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Alexander Fufaev

Diracsche Delta-Funktion & ihre Eigenschaften

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Definition

Diracsche Delta-Funktion (oder Delta-Distribution) - ist eine infinitesimal schmale, unendlich hohe Spitze mit folgenden Definition: \[ \delta(x-c) ~=~ \begin{cases}0 & x \neq c \\ \infty & x = c \end{cases} \] und für das Integral: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ 1 \] Einheit: [\( \frac{1}{m} \)]

Um genauer zu sein, ist die Dirac'sche Delta-Funktion, keine Funktion, sondern eine Distribution; weil ihr Wert an der Stelle \( x ~=~ c \) nicht endlich ist.

Betrachtest Du das Produkt der Delta-Distribution mit einer beliebigen, stetigen Funktion \[ f(x) \,\delta(x-c) \] dann ist dieses Produkt genau dann Null \[ f(x) \,\delta(x-c) ~=~ 0 \] wenn \( x \neq c \) ist (wegen der Definition der Delta-Distribution). Und das Produkt ist nicht Null, wenn \( x = c \) ist: \[ f(x) \,\delta(x-c) ~\neq~ 0 \]

Fasst Du nun beide Fälle zusammen, dann darfst Du die Funktion \( f(x) \) durch den Wert ersetzen, den sie an der Stelle \( c \) annimmt, also durch \( f(c) \): \[ f(x) \,\delta(x-c) ~=~ f(c) \,\delta(x-c) \] Diese Gleichung ist dann für alle Werte von \(x\) erfüllt. Beispiel: Produkt mit Delta-Distribution Für eine Funktion \( f(x) ~=~ x^2 \) ist das Produkt: \[ x^2 \,\delta(x-c) ~=~ c^2 \, \delta(x-c) \] da \( \delta(x-c) \) nur bei \( x~=~ c \) nicht Null ist.

Integrierst Du nun die Gleichung \[ f(x) \,\delta(x-c) ~=~ f(c) \, \delta(x-c) \] dann hast Du mit eben überlegter Eigenschaft der Delta-Distribution: \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} f(c) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x \]

\( f(c) \) ist aber eine Konstante, weshalb Du sie vor das Integral schreiben darfst: \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ f(c) \, \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x \]

Setzt Du nur noch die Definition der Dirac'schen Delta-Funktion ein, die besagt dass \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ 1 \] dann hast Du: \[ f(c) \, \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ f(c) \] Beispiel: Integral der Delta-Funktion Du möchtest das folgende Integral (mit \( f(x) ~=~ x^2 \) und \( c ~=~ 3 \)) \[ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x \] berechnen. \( \delta(x-3) \) ist nur bei \( x~=~3 \) nicht Null (bei \( x~\neq~3 \) wäre das Integrall Null). Also ersetzt Du mithilfe der Definition der Dirac'schen Delta-Funktion \[ x^2 \,\delta(x-3) ~=~ 9 \, \delta(x-3) \] und bekommst den Wert für das Integral: \[ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x ~=~ 9 \]

Beachte! Liegt der Wert, bei dem die Delta-Distribution nicht Null ist - im Beispiel 2 ist es bei \( x ~=~ 3 \) der Fall - außerhalb des Integrationsbereichs, dann wird das Integrall Null.

Mit Integrationsgrenzen 0 und 1 für Beispiel 2, hast Du ja dann: \[ \int_{0}^{1} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x ~=~ 9 \, \int_{0}^{1} \delta(x-3) ~ \text{d}x \] aber eine Funktion, die nur für \( x \) von 0 bis 1 aufsummiert (integriert) wird, ist \[ \delta(x-3) ~=~ 0 \] weil Du ja schließlich mit den Integrationsgrenzen 0 bis 1, die Spitze bei \( x ~=~ 3 \) nicht mitaufsummierst; deshalb darfst Du auch keine 3 in \( \delta(x-3) \) einsetzen, weshalb die Delta-Distribution damit immer Null bleibt. Und somit auch das Integral: \[ \int_{0}^{1} x^2 \, \delta(x-3) ~ \text{d}x ~=~0 \]

Eigenschaften der Deltafunktion

  1. \( \delta(k \, x) ~=~ \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \)
  2. \( \delta(-x) ~=~ \delta(x) \)
  3. Dimension der Deltafunktion ist \( \frac{1}{\text{[Einheit von x]}} \)

Die 2. und 3. Eigenschaften folgen aus der 1. Eigenschaft. (Beweis der 1. Eigenschaft als Aufgabe mit Lösung).

Hinweis: Bevor Du die Delta-Distribution benutzt, musst Du sie erst mithilfe dieser Regeln auf die Form bringen, in der sie definiert ist! Das heißt: Zuerst alle Vorfaktoren aus der Klammer ziehen, sodass das Argument der Delta-Distribution die Form \( (x-c) \) hat.

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