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Alexander Fufaev

Lorentzkraft: wie Ladung im Magnetfeld abgelenkt wird

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Lorentzkraft FL - ist die Summe aus elektrischer und magnetischer Kraft. In einem Magnetfeld wirkt sie senkrecht auf bewegte elektrische Ladungen (z.B. Elektronen) ein. Die Einheit der Lorentzkraft ist N (Newton).

Lorentzkraft ist allgemein die Summe aus elektrischer und magnetischer Kraft, die auf ein geladenes Teilchen mit der Ladung \( q \) wirkt, wenn es sich mit der Geschwindigkeit \( v \) in einem Magnetfeld \( B \) und in einem elektrischen Feld \( E \) bewegt. Je nach dem, wie sich die Bewegungsrichtung des Teilchens relativ zur Magnetfeldrichtung steht, ist die Lorentzkraft unterschiedlich. Das wird durch den Winkel \( \alpha \) zwischen \( v \) und \( B \) bestimmt.

Formel: Lorentzkraft (Betrag)
Sie ist die Summe der elektrischen und magnetischen Kraft.
1 \[ F_{\text L} ~=~ q \, E + q\,v\,B \, \sin(\alpha) \]
Mehr zur Formel...
  • Elektrische Ladung \(q\) [Einheit: C] - von einem Ladungsträger, auf die die Lorentzkraft wirkt. Zum Beispiel trägt ein Elektron die negative Elementarladung \( q = -1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \).
  • Elektrische Feldstärke \( E \) [Einheit: V/m] - es wird von elektrischen Ladungen erzeugt. Sobald eine andere Ladung in dieses Feld eintritt, erfährt es eine elektrische Kraft.
  • Magnetische Flussdichte \( B \) [Einheit: T] - ist so etwas wie elektrisches Feld und sagt aus, wie stark ein Magnetfeld ist. Je größer die magnetische Flussdichte, desto größer ist die Lorentzkraft.
  • Geschwindigkeit \( v \) - vom elektrisch geladenen Teilchen.
  • Winkel α - ist der Winkel zwischen der magnetischen Flussdichte \( B \) und der Geschwindigkeit \( v \). Der Winkel entscheidet darüber, ob Lorentzkraft das bewegte Teilchen auf eine Kreisbahn lenkt oder auf eine Helixbahn oder gar nicht ablenkt.

Natürlich ist Lorentzkraft nicht die einzige Kraft, die auf eine Ladung wirken kann. Da ein elektrisch geladenes Teilchen auch eine Masse besitzt, wirkt auf sie die Gravitationskraft.

Achtung! In der Schule wird manchmal NUR der magnetische Anteil Fm als Lorentzkraft bezeichnet. Diese Definition ist veraltet.

Lorentzkraft: Elektrischer Anteil

Der erste Summand in der Formel 1 für Lorentzkraft steht für elektrische Kraft.

Formel: Elektrische Kraft
2 \[ F_{\text E} ~=~ q \, E \]
Beispiel: Elektron und Proton
Elektrische Kraft Speichern | Info
Abstoßende bzw. anziehende elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen.
Bringst Du ein ein positiv geladenes Proton in die Nähe eines negativ geladenen Elektrons, dann erfährt das Elektron eine elektrische Kraft \( F_{\text E} \) und bewegt sich auf das Proton zu. Das gleiche passiert mit dem Proton: Es erfährt ebenfalls eine Kraft, die das Elektron auf es ausübt. Die beiden erzeugen nämlich inhomogene (also vom Ort abhängige) elektrische Felder. Auf diese Weise beeinflussen sich die Ladungen elektrisch.

Elektrisches Feld

Die elektrische Feldstärke \( E \) sagt aus, welche Kraft eine Ladung auf eine andere Ladung ausüben kann, also: Kraft pro Ladung: 3 \[ E ~=~ \frac{F_{\text E}}{q} \]

Nah an der Ladung ist das Feld am stärksten und wird schwächer, je weiter sich die elektrischen Ladungen voneinander entfernen. Am Ort des Elektrons hat das vom Proton erzeugte elektrische Feld einen bestimmten Wert FE.

Wenn es kein äußeres elektrisches Feld \( E \), in dem sich die Ladung bewegt, gibt, dann verschwindet der elektrische Anteil der Lorentzkraft: \( F_{\text E} = q\cdot0 = 0 \). Es bleibt dann nur der magnetische Anteil \( F_{\text M} \) über.

