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Alexander Fufaev

Lägenkontraktion: bewegte Maßstäbe sind verkürzt

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Längenkontraktion - ist ein Phänomen aus der Relativitätstheorie und besagt, dass in einem relativ zu Dir bewegten Bezugssystem die Länge in Bewegungsrichtung verkürzt ist.

Längenkontraktion berechnen

Länge \( l \) ist vom bewegten Beobachter gemessene Länge eines Objekts
\[ l ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, l_0 \]
Mehr zur Formel
  • Länge \( l_0 \): aus Sicht eines Beobachters, für den das vermessene Objekt ruht.
  • Relativgeschwindigkeit \( v \): ist die Geschwindigkeit, mit der der Ruhebeobachter das bewegte System fliegen sieht.
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{m}{s} \).

Längenkontraktion veranschaulicht

Neben der Zeitdilatation kannst Du die Längenkontraktion in einem Minkowski-Diagramm veranschaulichen. Dazu musst Du Dich wie in der Relativitätstheorie üblich, eine Beobachtung aus verschiedenen Perspektiven machen, um einen Unterschied in der Länge eines Objekts festzustellen.

Minkowski-Diagramm: Längenkontraktion für den Ruhebeobachter Speichern | Info
Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachse, sowie zwei Ereignisse E0 und E1, die für den bewegten Beobachter gleichzeitig stattfinden und ihr räumlicher Abstand zueinander, die Länge des Stabs repräsentiert. Die Länge des Stabs scheint für den Ruhebeobachter im bewegten System verkürzt.

Du bist ein ruhender Beobachter. Du hast ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Dann nimmst Du irgendeinen Stab, der in Deinem Inertialsystem eine Längeneinheit hat. Ob das ein Meter, ein Zentimter oder etwas anderes ist, ist egal!

Der Stab ist in Deinem Inertialsystem in Ruhe, weshalb seine Enden zwei zur Zeitachse parallele Weltlinien erzeugen. Denn die Stabenden befinden sich in Ruhe und ruhende Objekte erzeugen immer parallele Weltlinien in Minkowski-Diagrammen. Platziere das eine Ende des Stabs in den Ursprung Deines Koordinatensystems. Dadurch wird die Weltlinie dieses Endpunkts genau entlang Deiner Zeitachse verlaufen. Das bringt Dir einen Vorteil, wenn Du die Koordinatenursprünge von anderen (insbesondere bewegten) Koordinatensystemen, in Deinen eigenen Koordinatenursprung legst. Alle Ursprungsereignise für jeden Beobachter finden somit zur selben Zeit am selben Ort statt. Du musst Dich also nur um das andere Ende des Stabs kümmern. Die Frage ist also, wenn der Stab für Dich eine Längeneinheit hat, welche Länge beobachtet ein relativ zu Dir bewegter Beobachter?

Wie Du weißt, der Schnittpunkt der Ortsachse eines Inertialsystems mit der Einheitshyperbel (für den Ort), ergibt eine Längeneinheit in dem jeweiligen Inertialsystem.

Damit eine Messung Deines Stabs (vom bewegten System aus gemessen) richtig ist, müssen die beiden Orte der Enden gleichzeitig abgelesen werden. Alles, was für das bewegte System gleichzeitig passiert, liegt auf Parallelen zu seiner Ortsachse. Schaue also, wo die Weltlinien der Stabenden die Ortsachse des bewegten Systems schneiden. Das ist einmal im Ursprung bei \( \mathcal{O} \) der Fall und bei \( \mathcal{E}_s \). Die Strecke \( \overline{\mathcal{OE}}_s \) ist aber kürzer als eine Längeneinheit im bewegten System. Wie Du siehst, ist für das bewegte Raumschiff die Länge des Stabs kleiner als in dessen Ruhesystem.

Minkowski-Diagramm: Längenkontraktion für den bewegten Beobachter Speichern | Info
Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachse, sowie zwei Ereignisse E0 und E1, die für den ruhenden Beobachter gleichzeitig stattfinden und ihr räumlicher Abstand zueinander, die Länge des Stabs repräsentiert. Die Länge des Stabs scheint für den bewegten Beobachter im ruhenden System verkürzt.

Nach dem Relativitätsprinzip sollte aber auch der ruhende Beobachter die Stablänge im bewegten System verkürzt messen. Zeichne dazu den gleichen Stab mit der Einheitslänge auf die Ortsachse des bewegten Systems. Die Weltlinien der Stabenden erzeugen Parallelen zur Zeitachse (Du weißt ja...Linien der Gleichortigkeit). Ihre Schnittpunkte mit der Ortsachse des ruhenden Beobachters ergeben die vom ruhenden System gemessene Länge des Stabs. Wie Du siehst, ist sie kürzer als im Ruhesystem des Raumschiffs.

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