1. Welt
  2. Theorien
  3. #1463
Alexander Fufaev

Wellengleichung: Elektromagnetische Wellen

aus dem Bereich: Theorien
Mehr dazu
    Elektromagnetische Welle Speichern | Info
    Elektromagnetische Welle mit E-Feld und B-Feld Komponente.

    Eine elektromagnetische Welle hat einen elektrischen Feldanteil \(\boldsymbol{E}(x,y,z,t)\) und einen magnetischen Feldanteil \(\boldsymbol{B}(x,y,z,t)\). Beide Felder hängen im Allgemeinen von den Ortskoordinaten \(x,y,z\) und von der Zeit \(t\) ab. Außerdem sind die beiden Feldanteile vektorielle Größen, die im dreidimensionalen Raum jeweils drei Komponenten besitzen: 1 \[ \boldsymbol{E} ~=~ \begin{bmatrix}E_{\text x}(x,y,z,t)\\ E_{\text y}(x,y,z,t) \\ E_{\text z}(x,y,z,t) \end{bmatrix}; ~~~ \boldsymbol{B} ~=~ \begin{bmatrix}B_{\text x}(x,y,z,t)\\ B_{\text y}(x,y,z,t) \\ B_{\text z} (x,y,z,t)\end{bmatrix} \]

    Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellengleichung wird durch die beiden folgenden Wellengleichungen beschrieben:

    Wellengleichung für das E-Feld 2 \[ \nabla^2 \, \boldsymbol{E} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \]
    Wellengleichung für das B-Feld 3 \[ \nabla^2 \, \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} \]

    Die beiden Wellengleichungen, sind partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung und lassen sich aus den Maxwell-Gleichungen im ladungsfreien Raum herleiten. Sie wurden für den ladungs- und stromfreien Raum hergeleitet und gelten dementsprechend auch nur unter diesen Bedingungen. 'Ladungsfrei' bedeutet, dass die elektrische Ladungsdichte an jedem Ort Null ist: \(\rho = 0\). Und 'stromfrei' bedeutet, dass die elektrische Stromdichte an jedem Ort Null ist: \(\boldsymbol{j}\).

    Hierbei ist \(\nabla^2\) der Laplace-Operator und sieht ausgeschrieben folgendermaßen aus: 4 \[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

    Mit elektrischer Feldkonstante \(\varepsilon_0\) sowie magnetischer Feldkonstante \(\mu_0\). Wenn man die Wellengleichung 2 bzw. 3 mit der allgemeinen Form einer Wellengleichung vergleicht, ergibt sich der Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit \(c\) der elektromagnetischen Welle und den beiden Feldkonstanten: \( \frac{1}{c^2} = \varepsilon_0 \, \mu_0 \) [Wieso?]. Deshalb lassen sich die Wellengleichungen 2 und 3 auch mittels der Lichtgeschwindigkeit ausdrücken. Die Wellengleichung für das E-Feld sieht dann folgendermaßen aus (für B-Feld analog):

    5 \[ \nabla^2 \, \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \]

    Die Wellengleichung 5 ist vektoriell und hat drei Komponenten. Ausgeschrieben sieht die Vektorgleichung folgendermaßen aus: 6 \[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{bmatrix} \]

    Auf der linken Seite von 6 wird jede Komponente von \(\boldsymbol{E}\) sowohl nach \(x\), \(y\) als auch nach \(z\) zwei Mal differenziert. Auf der rechten Seite von 6 wird jede E-Feld-Komponente zwei Mal nach der Zeit differenziert.

    Ebene elektromagnetische Wellen

    Eine mögliche Lösung der Wellengleichung 6 sind ebene Wellen. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass das E-Feld (und B-Feld), neben der Zeitabhängigkeit, nur von einer Ortskoordinate abhängen, z.B. nur von der Ortskoordinate \(z\): 7 \[ \boldsymbol{E}(z,t) ~=~ \begin{bmatrix} E_{\text x}(z,t) \\ E_{\text y}(z,t) \\ E_{\text z}(z,t) \end{bmatrix} \]

    Das das Feld nicht von \(x\) und \(y\) abhängt, sind in 6 die zweiten Ableitungen nach \(x\) und \(y\) Null. Dadurch vereinfacht sich 6 zu: 8 \[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial z^2} \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text z}}{\partial t^2} \end{bmatrix} \]

    Anschaulicht bedeutet diese Unabhängigkeit des E-Feldes von \(x\) und \(y\), dass das E-Feld zu einem festen Zeitpunkt \(t = t_0\) und bei \(z=z_0\) in der x-y-Ebene einen konstanten Wert hat: \( \boldsymbol{E}(z_0, t_0) = \text{const} \).