Lorentzkraft: Magnetischer Anteil

Der zweite Summand in der Lorentzkraft steht für magnetische Kraft.

Magnetische Kraft 4 \[ F_{\text M} ~=~ q \, v \, B \, \sin(\alpha) \]

Im Folgenden nimmst Du an, dass elektrische Kraft immer Null ist! Das heißt: Es gibt kein äußeres elektrisches Feld \( E \) - also keine weiteren Ladungen in der Nähe sind. Dann ist Lorentzkraft \(F_{\text L}\) gleich der magnetischen Kraft, weil die elektrische Kraft wegfällt: 5 \[ F_{\text L} ~=~ F_{\text M} ~=~ q \, v \, B \, \sin(\alpha) \]

Damit eine magnetische Kraft auf ein Teilchen wirken kann, muss es folgende Eigenschaften erfüllen:

  1. Das Teilchen muss sich bewegen - ansonsten wäre Geschwindigkeit \( v~=~ 0\) und damit auch Lorentzkraft als magnetische Kraft: 6 \[ F_{\text L} ~=~ q ~\cdot~ 0 ~\cdot~ B \, \sin(\alpha) ~=~ 0 \]
  2. Das Teilchen darf nicht neutral sein - denn neutrale Teilchen besitzen keine Ladung \(q ~=~0 \). Deshalb würde auch in diesem Fall die Lorentzkraft verschwinden: 7 \[ F_{\text L} ~=~ 0 ~\cdot~ v \, B \, \sin(\alpha) ~=~ 0 \]

Wenn Du sichergestellt hast, dass das Teilchen die obigen zwei Eigenschaften erfüllt, dann kannst Du den Betrag der Lorentzkraft (in 7) berechnen. Es können im Prinzip 3 Fälle eintreten. Die Ladung bewegt sich...

  1. parallel zum Magnetfeld: v || B
  2. senkrecht zum Magnetfeld: vB
  3. schräg zum Magnetfeld: unter dem Winkel α

Fall 1: Bewegung parallel zum Magnetfeld

In diesem Fall ist der Winkel, der in der Formel für Lorentzkraft steckt: α = 0. Sinus von 0 Grad ist 0, weshalb keine magnetische Kraft auf das Teilchen wirkt und sie deshalb verschwindet: 8 \[ F_{\text L} ~=~ 0 \]

Fall 2: Bewegung senkrecht zum Magnetfeld

Ladung-Bewegung senkrecht zum Magnetfeld Speichern | Info
Elektron bewegt sich senkrecht in den Hufeisenmagnet hinein.

Wenn zwei Vektoren (solche Pfeilchen und so) - in diesem Fall Geschwindigkeit v und magnetische Flussdichte B - senkrecht aufeinander stehen, dann bedeutet das, dass sie einen \(90^\circ\)-Winkel einschließen. Und wie Du vielleicht aus Mathematik weißt: Sinus von 90 Grad ist 1. Deshalb kannst Du vereinfacht schreiben:

Drei-Finger-Regel Speichern | Info
So müssen Deine Finger zur Bestimmung der Lorentzkraft-Richtung gestreckt sein.

Wenn Du noch zusätzlich die Richtung der Kraft - ohne Vektorrechnung - bestimmen willst, dann benutze die Drei-Finger-Regel dafür!

Die Drei-Finger-Regel, mit der Du Richtung der Lorentzkraft bestimmen kannst, darfst Du nur im Fall 2 verwenden! In zwei übrigen Fällen gilt sie nicht! Kurze Wiederholung zur Drei-Finger-Regel:

  • Daumen - zeigt in Richtung der Ursache, hier Bewegung der Ladung, also in Richtung der Geschwindigkeit v.
  • Zeigefinger - zeigt in Richtung des magnetischen Südpols (in der Schule meistens mit grüner Farbe markiert).
  • Mittelfinger - zeigt Dir die Lorentzkraft-Richtung, sobald Du die anderen beiden Finger richtig gerichtet hast.

Für positive Ladungen (z.B. Protonen) musst Du rechte Hand verwenden und für negative Ladungen (z.B. Elektron) linke Hand.

Lorentzkraft zwingt Ladung auf eine Kreisbahn

Lorentzkraft (magnetische Kraft): Kreisbahn Speichern | Info
Entstehung der Kreisbewegung durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld des Elektrons zeigt.

