1. Welt
  2. Theorien
  3. #33
Alexander Fufaev

Energieerhaltungssatz: Schiefe Ebene

aus dem Bereich: Theorien
Optionen

Energieerhaltungssatz - der besagt, dass die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt - kann auf eine schiefe Ebene angewendet werden, um die Geschwindigkeit des herunterrutschenden Körpers auf einer bestimmten Höhe zu berechnen.

Die Gesamtenergie Eges eines Körpers (z.B. einer Kugel) auf der schiefen Ebene setzt sich aus seiner Bewegungsenergie Ekin und Höhenenergie Epot zusammen: 1 \[ E ~=~ E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} \]

Setzt Du in 1 die konkreten Formeln für Höhenenergie und Bewegungsenergie ein, dann hast Du:

Energieerhaltung: Formel 2 \[ E ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,h \]
  • m: Masse des Körpers in kg
  • v: Geschwindigkeit des Körpers in m/s
  • h: Höhe auf der sich der Körper befindet, in m
  • g: Fallbeschleunigung 9.8m/s2

Oben auf der Ebene: Körper besitzt nur Höhenenergie

Schiefe Ebene: maximale potentielle Energie Speichern | Info
Ein Skifahrer, der auf der Spitze des Eisberges steht, besitzt die maximale potentielle Energie, die er aus der Höhe \( h_0 \) des Berges bekommen kann. Wäre der Berg höher, dann hätte der Skifahrer eine noch größere potentielle Energie.

Ein Körper, der sich ganz oben auf der schiefen Ebene befindet und noch nicht losgelassen wird, besitzt keine kinetische Energie \( E_{\text{kin}} = 0 \) (weil er sich eben nicht bewegt). Hat dafür aber - weil er auf einer bestimmten Höhe \( h_0 \) über der Erde gehalten wird - eine potentielle Energie (Höhenenergie). Also ist seine Gesamtenergie NUR die potentielle Energie: 3 \[ E ~=~ 0 + E_{\text{pot}} ~=~ E_{\text{pot}} \]

Seine Gesamtenergie \( E \) ist also mithilfe von Gleichung 2 genau: 4 \[ E ~=~ m \, g \, h_0 \] wobei die Geschwindigkeit in 2 einfach Null gesetzt wurde und für \( h \) wurde die Höhe der schiefen Ebene eingesetzt; weil sich oben auf der Ebene der Körper befindet und Du SEINE potentielle Energie wissen möchtest!

Körper wird losgelassen: Höhenenergie wird umgewandelt

Schiefe Ebene: Kinetische + potentielle Energie Speichern | Info
Ein Skifahrer rutscht einen Eisberg herunter, d.h. er besitzt eine kinetische Energie. Er ist außerdem auf einer bestimmten Höhe \( h \) über dem Erdboden, d.h. er besitzt auch eine potentielle Energie.

Sobald Du den Körper loslässt, gleitet er die schiefe Ebene hinunter und verliert dabei an Höhe. Wir nehmen an, dass er reibungslos hinuntergleitet. Eine niedrigere Höhe bedeutet aber eine geringere Höhenenergie. Wo ist die Energie hin? Sie ist jedenfalls nicht in einem schwarzen Loch verschwunden!

Nach dem Energieerhaltungssatz muss diese verlorene Höhenenergie sich in Bewegungsenergie umgewandelt haben. Und das kannst Du sogar mit Deinen Augen sehen. Denn der Körper bewegt sich ja!

Der Körper ist jetzt also sowohl auf irgendeiner Höhe (ungleich Null) als auch in einer Bewegung (Geschwindigkeit ungleich Null). Die Bewegungsenergie ist nicht mehr Null. Die Gesamtenergie ist jetzt also zum Teil als kinetische und zum Teil als potentielle Energie vorhanden: 5 \[ E ~=~ E_{\text{kin}} ~+~ E_{\text{pot}} \]

Also konkret eingesetzt, ist seine Gesamtenergie: 6 \[ E ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,h \] dabei sind \( v \) seine aktuelle Geschwindigkeit und \( h \) seine aktuelle Höhe.

Welche Geschwindigkeit hat der Körper?

Du möchtest herausfinden, welche Geschwindigkeit der Körper auf irgendeiner beliebigen Höhe \( h \) auf der schiefen Ebene hat.

Du weißt, welche Gesamtenergie der Körper auf der schiefen Ebene besitzt. Sie entspricht nämlich - vom Wert her - der Höhenenergie: 7 \[ E ~=~ m \, g \, h_0 \]

Höhe \( h_0 \) ist dabei die maximale Höhe, die der Körper jemals besaß. Er war ganz oben auf der schiefen Ebene, also ist \( h_0 \) genau die Höhe der schiefen Ebene.

