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Alexander Fufaev

Foucaultsches Pendel: warum die Erde rotiert

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Definition

Foucaultsches Pendel - ist ein mathematisches Pendel, welches im Verlaufe der Zeit seine Schwingungsebene - in Abhängigkeit vom Breitengrad - verändert. Dieses Pendel dient dem direkten Nachweis der Erdrotation.

Schwingungsebene des Pendels

Schwingungsebene - ist die Ebene, in der das Pendel schwingt. Diese wird sich mit der Zeit ändern, wenn das Pendel zum Schwingen gebracht wird. Sie wird sich drehen, wenn Du das Pendel auf der Erde beobachtest.

Lasse also ein Pendel, welches an einem Aufhängepunkt fest verankert ist, hin und her schwingen. Es hat ein viel längeres Aufhängeseil als die meisten Pendel und schwingt schon eine längere Zeit lang, damit eine Änderung der Schwingungsebene überhaupt sichtbar wird. Genau am Süd- oder Nordpol wird die Änderung noch sichtbarer! Du musst das Pendel - wie gesagt - nur eben für eine längere Zeit pendeln lassen, um den Unterschied mit den eigenen Augen sehen zu können.

Die Änderung der Schwingungsebene ist dabei nur scheinbar; sie erscheint Dir nur so, als würde sie sich ändern. Du stehst nämich auf der Erde und rotierst mit ihr. Es kommt Dir vor, als würde eine Kraft senkrecht zur Schwingungsebene einwirken. Diese scheinbare Kraft nennt sich Corioliskraft. Diese kannst Du nur beobachten, weil Du ebenfalls ein Teil des rotierenden Systems (Erde) bist. Die Erde ist kein Inertialsystem, sondern ein beschleunigtes Bezugssystem. Würdest Du Dich aus dem beschleunigten System heraus begeben, sodass Du nicht mit der Erde mitrotierst; dann wird sich die Schwingungsebene aus Deiner Sicht nicht mehr ändern. Die Änderung der Pendelebene wird erst dann sichtbar, wenn der Beobachter auf der Erde steht und sich mitdreht.

Die Rotationsgeschwindigkeit der Schwingungsebene, also um wie viel Grad sich die Schwingungsebene in einer bestimmten Zeit gedreht hat, ist dabei in Abhängigkeit vom Ort - wo Du das Foucault-Pendel schwingen lässt. Am Nord-und Südpol würdest Du beobachten, dass sich der Winkel der Ebene innerhalb von 24 Stunden um 360 Grad dreht. Die Winkel-bzw. Rotationsgeschwindigkeit \( \omega \) beträgt an den Polen also: 1 \[ \frac{ \Delta\varphi }{ \Delta \text{t}} ~=~ \frac{360^\circ}{24\text{h}} ~=~ \frac{15^\circ}{\text{h}} \]

Der Nord-und Südpol sind dabei ganz besondere Orte, denn wenn Du dort das Pendel platzierst, wird sich die Position des Aufhängepunktes nicht verändern; an anderen Orten auf der Erde schon! Der Aufhängepunkt dreht sich zwar auch um die Längsachse, aber das hat überhaupt keinen Einfluss auf die Änderung der Schwingungsebene. Das kannst Du Dir ganz leich verdeutlichen: Nimm irgendetwas Pendelndes und drehe vorsichtig den Aufhängepunkt (bzw. den Festhaltepunkt), während Du dieses Teil pendeln lässt. Du wirst nur feststellen, dass das Seil und die Masse sich auch mitdrehen; die Schwingung selbst bleibt aber gleich!

An den Polen ist die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene in Übereinstimmung mit der Winkelgeschwindigkeit der Erde; was nichts anderes heißt: eine Umdrehung der Erde bedeutet eine Umdrehung der Schwingungsebene. Näherst Du aber das Pendel dem Äquator an, dann nimmt die Winkelgeschwindigkeit der Schwingngsebene ab, wobei sie direkt am Äquator komplett verschwindet.

Beispiel: Schwingngsebene an verschiedenen Orten In München hätte sich die Schwingngsebene innerhalb eines Tages nur um ca. 270 Grad geändert: \( \omega = \frac{270^\circ}{24\text{h}} = \frac{11,25^\circ}{1\text{h}} \). In der Gegend Kaliforniens dagegen ungefähr um 220 Grad: \( \omega = \frac{220^\circ}{24\text{h}} = \frac{9,17^\circ}{1\text{h}} \). Und am Äquator um 0 Grad.