Wenn Du beispielsweise mittels einer Elektronenkanone eine negative Ladung \( q = -e \) in ein - in Deinen Bildschirm hinein gerichtetes - Magnetfeld \( B \) hineinschießt, und zwar so, dass die Ladung mit einer konstanten Geschwindigkeit \( v \) senkrecht (d.h. Fall 2) ins Magnetfeld eintritt, dann erfährt sie - wie Du weißt - eine Lorentzkraft und wird nach oben abgelenkt. Die Ladung fliegt aber nicht einfach so geradeaus nach oben, sondern durchläuft eine Kreisbahn, denn: Geschwindigkeit \( v \) der Ladung und auf sie einwirkende Lorentzkraft \( F_{\text L} \) stehen senkrecht aufeinander, weshalb die Ladung auf eine Kreisbahn gezwungen wird.

Radius der Kreisbahn berechnen

Wenn Du den Radius \( r \) der Kreisbahn berechnen möchtest, setzt Du einfach die Lorentzkraft in 5 mit der Zentripetalkraft gleich: 10 \[ q \, v \, B ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \] Lorentzkraft wirkt ebenfalls wie Zentripetalkraft immer in die Kreismitte, deswegen ersetzt sie hier die Zentripetalkraft. Forme die Gleichung 10 nach \( r \) um, dann hast Du:

Formel: Radius der Kreisbahn 11 \[ r ~=~ \frac{m \, v}{q \, B} \]

An der Formel 11 kannst Du einige nützliche Informationen über den Kreisbahnradius entnehmen. Je höher die Geschwindigkeit \( v \) oder die Masse \( m \) des Teilchens ist, desto größer ist der durchflogene Kreis. Je größer magnetische Flussdichte \( B \) oder die elektrische Ladung \( q \) ist, desto kleiner ist der durchflogene Kreis.

Die Stärke des Magnetfelds kannst Du beispielsweise dadurch beurteilen, in dem Du den Radius der entstandenen Kreisbahn betrachtest. Denn, je größer der Radius, desto schwächer ist das Magnetfeld.

Periodendauer der Kreisbewegung

Wenn Du noch die Periodendauer T berechnen möchtest, also die Zeit, die das Teilchen benötigt, um genau eine Kreisbewegung zu machen, dann bedienst Du Dich der Formel für gleichförmige Bewegung: 12 \[ s ~=~ v \, t \]

Diese Formel ist hier erlaubt, da Betrag der Geschwindigkeit des Teilchens (nicht jedoch seine Richtung!) zu jedem Zeitpunkt konstant ist, weshalb es sich tatsächlich um eine gleichförmige und nicht um eine beschleunigte Bewegung handelt.

Die Strecke \( s \) - ist dabei der Umfang des Kreises, also: \( s = 2\pi \, r \). Zeit t ist die Periodendauer \( T \). Die Periodendauer sagt aus, wie lange ein Kreisumlauf dauert.

Du hast jetzt alles, was Du brauchst! Setze den Umfang \( s \) in 12 ein. Dabei ist die Zeit t in 12 die gesuchte Periodendauer \( T \): \( t = T \). Setze außerdem den Radius aus 11 in 12 ein:

Formel: Periodendauer einer Kreisbewegung 13 \[ T ~=~ \frac{2\pi \,m}{q \, B} \]
Die Zeitdauer (Periodendauer) \( T \) einer Kreisbewegung ist unabhängig von der Geschwindigkeit \( v \) der Ladung!

Fall 3: Bewegung schräg zum Magnetfeld

Du interessierst Dich für den Betrag der magnetischen Kraft auf eine Ladung, die sich nicht unbedingt genau senkrecht zum Magnetfeld bewegt. Die Ladung könnte sich ja auch irgendwie zum Teil parallel zum Magnetfeld bewegen. Deshalb betrachtest Du:

Formel: Betrag der Lorentzkraft - beliebiger Eintrittswinkel 14 \[ F_{\text L} ~=~ q \, v \, B \, \sin(\alpha) \]
Lorentzkraft: Bewegung schräg zum Magnetfeld Speichern | Info
Elektron bewegt sich schräg. Die Geschwindigkeit wird in zwei Anteile zerlegt.

Ist die Geschwindigkeit v schräg zur magnetischen Flussdichte B gerichtet, dann kann Geschwindigkeit in einen parallelen v|| und einen senkrechten v Anteil zum Magnetfeld zerlegt werden.