Du weißt aber auch - wegen der Energieerhaltung -, dass der Körper diese Gesamtenergie an jedem Punkt der schiefen Ebene besitzen wird. Sie geht ja nicht irgendwohin verloren. Sie wandelt sich nur in Bewegungsenergie um. Deshalb lautet die Energie-Gleichung für die aktuelle Höhe \( h \): 8 \[ E ~=~ m \, g \, h ~+~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]

Die Gesamtenergie kennst Du! Setze sie ein: 9 \[ m \, g \, h_0 ~=~ m \, g \, h ~+~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]

Forme 9 nur noch nach der aktuellen Geschwindigkeit um:

Aktuelle Geschwindigkeit auf der Höhe h 10 \[ v ~=~ \sqrt{2\,g\,(h_0 ~-~ h)} \]

Auffälligkeiten an der Formel 10:

  • Geschwindigkeit ist unabhängig davon, wie schwer der Körper ist
  • Geschwindigkeit ist unabhängig davon, ob der Körper schräg oder geradeaus zu Boden fällt.
Beispiel: Geschwindigkeit auf irgendeiner Höhe Ein Skifahrer gleitet antriebslos von einem \( h_0 = 10 \, \text{m} \) hohen Berg herunter. Du willst herausfinden, welche Geschwindigkeit er auf der Höhe \( h = 6\, \text{m} \) haben wird.

Einsetzen der Gegebenheiten in die Formel ergibt: v ≈ 9m/s. Das sind v ≈ 32.4km/h, die der Skifahrer auf 6 Meter Höhe besitzen wird!

Ist das nicht unglaublich?
Du kannst - mithilfe der Energieerhaltung - die Geschwindigkeit des Objekts an jedem Punkt der schiefen Ebene berechnen! Und das ohne jeglicher Winkel, ohne Masse des Körpers, ohne irgendwelcher Kräfte...

Am Ende der schiefen Ebene: Körper besitzt nur Bewegungsenergie

Schiefe Ebene: maximale kinetische Energie Speichern | Info
Ein Skifahrer, der von der Spitze des Eisberges bis zum Erdboden heruntergerutscht ist und deshalb seine gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt hat. Nun besitzt er jetzt die maximale - von der Höhe \( h_0 \) aus erreichbare - Geschwindigkeit.

Sobald der Körper am Ende der schiefen Ebene angelangt ist (bei der Höhe h = 0), besitzt er keine Höhenenergie mehr. Dafür aber steckt seine Gesamtenergie jetzt in der Bewegungsenergie drin: 11 \[ E ~=~ E_{\text{kin}} ~+~ 0 ~=~ E_{\text{kin}} \]

Kinetische Energie eingesetzt, also: 12 \[ E ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 \]

Du musst Dir das vorstellen, all seine Energie ist jetzt in Form der Bewegungsenergie, d.h. am Ende der Ebene besitzt der Körper seine maximal erreichbare Geschwindigkeit \( v_{\text{max}} \), wenn es aus der Höhe \( h_0 \) nach unten kam. Mithilfe von 12 kannst Du also seine maximale Geschwindigkeit herausfinden: 13 \[ v_{\text{max}} ~=~ \sqrt{ \frac{2 E}{m} } \]

Die Gesamtenergie \( E \) ist dabei die Energie, die der Körper ganz am Anfang hatte, bevor er die Ebene herunterrutschte. Und das ist genau die Höhenenergie \( E = m \, g \, h_0 \). Eingesetzt in 13:

Maximale Geschwindigkeit - aus einer Starthöhe 14 \[ v_{\text{max}} ~=~ \sqrt{ 2 g \, h_0 } \]

Wie Du an 14 siehst, brauchst Du lediglich die Anfangshöhe \( h_0 \) des Körpers, um seine maximale Geschwindigkeit herauszufinden!

Weltkarte
Verwalten
Profil
Die Stimme fragt...
Wie erlange ich den Zugang?

Um das Portal von Ak'tazun betreten zu können, musst Du die rote Pille schlucken. Nachdem Du durch das Portal gegangen bist, gelangst Du in die Matrix, wo Du beispielsweise folgendes tun kannst:

  • Inhalte hinzufügen & verwalten
  • Einige Inhalte kommentieren
  • Mittels Kommunikator RT2000 chatten
  • WhatsApp-Gruppe beitreten
Bist Du dabei?
Ja, bin dabei!
Portale in die anderen Welten

Reise zu den sicheren anderen Welten des Internets, um nach dem Wissen zu suchen. Findest Du eine Welt besonders interessant, dann kannst Du in der Universaldenkerwelt ein Portal zu dieser Welt erbauen, um den anderen Besuchern den schnellen Zugang dazu zu gewährleisten.

Portalraum betreten
Kommunikator
ONLINE 1
Gäste online: 1
Denker online: 0
Der Kommunikator RT2000 funktioniert nur innerhalb der Matrix!
Ich will in die Matrix!Mayday! Kontakt aufnehmen.