Die Änderungsrate der Schwingungsebene (Winkelgeschwindigkeit) ist abhängig vom Ort auf der Erde.

Breitengrad

Breitengrade Speichern | Info
Beispielhaft eingezeichnete Breitengrade für die Nordhalbkugel. Auf der Südhalbkugel gehts analog.

Die Erdoberfläche wird in sogenannte Breitenkreise unterteilt, die durch einen bestimmten konstanten Breitengrad charakterisiert sind. Der Breitengrad erstreckt sich dabei von \( 0^\circ \) am Äquator, bis \( \pm 90^\circ \) am Nord- bzw. Südpol. Die Breitengrad für einen bestimmten Ort, kannst Du im Internet finden oder mit einem GPS-fähigen Gerät ermitteln.

Beispiel Der Breitenkreis direkt am Äquator hat den Breitengrad 0°. Am Nord- oder Südpol beträgt er 90°. Hannover liegt ungefähr auf dem Breitenkreis 52° Nord. Die Angabe "Nord" oder "Süd" hinter dem Breitengrad sagt aus, ob der Breitenkreis sich auf der oberen oder unteren Hälfte der Erde befindet. 52 Breitengrad könnte also nicht nur Hannover sein, sondern auch alle anderen Orte auf dem gleichen Breitenkreis; auch auf dem Breitenkreis der anderen Hälfte der Erdoberfläche, zum Beispiel ein Ort in Südamerika in der Gegend der Magellanstraße.

Je nach dem, auf welchem Breitengrad das Foucault-Pendel platziert wird, verändert sich seine Schwingungsebene unterschiedlich schnell. Je näher Du das Pendel zum Pol platzierst, desto schneller wird sich die Schwingungsebene ändern. Wobei wie gesagt an den Polen selbst, die Schwingungsebene sich genau um 360 Grad innerhalb von 24 Stunden dreht, weil die Erde unter dem Pendel genau eine Umdrehung gemacht hat. Die Angabe von "Nord" bzw. "Süd" hinter dem Breitengrad wird Dir beim Foucault- Pendel verraten, in welche Richtung sich die Schwingungsebene dreht. Entweder im Uhrzeigersinn auf der Nordhalbkugel oder im Gegenuhrzeigersinn auf der Südhalbkugel. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) der Schwingungsebene des Pendels variiert mit dem Breitengrad \( \varphi \).

Um die Änderungsrate der Schwingungsebene, also die Winkelgeschwindigkeit an einem bestimmten Breitengrad zu berechnen, nimmst Du die maximale Winkelgeschwindigkeit, nämlich 360 Grad pro Tag (\(2 \, \pi \) pro 24 Stunden), und multiplizierst sie mit dem Sinus des jeweiligen Breitengrades:

Winkelgeschwindigkeit - Schwingungsebene des Foucault-Pendels 2 \[ \omega ~=~ 2 \pi \, \frac{ 1 }{ 24 \text{h} } \, \sin(\varphi) ~=~ 7.27 \cdot 10^{-5} \, \frac{1}{\text s} ~\cdot~ \sin(\varphi) \] Beachte: Je nach gewünschter Messgenauigkeit, musst Du statt \( 24 \text{h} \) den genauen siderischen Tag benutzen (z.B. beim Geocaching).

Wenn Du also den Breitengrad Deines Ortes kennst, dann kannst Du damit ausrechnen, um wie viel Grad sich das Foucault-Pendel innerhalb eines Tages drehen würde. Oder Du bestimmst die Winkelgeschwindigkeit, indem Du schaust, um wie viel Grad sich die Ebene innerhalb einer bestimmten Zeit gedreht hat und kannst dann sagen auf welchem Breitengrad Du Dich befindest.

Foucault-Pendel erklärt mit Corioliskraft

Corioliskraft: Richtung Speichern | Info
Richtung der Corioliskraft - verdeutlicht auf einem rotierenden Kreisel.

In beschleunigten Bezugssystemen, dazu gehört auch die Erde, wirken sogenannte Scheinkräfte, solche wie Zentrifugalkraft oder Corioliskraft, wobei die Zentrifugalkraft beim Foucault-Pendel keine besondere Rolle spielt. Die Corioliskraft dagegen ist dafür verantwortlich, dass sich die Schwingungsebene des Foucault-Pendels dreht!

