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Alexander Fufaev

Schrödinger-Gleichung: Wellenfunktion herausfinden

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Definition

Schrödingergleichung - ist eine partielle Differentialgleichung, mit der Du die zeitliche Entwicklung eines nicht-relativistischen, quantenmechanischen Systems (z.B. einer Elementarladung) beschreiben kannst.

Schrödinger-Gleichung in einer Dimension

Eindimensionale zeitabhängige Schrödingergleichung \[ i \, \hbar \, \frac{\partial \Psi}{\partial t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} ~+~ V \, \Psi \]
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  • Wellenfunktion \( \Psi \): sie beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens, wobei ihr Betragsquadrat \( |\Psi|^2 \) die Wahrscheinlichkeitsdichte angibt.
  • Reduziertes Wirkungsquantum \( \hbar \): ist eine Konstante und hat den Wert \( \hbar ~=~ \frac{h}{2 \pi} ~=~ 1.054 \, 572 ~\cdot~ 10^{-34} \, \text{Js} \).
  • Masse \( m \): von dem betrachteten quantenmechanischen System (z.B. von einem Elementarteilchen).
  • Imaginäre Zahl \( i \): ist eine komplexe Zahl. Es gilt: \( i^2 ~=~ -1 \).
  • Potentielle Energie \( V \): in dem sich die zu beschreibende Elementarladung befindet. Sie hängt vom Ort ab und manchmal sogar auch von der Zeit.

Wie bestimmst Du die Wellenfunktion?

Um die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) zu bestimmen, musst Du die Schrödingergleichung lösen. Sie ist eine partielle Differentialgleichung, die jedoch nicht so einfach per Hand zu bestimmen ist. Um sie per Hand lösen zu können, musst Du zuerst annehmen, dass die potentielle Energie \( V(x,t) \) unabhängig von der Zeit ist, also nur vom Ort abhängt \( V(x) \) (wie beispielsweise die potentielle Energie im Gravitationsfeld nur von der Höhe über dem Erdboden abhängt).

Durch die Annahme, dass die potentielle Energie unabhängig von der Zeit ist, kannst Du eine sogenannte Variablenseperation durchführen. Dies ist ein wichtiger Ansatz in der Physik, um Differentialgleichungen zu lösen. Dazu teilst Du die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) in einen Anteil, der nur vom Ort abhängt \( \psi(x) \) und einen anderen Anteil, der nur von der Zeit abhängt \( \phi(t) \). Dann schreibst Du die beiden separierten Funktionen in einem Produkt auf, welches einen kleinen Anteil der Lösungen der Wellenfunktion repräsentiert: 1 \[ \Psi(x,t) ~=~ \psi(x) \, \phi(t) \] Es ist nicht schlimm, dass die Lösungen von dieser Form nur einen klenen Bruchteil der Lösungen darstellen, denn Du kannst alle diese Lösungen zusammen als Linearkombination aufschreiben und so die allgemeine Lösung der Wellenfunktion bekommen.

Wie Du an der Schrödingergleichung siehst, kommen dort \( \frac{\partial \Psi}{\partial t} \) und \( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \) vor. Leite also \( \Psi(x,t) \) (in 1) nach der Zeit und zweimal nach dem Ort ab, um zwei folgende Gleichungen zu bekommen: 2 \[ \frac{\partial \Psi}{\partial t} ~=~ \psi \, \frac{\partial \phi(t)}{\partial t} \] \[ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} ~=~ \phi \, \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} \]

Jetzt kannst Du neben 1 auch diese beiden Gleichungen aus 2 in die Schrödingergleichung einsetzen: 3 \[ i \, \hbar \, \psi \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \phi \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ V \, \phi \, \psi \] dabei wurden die Ableitungen nicht mehr als partielle Ableitung \( \frac{\partial}{\partial} \) sondern als totale Ableitung \( \frac{\text{d}}{\text{d}} \) geschrieben, weil in diesem Fall die partielle und totale Ableitung das Gleiche sind und Du deshalb diese Freiheit hast (Du musst es aber nicht tun). Die "Ableitungsarten" sind gleich, weil \( \psi(x) \) nur vom Ort und \( \phi(t) \) nur von der Zeit abhängt.

Um auf der linken Seite der Gleichung nur eine Abhängigkeit von der Zeit \(t \) und auf der rechten Seite nur eine Abhängigkeit vom Ort \( x \) zu haben, teilst Du die Gleichung 3 durch \( \psi \, \phi \): 4 \[ i \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{1}{\psi} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ V \]

Wenn Du nun die Zeit \( t \) (die nur auf der linken Seite vorkommt) verstreichen lässt, wird sich nur die linke Seite der Gleichung verändern, während die rechte Seite unverändert bleibt. Dadurch wäre die Gleichheit (=) verletzt. Die Verletzung passiert auch, wenn Du auf der rechten Seite den Ort variierst. Aus diesem Grund müssen beide Seiten der Gleichung konstant sein! Diese Konstante ist übrigens die Gesamtenergie, deshalb ist es sinnvoll sie mit \( E \) zu bezeichnen.

