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Alexander Fufaev

Energieerhaltungssatz

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Energieerhaltungssatz - ist ein Naturgesetz, welches besagt, dass die Gesamtenergie eines isolierten Systems zeitlich unverändert bleibt. Energie ist somit nur in andere Energieformen umwandelbar, jedoch nicht erzeugbar.

Formel: Energieerhaltung der Mechanik
für potentielle und kinetische Energie
\[ E_{\text{ges}} ~=~ E_{\text{kin}} ~+~ E_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 ~+~ m\,g\,h \]
  • m: Masse in kg
  • v: Geschwindigkeit des Objekts in m/s
  • g: Fallbeschleunigung 9.8 m/s2
  • h: Höhe, auf der sich das Objekt befindet in m

Konservative Systeme - das sind als abgeschlossen betrachtete Systeme, die ihre Energie weder durch Reibung noch durch andere dissipative Kräfte (also Kräfte, die dem System Energie entziehen, zum Beispiel sie in Form von Wärme nach außen abgeben) an die Umgebung verlieren.

Warum setzt sich Gesamtenergie aus potentieller und kinetischer Energien?

Die Summe der potentiellen und kinetischen Energien, die als mechanische Gesamtenergie bezeichnet wird, stammt aus dem 2. Newtonsche Axiom, welches eine Kraft, Beschleunigung und (träge) Masse definiert:

Grundgleichung der Mechanik

aus dieser stammt die Summe der kinetischen und potentiellen Energie
\[ m \, a ~=~ F \]
Mehr zur Formel...
  • m: Masse des Teilchens
  • a: Beschleunigung des Teilchens
  • F: Auf das Teilchen einwirkende Kraft

Multipliziere beide Seiten der Grundgleichung der Mechanik mit der Geschwindigkeit \( v \): \[ m \, a \, v ~=~ F \, v \]

Die linke Seite \( m \, a \, v \) lässt sich umschreiben. Und zwar ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit \( a ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, v \). Schreibe also die Beschleunigung anders: \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \frac{1}{2} \, m \, v^2 ~=~ F \, v \]

Siehst Du schon die kinetische Energie \( E_{\text{kin}} \) in der Gleichung? Jetzt fehlt nur noch die potentielle Energie... \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{kin}} ~=~ F \, v \]

Um auf potentielle Energie zu kommen, musst Du die Kraft in zwei Anteile unterteilen. Ein Anteil der Kraft ist konservativer Natur (bezeichne diesen Teil mit \( F_{\text{kons}} \)), d.h. hier sind nur Kraftanteile enthalten, die nicht von der Geschwindigkeit abhängen. \( F_{\text{kons}} \) könnte beispielsweise die Schwerkraft sein, denn sie lautet \( F_{\text G} ~=~ m \, g \) und ist - wie Du siehst - unabhängig von der Geschwindigkeit \( v \)!

Der andere Anteil der Kraft ist dissipativ (bezeichne diesen Anteil mit \( F_{\text{diss}} \)), dazu gehören alle Kräfte, die nicht konservativ sind, wie z.B. die sogenannte Stokessche Reibungskraft!

Wenn Du beide Anteile als Summe einsetzt, bekommst Du folgende Gleichung: \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{kin}} ~=~ \left( F_{\text{kons}} ~+~ F_{\text{diss}} \right) \, v \]

Nun ist jede konservative Kraft \( F_{\text{kons}} \) dadurch gekennzeichnet, dass sie mit potentieller Energie \( E_{\text{pot}} \) umgeschrieben werden kann und zwar ersetzt Du \( F_{\text{kons}} \, v \) - was einer Leistung entspricht - mit \( -\frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{pot}} \): \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{kin}} ~=~ -\frac{\text{d}}{\text{d}t} \, U ~+~ F_{\text{diss}} \, v \]

Wenn Du noch \( -\frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{pot}} \) auf die rechte Seite bringst und den Differentialoperator \( \frac{\text{d}}{\text{d}t} \) ausklammerst (das darfst Du, weil \( \frac{\text{d}}{\text{d}t} \) auf beide Summanden der rechten Seite angewendet wird), bekommst Du: \[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{kin}} ~+~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, E_{\text{pot}} ~=~ F_{\text{diss}} \, v \]

Als Ergebnis hast Du folgendes: Wenn die zeitliche Ableitung der Summe aus kinetischer und potentieller Energie Null ergibt, sind die auf das Teilchen wirkenden Kräfte konservativ und die Energie ist erhalten: \[ E_{\text{kin}} ~+~ E_{\text{pot}} ~=~ \text{const.} ~=:~ E \]

Jetzt weißt Du woher die mechanische Gesamtenergie \( E \), die sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammensetzt, kommt.

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