Formel: Corioliskraft 3 \[ \vec{F}_{\text C} ~=~ 2m\left( \vec{v} ~\times~ \vec{\omega} \right) \]
Formel: Betrag der Corioliskraft 3.1 \[ F_{\text C} ~=~ 2m \, v \, \omega \, \sin(\varphi) \]

Wie Du an der Formel 3 für die Corioliskraft erkennen kannst, steht dort ein Kreuzprodukt zwischen der Geschwindigkeit \( \vec{v} \) des bewegten Körpers und der Winkelgeschwindigkeit \( \vec{\omega} \) der Erde. Die Corioliskraft \( \vec{F}_{\text C} \), als das Ergebnis des Kreuzprodukts, muss also senkrecht auf der Ebene stehen, die von \( \vec{\omega} \) und \( \vec{v} \) aufgespannt wird. Außerdem kannst Du am Betrag der Corioliskraft 3.1 erkennen, dass je größer die Geschwindigkeit des Objekts relativ zur Erde (oder Kreisscheibe für die Flacherdler) ist, desto größer ist die Corioliskraft! Natürlich verursacht auch eine größere Winkelgeschwindigkeit eine größere Corioliskraft - nur, die Erde dreht sich immer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, sodass sie nicht variiert werden kann. Die Geschwindigkeit mit der sich eine Geschosskugel, ein Flugzeug oder eine Wolke bewegt, kann leichter manipuliert werden, um die Corioliskraft zu erhöhen oder zu verringern.

Erdabstände von der Erdachse Speichern | Info
Drei unterschiedliche Radien von der Erdachse aus gemessen. Je näher am Pol, desto kleiner der Radius.

Umfang der Erde machts aus!

Die Erde ist näherungsweise eine Kugel, auf der sich jeder Punkt um 360 Grad pro Tag dreht. Das entspricht der Winkelgeschwindigkeit der Erde: 4 \[ \omega = \frac{2\pi}{24 \text{h}} ~\approx~ 7.27 \cdot 10^{-5} \, \frac{1}{\text s} \]

Die Umfänge der Erde sind aber unterschiedlich, je nach dem auf welchem Breitengrad Du den Umfang misst. Das heißt: Ein Punkt auf dem Äquator muss einen größeren Umfang innerhalb von 24 Stunden zurücklegen als ein Punkt in der Nähe des Nordpols. Wie kann es aber sein, dass diese beiden Punkte trotz unterschiedlicher Umfang-Strecken innerhalb von 24 Stunden gleichzeitig eine Umdrehung schaffen? Wenn die Umlaufzeit \( t ~=~ 24 \, \text{h} \) für alle Erdpunkte gleich ist, aber die innerhalb von 24 Stunden zurückgelegten Strecken \( s \) (Umfänge) unterschiedlich groß sind, muss Bahngeschwindigkeit \( v_{\text O} \) je nach Breitengrad verschieden sein: 5 \[ v_{\text O} ~=~ \frac{s}{t} ~=~ \frac{s}{24 \, \text{h}} \]

An der Formel 5 kannst Du erkennen, dass die Bahngeschwindigkeit eines Äquatorpunkts am größten ist, da dieser Punkt einen größeren Umfang \( s \) innerhalb von 24h zurücklegen muss als zum Beispiel ein Punkt nahe des Nordpols.

Corioliskraft: Flug nach Norden, Ablenkung nach Osten Speichern | Info
Vom Äquator gestartetes und zum Nordpol mit der Geschwindigkeit \( v_{\text N} \) fliegendes Flugzeug wird nach Osten abgelenkt, weil es stets die Geschwindigkeit \( v_{\text O} \) nach Osten hat, obwohl die Bahngeschwindigkeit der Erde (im Bild beispielhaft: \( v_{\text O1} \), \( v_{\text O2} \), \( v_{\text O3} \)) zum Nordpol hin abnimmt.

Betrachte ein Flugzeug, welches vom Äquator aus nach Norden fliegt. Das Flugzeug hat bei seinem Startpunkt eine Geschwindigkeit \( \vec{v}_{\small{O}} \) in die Rotationsrichtung der Erde (nach Osten) bekommen (Bahngeschwindigkeit). Warum? Weil alles, was auf der Erde steht, rotiert mit ihr mit und zwar in Ostrichtung! Fliegt das Flugzeug los, so hat es immer noch die Geschwindigkeit \( \vec{v}_{\small{O}} \) nach Osten und, weil es nach Norden fliegt, zusätzlich eine Geschwindigkeit \( \vec{v}_{\small{N}} \).

