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Alexander Fufaev

Achterbahn: wie Du Looping lebend überwindest

aus dem Bereich: Theorien
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Auch bei Loopingbahn gilt der Energieerhaltungssatz! Das heißt: Die Gesamtenergie \( E_{\text{ges}} \) eines abgeschlossenen Systems ist konstant.

Anders gesagt: Die Summe der potentiellen Energie Epot und der kinetischen Energie Ekin ist immer gleich groß. Und zwar für beliebige Orte - z.B. am Ort 1 und am Ort 2 - auf der Loopingbahn: 1 \[ E_{\text{kin1}} ~+~ E_{\text{pot1}} ~=~ E_{\text{kin2}} ~+~ E_{\text{pot2}} \]

Das kannst Du ausnutzen, um beispielsweise die Geschwindigkeit v zu berechnen, denn sie kommt in folgender Gleichung für Energieerhaltung vor: 2 \[ E_{\text{kin}} ~+~ E_{\text{pot}} ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 ~+~ m\,g\,h \]

Wenn Du aber wissen möchtest, ob Du es mit dieser Geschwindigkeit schaffst die Loopingbahn lebend zu überwinden, dann musst Du auch etwas über die wirkenden Kräfte wissen, nämlich: die Gewichtskraft \( F_{\text G} \), die Dich stets in Richtung des Erdbodens zieht und die Zentrifugalkraft \( F_{\text Z} \), die Dich beim Looping in den Sitz des Wagens und den Wagen auf die feste Schiene drückt. Das ist auch der Grund, warum Du nicht einfach herunter stürzt.

Formel: Gewichtskraft 3 \[ F_{\text G} ~=~ m \, g \]
Mehr zur Formel...
  • Masse \( m \): des Wagens [Einheit: \( \text{kg} \)]
  • Gravitationsbeschleunigung \( g \): ihr Wert auf der Erde beträgt ungefähr \( 9.8 \, \frac{\text m}{\text{s}^2} \)
Zentripetalkraft: Kreisbewegung Speichern | Info
Zentripetalkraft \(F_{\text Z}\) hält eine Masse \(m\) mit Geschwindigkeit \(v\) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\).
Formel: Zentripetalkraft 4 \[ F_{\text Z} ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \]
Mehr zur Formel...
  • Masse \( m \): des Wagens [Einheit: \( \text{kg} \)]
  • Geschwindigkeit \( v \): des Wagens [Einheit: \( \frac{\text m}{\text s} \)]
  • Radius \( r \): des Loopings [Einheit: \( \text{m} \)]

Nötige Geschwindigkeit berechnen

Loopingbahn in der Physik Speichern | Info
Loopingbahn mit eingezeichneten Kräften, Mindestgeschwindigkeit und Höhen.

Wenn Du die notwendige Geschwindigkeit zur Überwindung der Loopingbahn berechnen möchtest, musst Du den höchsten Punkt des Loopings betrachten, also da, wo Du genau kopfüber stehst! Einzige Information, die Du hast, ist: Radius der Loopingbahn und die Tatsache, dass bei einer Kreisbewegung auf der Erde zwei grundsätzliche Kräfte auf das gedrehte Objekt einwirken. Die nach unten ziehende Schwerkraft FG und die vom Loopingmittelpunkt wegzeigende Zentrifugalkraft FZ.

Am höchsten Punkt ist die Zentrifugalkraft genau entgegengesetzt der Schwerkraft gerichtet. Damit Du nicht herunterfällst, muss die Zentrifugalkraft mindestens genau so groß sein wie die Schwerkraft: 5 \[ \frac{m \, v^2}{r} ~\geq~ m \, g \]

Die Umformung obiger Ungleichung nach der Geschwindigkeit ergibt die Bedingung zur Überwindung des Loopings: 6 \[ v ~\geq~ \sqrt{g \, r} \]

Jetzt musst Du nur noch die Gravitationsbeschleunigung \( g \) (auf der Erde \( g = 9.8 \text{m}/\text{s}^2 \)) und den konkreten Radius der Loopingbahn \( r \) in 6 einsetzen, um die Mindestgeschwindigkeit herauszubekommen: Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt, mit der Du Loopingbahn lebend überwindest. 7 \[ v_{\text{min}} ~=~ \sqrt{g \, r} \]

Die Frage ist: Welche Geschwindigkeit \( v_{\text{unten}} \) musst Du unten, also bei \( h_{\text{unten}} = 0 \) haben, um \( v_{\text{min}} \) am höchsten Punkt zu erreichen? Dazu setzt Du die Anfangsenergie mit der Energie am oberen Punkt, wie in 1, gleich: 8 \[ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{unten}}^2 ~+~ m \, g \,*\, 0 ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{min}}^2 ~+~ m \, g \, h_{\text{oben}} \]

Du möchtest ja die notwendige Geschwindigkeit unten herausfinden, also stelle 8 nach \( v_{\text{unten}} \) um. Setze direkt den Durchmesser \( h_{\text{oben}} = 2r \) und die Mindestgeschwindigkeit 7 ein: Mindestgeschwindigkeit beim Hereinfahren in den Looping, um Mindestgeschwindigkeit \( v_{\text{min}} \) am höchsten Punkt \( h_{\text{oben}} \) zu erreichen und somit nicht auf den Popo zu fallen. 9 \[ v_{\text{unten}} ~=~ \sqrt{5g \, r} \]

Achterbahn mit Looping: ohne Absturz

Final Destination Situation: Der Motorantrieb der Achterbahn ist kaputtgegangen und Du befindest Dich gerade auf einem Achterbahn-Berg mit einer Geschwindigkeit nahe Null (vstart=0) und bist kurz davor herunterzurollen. Reicht die Höhe des Berges aus, um den Looping zu überwinden? Berechne dazu die Höhe hmin, auf der Du dich mindestens befinden musst.

In diesem Fall hättest Du nur potentielle Energie Epot=mghmin. Diese wird sich - bis zum höchsten Punkt des Loopings - zum Teil in kinetische Energie umwandeln: 10 \[ m \, g \, h_{\text{min}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{min}}^2 ~+~ m \, g \, h_{\text{oben}} \]

Setze \( h_{\text{oben}} = 2r \) und Mindestgeschwindigkeit 7 in 10 ein: 11 \[ m \, g \, h_{\text{min}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, \sqrt{gr}^2 ~+~ m \, g \, 2r \]

Jetzt musst Du nur noch 11 nach \( h_{\text{min}} \) auflösen und Du bekommst: Mindesthöhe des Achterbahn-Berges, von der Du starten musst, um den Looping zu schaffen. 12 \[ h_{\text{min}} ~=~ \frac{5}{2} r \]

Unglaublich! Die Mindesthöhe ist nur abhängig vom Radius der Loopingbahn; ganz egal, ob Du dich auf dem Mars oder Jupiter befindest. Die Mindesthöhe befindet sich also immer ein\(\frac{1}{4}\) des Looping-Durchmessers über dem höchsten Punkt der Loopingbahn.

Beispiel zur Starthöhe Wenn der Durchmesser des Loopings 20 Meter beträgt, dann ist sein Radius r=10m. Damit muss Deine Starthöhe hmin - von der Du in den Looping hineinfährst - mindestens 25 Meter betragen.

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