Der parallele Anteil hat - im Gegensatz zum senkrechte Anteil - keinen Einfluss auf magnetische Kraft und damit ist dieser Teil nicht verantwortlich für die Ablenkung des Elektrons im Magnetfeld; denn senkrechter Anteil schließt mit der magnetischen Flussdichte \( B \) einen Winkel von 0 Grad ein, weshalb die Kraft für diesen Anteil verschwindet (wegen \( \sin(0^{\circ}) ~=~ 0 \)): 15 \[ F_{\text L} ~=~ q \, v_{||} \, B \, \sin(0^{\circ}) ~=~ 0 \]

Spiralbahn: Bewegung schräg zum Magnetfeld Speichern | Info
Durch die Bewegung des Elektrons schräg zum Magnetfeld, entsteht eine Spiralbahn.

Durch eine teilweise Bewegung parallel und eine teilweise Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, entsteht dabei eine zylindrische Spiralbahn, eine sogenannte Helix. Ihre Achse ist parallel zum Magnetfeld. Sie besitzt einen Radius r und Ganghöhe h. Wobei Ganghöhe einfach eine Strecke parallel zum Magnetfeld ist, die innerhalb einer Periodendauer T zurückgelegt wird.

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Lorentzkraft (magnetische Kraft) - stromdurchflossener Leiter Speichern | Info
Ein stromdurchflossener Leiter - im senkrecht dazu angelegten Magnetfeld - erfährt eine magnetische Kraft, die den Leiter ablenkt.

Lorentzkraft wirkt nicht nur auf einzelne Ladungen, sondern auch auf ganze elektrische Ströme! Sie stellen nichts anderes als elektrische Ladungen dar, die sich beispielsweise durch einen elektrischen Leiter bewegen.

Ladungen im Leiter (die den elektrischen Strom darstellen), legen die Länge des Leiters L innerhalb einer bestimmten Zeit t zurück. Strecke pro Zeit ist definiert als Geschwindigkeit (in diesem Fall Geschwindigkeit der Ladungen im Leiter): 16 \[ v ~=~ \frac{L}{t} \]

Einsetzen der Geschwindigkeit in die Lorentzkraft-Formel und umordnen von t ergibt: 17 \[ F_{\text L} ~=~ \frac{q}{t} \, L \, B \] Und \( \frac{q}{t} \) ist als Stromstärke I definiert. Insgesamt hast Du:

Lorentzkraft zwischen zwei Leitern

Lorentzkraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern Speichern | Info
Zwei stromdurchflossene Leiter üben eine anziehende Kraft aufeinander aus, weil die beiden Ströme in gleiche Richtung fließen.

Stell Dir zwei elektrische Kabel parallel nebeneinander vor und lasse durch einen den elektrischen Strom \( I_1 \) und durch anderen \( I_2 \) in gleiche Richtung fließen. Du wirst feststellen, dass sich die beiden Leiter aufgrund der Lorentzkraft anziehen. Aber wie denn - ohne Magnetfeld? Der Grund ist: Jede bewegte Ladung erzeugt ihr eigenes Magnetfeld!

Das von den Ladungen im Leiter erzeugte Magnetfeld umfasst den Leiter. Außerdem ist das erzeugte Magnetfeld nicht an einem bestimmten Ort konzentriert, sondern ausgedehnt. Aufgrund dieser Ausdehnung ist der andere Leiter plötzlich in einem äußeren Magnetfeld.

Gehst Du analog mit dem anderen Leiter vor, wirst Du feststellen, dass das Magnetfeld am Ort des anderen Leiters in entgegengesetzte Richtung zeigt, sodass die Lorentzkraft auch in entgegengesetzte Richtung als beim anderen Leiter zeigt. Zwei Leiter im Magnetfeld mit gleicher Stromrichtung erfahren eine anziehende Kraft!

Was passiert, wenn die elektrischen Ströme in den Leitern jeweils in entgegengesetzte Richtung gehen? Zwei Leiter im Magnetfeld mit entgegengesetzter Stromrichtung erfahren eine abstoßende Kraft!

Du kannst die Kraft, die jeweils ein Leiter - aufgrund des anderen Leiters - erfährt, folgendermaßen berechnen:

Formel: Lorentzkraft zwischen zwei Leitern 19 \[ F_{\text M} ~=~ L \, \frac{\mu_0}{2 \pi} \, \frac{I_1 \, I_2}{r} \]
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