    Da die Wellengleichungen nur im ladungsfreien Raum gelten, kann die erste Maxwell-Gleichung \(\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0 \) (mit \(\rho = 0\)) dazu benutzt werden, um 8 weiter zu vereinfachen. Ausgeschrieben lautet die Maxwell-Gleichung: 9 \[ \frac{\partial E_{\text x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{\text y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{\text z}}{\partial z} ~=~ 0 \]

    Der erste und zweite Summand verschwindet, da das E-Feld nicht von \(x\) und \(y\) abhängt. Übrig bleibt: 10 \[ \frac{\partial E_{\text z}}{\partial z} ~=~ 0 \]

    10 ist eine einfach zu lösende Differentialgleichung. Die Ableitung einer Funktion (hier \(E_{\text z}\)) ist genau dann Null, wenn die Funktion konstant ist. Die dritte Komponente des E-Feldes hängt also nicht von \(z\) ab, sondern es ist eine Konstante: \( E_{\text z} := E_0 \). Mit der Randbedingung \(E_{\text z}(z) = 0\) kann \(E_0\) eliminiert werden: \( E_0 = 0\). Das E-Feld einer ebenen Welle hat also nur zwei variablen Komponenten: 11 \[ \boldsymbol{E}(z, t) = \begin{bmatrix} E_{\text x}(z, t) \\ E_{\text y}(z, t) \\ 0 \end{bmatrix} \]

    Das E-Feld (analog gilt es auch für das B-Feld) einer ebenen Welle hat also gar keine sich ändernde \(z\)-Komponente. Nur zwei der drei Komponenten von \(\boldsymbol{E}\) können sich entlang von \(z\) und zeitlich ändern. Die Wellengleichung 8 vereinfacht sich zu: 12 \[ \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial z^2} \\ 0 \end{bmatrix} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 E_{\text x}}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 E_{\text y}}{\partial t^2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

    Die Lösung der ersten bzw. zweiten Komponente der Wellengleichung für ebene Wellen ist stets von der Form:

    13 \[ E_{\text x}(z,t) ~=~ f_{\text x}(z-c\,t) + g_{\text x}(z+c\,t) \] \[ E_{\text y}(z,t) ~=~ f_{\text y}(z-c\,t) + g_{\text y}(z+c\,t) \]

    Hierbei sind \(f\) und \(g\) zweimal stetig differenzierbare Funktionen, die von \(z-c\,t\) bzw. \(z+c\,t\) abhängen. Diese (\(z-c\,t\))- und (\(z+c\,t\))-Abhängigkeiten zeichnen das Wellenverhalten aus. \(f_{\text x}(z-c\,t)\) ist nach rechts (in die positive \(z\)-Richtung) verschoben und \(g_{\text x}(z+c\,t)\) ist nach links (in die negative \(z\)-Richtung) verschoben. Mit der Zeit \(t\) wird diese Verschiebung entlang der \(z\)-Achse größer. Ein Feldanteil \(f_{\text x}(z-c\,t)\) von \(E_{\text x}\) breitet sich also nach rechts und der andere Feldanteil \(g_{\text x}(z+c\,t)\) nach links aus.

    Da sich die elektromagnetische Welle (hier konkret der E-Feld-Anteil) entlang der \(z\)-Achse fortpflanzt, aber keine \(E_{\text z}\)-Komponente besitzt, ist die elektromagnetische Welle eine transversale Welle (d.h. Schwingung des E-Feldes ist orthogonal zur Ausbreitungsrichtung).

    Weltkarte
    Verwalten
    Profil
    Die Stimme fragt...
    Wie erlange ich den Zugang?

    Um das Portal von Ak'tazun betreten zu können, musst Du die rote Pille schlucken. Nachdem Du durch das Portal gegangen bist, gelangst Du in die Matrix, wo Du beispielsweise folgendes tun kannst:

    • Inhalte hinzufügen & verwalten
    • Illustrationen ohne Copyrightzeichen herunterladen
    • Einige Inhalte kommentieren
    • Mittels Kommunikator RT2000 chatten
    • Telegram-Gruppe beitreten
    Bist Du dabei?
    Ja, bin dabei!
    Portale in die anderen Welten

    Reise zu den sicheren anderen Welten des Internets, um nach dem Wissen zu suchen. Findest Du eine Welt besonders interessant, dann kannst Du in der Universaldenkerwelt ein Portal zu dieser Welt erbauen, um den anderen Besuchern den schnellen Zugang dazu zu gewährleisten.

    Portalraum betreten
    Kommunikator
    ONLINE 10
    Gäste online: 10
    Denker online: 0
    Der Kommunikator RT2000 funktioniert nur innerhalb der Matrix!
    Ich will in die Matrix!Mayday! Kontakt aufnehmen.