Du hast gelernt, dass die Bahngeschwindigkeit der Erde umso kleiner wird, je mehr sich das Flugzeug dem Pol nähert. Das heißt: Während das Flugzeug immernoch eine Geschwindigkeit \( \vec{v}_{\small{O}} \) nach Osten hat, bewegen sich die Erdpunkte - aus Sicht eines ruhenden Beobachters im Weltall - unter dem Flugzeug langsamer. Die Erdpunkte kommen also nicht mit dem Flugzeug in Ostrichtung mit. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Ostrichtung \( \vec{v}_{\small{O}} \) ist stets größer ist als die Geschwindigkeit der Erdpunkte unter ihm. Also eilt das Flugzeug der Erde an dem jeweiligen Breitengrad voraus: Es wird nach Osten abgelenkt!

Was passiert, wenn eine Wolke vom Nordpol aus nach Osten fliegt? Die Wolke wird zum Teil nach Süden (und zum Teil weiter nach oben) abgelenkt, was mit der Corioliskraft-Richtung in 3 nachvollzogen werden kann. Da sie nun eine Geschwindigkeitskomponente in Südrichtung hat, greift wieder Corioliskraft an und lenkt die Wolke nach Westen ab. Die Geschwindigkeitskomponente in Westrichtung wird wieder von der Corioliskraft beeinflusst und lenkt die Wolke nach Norden ab. Auf der Nordhalbkugel wirkt die Corioliskraft im Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel wirkt sie gegen den Uhrzeigersinn.

Diese Erkenntnis gilt für ALLES, was sich auf oder oberhalb der Erde bewegt, sei es eine Wolke, ein Flugzeug, ein Auto oder das Foucault-Pendel. Bei einem Körper äußert sich die Ablenkung stärker aus als bei einem anderen. Die Einflussgrößen sind nach 3.1 die Masse \( m \) des bewegten Körpers, seine Geschwindigkeit \( v \) und natürlich der Winkel \( \varphi \) zwischen \( v \) und \( w \) (also je nach dem, auf welchem Breitengrad der Körper sich gerade bewegt).

Das Pendel wird nach einem Umlauf der Schwingungsebene einer Rosettenbahn gefolgt haben. Der Winkel \( \Delta\alpha \) zwischen den "Blättern" ist das Produkt der Winkelgeschwindigkeit der Ebene \( \omega \) und der Periodendauer des Pendels \( T \): 6 \[ \alpha ~=~ \omega T \]

Und die Periodendauer ist dabei ungefähr: 7 \[ T ~\approx~ 2\pi\sqrt{ \frac{ l }{ g } } \]

Es ist ersichtlich, dass eine Verlängerung des Fadens die Periodendauer erhöht und somit auch den Winkel zwischen den Blättern. Deshalb verwendet man lange Pendel, um die Rotation der Ebene besser demonstrieren zu können.

Längeres Foucault-Pendel?

Lass uns nun überprüfen, ob die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) der Schwingungsebene durch ein längeres Pendel verändert werden kann. Setze dazu 2 in 6 ein: 8 \[ \alpha ~=~ \omega_{0} \, \sin(\varphi) \, T \]

Um nun die Anzahl \( n \) der Schwingungen herauszubekommen, die notwendig sind, um mit dem Winkel \( \alpha \) eine volle Umdrehung zu machen, teilst Du \( 2\pi \) (entspricht der vollen Umdrehung) durch \( \alpha \): 9 \[ n ~=~ \frac{ 2 \pi }{ \alpha } \]

Setze 8 in 9 ein. Wenn Du noch die Anzahl \( n \) mit der Periodendauer \( T \) multiplizierst, dann wirst Du sehen, dass sich die Periodendauer wegkürzt: 10 \[ n \, T ~=~ \frac{ 2\pi }{ \omega_{0} \, \sin(\varphi) \, T} \, T ~=~ \frac{ 2\pi }{ \omega_{0} \, \sin(\varphi)} \]

Somit hat die Länge \( l \) des Pendels, die in der Periodendauer 7 steckt, keinen Einfluss auf den Winkel \( \alpha \); nicht jedoch auf die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) der Schwingungsebene! Die Fadenlänge hat keinen Einfluss darauf, wie schnell sich das Foucault- Pendel dreht.

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