoren gegenseitig aufheben. In diesem Fall ist das Vektorfeld divergenzfrei. Beispiel aus der ElektrizitätEine der Maxwell-Gleichungen sagt aus, dass Divergenz des Magnetfelds Null ist. Es gibt also keine magnetischen Monopole; die Feldlinien sind in sich immer geschlossen.

Divergenz an 2 Beispielen

Beispiel: Konstante Divergenz

Gegeben ist ein Vektorfeld \( \vec{v} ~=~ (x,y,z) \). Bilde das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit diesem Vektorfeld, wie in 2. x abgeleitet ist 1, y auch 1 und z ebenfalls, also: \[ \vec{\nabla} \cdot (x,y,z) ~=~ \frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z} = 1+1+1 ~=~ 3 \] Die Divergenz ist also konstant \( \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 3 \). Jeder Ort dieses Vektorfeldes ist also eine Quelle!

Beispiel: Variable Divergenz

Gegeben ist ein Vektorfeld \( \vec{F} ~=~ (x,y^2,5) \). Bilde das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit diesem Vektorfeld, wie in 2, dann erhälst Du: \[ \vec{\nabla} \cdot (x,y^2,5) ~=~ \frac{\partial}{\partial x}xy + \frac{\partial}{\partial y}y^2 + \frac{\partial}{\partial z}5 = y + 2y + 0 ~=~ 3y \] In diesem Fall erhälst Du eine variable - von y abhängige - Divergenz: \( \vec{\nabla} \cdot \vec{v} ~=~ 3y \).

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