Definiere also die rechte Seite von 4 als eine Konstante \( E \), dann bekommst Du die erste gewöhnliche Differentialgleichung: 5 \[ i \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \, \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ E \]

Bringe am besten noch \( i \, \hbar \, \frac{1}{\phi} \) auf die andere Seite (wobei \( \frac{1}{i} \) zu \( -i \) wird): 6 \[ \frac{\text{d} \phi}{\text{d} t} ~=~ -\frac{iE}{\hbar}\, \phi \]

Die zweite gewöhnliche Differentialgleichung bekommst Du, wenn Du statt der rechten Seite, die linke Seite mit \( E \) bezeichnest und am besten noch die ganze Gleichung mit \( \psi \) multiplizierst:

Eindimensionale zeitUNabhängige Schrödinger-Gleichung 7 \[ E \, \psi ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \frac{\text{d}^2 \psi}{\text{d} x^2} ~+~ V \, \psi \]

Nun hast Du statt einer partiellen Differentialgleichung (zeitabhängige Schrödingergleichung), zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die - per Hand - deutlich einfacher zu lösen sind! Die Lösung für die erste DGL 6, bekommst Du, indem Du 6 mit \( \text{d}t \) multiplizierst und dann integrierst: 8 \[ \phi (t) ~=~ e^{-\frac{iE}{\hbar}t}\]

Und die zweite DGL 7 kannst Du nicht näher bestimmen, solange keine konkrete potentielle Energiefunktion \( V \) gegeben ist. Die Differentialgleichung 7 wird als zeitunabhängige Schrödingergleichung bezeichnet.

Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen

Bisher wurde die Bewegung eines quantenmechanischen Teilchens entlang der x-Koordinate betrachtet. Jetzt ziehen wir auch die y- und z-Koordinate in Betracht. Das heißt, die Wellenfunktion \( \Psi(\boldsymbol{r},t) \) und das Potential \( V(\boldsymbol{r},t) \) hängen jetzt im Allgemeinen vom Ortsvektor \( \boldsymbol{r} = (x,y,z) \) ab. Mit dem Laplace-Operator: 9 \[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \] bekommst Du die dreidimensionale Version:

Dreidimensionale zeitabhängige Schrödinger-Gleichung 10 \[ i \, \hbar \, \frac{\partial \Psi}{\partial t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \Psi ~+~ V \, \Psi \]

Zeitunabhängiges Potential

Wenn das Potential \( V(\boldsymbol{r})\) zeitunabhängig ist, dann kannst Du wie bei der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung vorgehen und die Variablen \( \boldsymbol{r} \) und \( t \) separieren. Dann bekommst Du: 11 \[ \Psi_n(\boldsymbol{r},t) ~=~ \psi_n(\boldsymbol{r}) \, e^{-\textbf{i}\frac{E_n t}{\hbar}} \]

Hierbei bekommst Du \( \psi(\boldsymbol{r}) \) durch Lösen der folgenden Schrödinger-Gleichung:

Dreidimensionale zeitUNabhängige Schrödinger-Gleichung 12 \[ E \, \psi ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \psi ~+~ V \, \psi \]

Beachte, dass die Energie \( E_n \) zu einer bestimmten Ortswellenfunktion \( \psi_n(\boldsymbol{r}) \) gehört, die durch die Quantenzahl \( n \) charakterisiert ist. Wenn Du über \( n \) mit passenden Koeffizienten \( C_n \) summierst, dann bekommst Du die allgemeine Lösung: 13 \[ \Psi(\boldsymbol{r},t) ~=~ \sum_n \, C_n \, \psi_n(\boldsymbol{r}) \, e^{-\textbf{i}\frac{E_n t}{\hbar}} \]

Potential nur vom Abstand vom Ursprung abhängig

Wenn sich das Potential nur mit dem Abstand \( r \) vom Ursprung ändert (sphärische Symmetrie), dann ist es sinnvoll sphärische Koordinaten \((r, \theta, \varphi)\) zu benutzen. Da in 10 der Laplace-Operator \( \nabla^2 \) vorkommt, musst Du ihn erstmal in sphärischen Koordinaten ausdrücken (in 9 hängt ja von den kartesischen Koordinaten \(x,y,z\) ab). Durch die Variablenseparation bekommst Du den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: 14 \[ \nabla^2 ~=~ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \, \frac{\partial}{\partial r} \right) ~+~ \frac{1}{r^2 \, \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin(\theta) \, \frac{\partial}{\partial \theta} \right) ~+~ \frac{1}{r^2 \, \sin^2(\theta)} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \]

In sphärischen Koordinaten lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung 12 mittels 14:

Dreidimensionale zeitUNabhängige Schrödinger-Gleichung in sphärischen Koordinaten 15 \[ E \, \psi ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \, \frac{\partial \psi}{\partial r} \right) ~+~ \frac{1}{r^2 \, \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin(\theta) \, \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right) ~+~ \frac{1}{r^2 \, \sin^2(\theta)} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \varphi^2} \right] ~+~ V \, \psi \]
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