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Alexander Fufaev

Differentialgleichung (DGL) - aufstellen, lösen, spezifizieren.

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Definition

Differentialgleichung - (kurz: DGL) ist eine Gleichung, in der Ableitungen einer gesuchten Funktion, die von mehreren Variablen abhängen kann, vorkommen.

DGL-Beispiel #1 Im folgenden ist die gesuchte Funktion \(u(x,y)\), die von zwei Variablen \(x\) und \(y\) abhängt. Die DGL enthält eine zweite partielle Ableitung nach \(x\) und eine erste partielle Ableitung nach \(y\): 1 \[ \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} ~=~ 0 \]
DGL-Beispiel #2 Im folgenden ist die gesuchte Funktion \(f(t)\), die von einer Variable \(t\) abhängt. Die DGL enthält eine dritte partielle Ableitung nach \(t\) der Funktion \(f(t)\) und die Funktion \(f(t)\) selbst: 2 \[ \frac{\partial^3 f(t)}{\partial t^3} ~=~ C \, f(t) \] Hierbei ist \(C\) eine Konstante.

Differentialgleichungen sagen etwas über Änderungen einer Funktion aus. Sie sagen nichts über konkrete Werte einer Funktion aus. Eine Differentialgleichung, die beispielsweise das Populationswachstum von Fruchtfliegen beschreibt, sagt etwas über die Änderung der Fruchtfliegenpopulation im Laufe der Zeit aus und NICHT über eine konkrete Anzahl an Fruchtfliegen zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Die Differentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt: Gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Bei diesem Typ der DGL hängt die gesuchte Funktion von einer einzigen Variable ab.

Beispiel: Gewöhnliche DGL Die gewöhnliche DGL für den freien Fall lautet: 3 \[ \frac{\text{d}^2 x(t)}{\text{d} t^2} ~=~ g \] hierbei ist die Fallbeschleunigung \(g\) eine Konstante. Die gesuchte Funktion \(x(t)\) hängt von einer einzigen Variable ab, von der Zeit \(t\).
Partielle Differentialgleichungen
Bei diesem Typ der DGL hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab.
Beispiel: Partielle DGL Die folgende eindimensionale Wellengleichung, die beispielsweise die Ausbreitung elektrogmagnetischer Wellen beschreibt, ist eine partielle DGL: 4 \[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} ~=~ c^2 \, \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \] hierbei ist \(c\) eine Konstante. Die gesuchte Funktion \(u(x,t)\) hängt von der Ortsvariable \(x\) und von der Zeit \(t\) ab.

Eine weitere Kategorisierung der DGL bezieht sich auf die höchste Ordnung der vorkommenden Ableitung. Eine DGL heißt DGL n-ter Ordnung, wenn in der DGL die n-te Ableitung die höchste ist, die in der DGL vorkommt.

Die DGL 4 ist eine DGL 2-ter Ordnung. Die DGL 2 ist eine DGL 3-ter Ordnung.

Schritt #1: DGL aufstellen

Das Aufstellen einer DGL für ein Problem ist im Gegensatz zum Lösen der DGL relativ einfach.

Aufstellen der DGL: Freier Fall Für die DGL des freien Falls werden lediglich zwei Zutaten gebraucht: 1) Fallkraft (veraltet: Gewichtskraft): \(F_{\text g} = m \, g \) und das zweite Newton-Axiom: \(F = m \, a = m \, \frac{\text{d}^2 h(t)}{\text{d}t^2} \). Die Beschleunigung \(a\) ist die zweite Ableitung der Bahnfunktion \(h(t)\), die von der Zeit \(t\) abhängt. Die Kraft \(F\) entspricht beim Freien Fall der Fallkraft \(F_{\text g}\). Gleichsetzen beider Kräfte ergibt: 5 \[ g = \frac{\text{d}^2 h(t)}{\text{d}t^2} \] wobei die Masse \(m\) sich wegkürzt. 5 ist die gesuchte DGL für den freien Fall.

Schritt #2: DGL lösen

Nachdem die Differentialgleichung für ein gegebenes Problem aufgestellt wurde, kann sie gelöst werden, um die gesuchte Funktion herauszubekommen. Einige DGL lassen sich analytisch lösen, d.h. es lässt sich eine konkrete Lösung der Differentialgleichung angeben. Meistens sind es gewöhnliche Differentialgleichungen erster oder zweiter Ordnung, die sich 'per Hand' leicht lösen lassen.

Lösung der DGL: Freier Fall Das Ziel ist es die DGL für den freien Fall 'per Hand' zu lösen: 6 \[ \frac{\text{d}^2 h(t)}{\text{d} t^2} ~=~ g \] Dazu muss eine konkrete Lösung für die Höhe \(h(t)\) angegeben werden. Gesucht ist also die Höhe \(h\) des fallen gelassenen Körpers zu jeder Zeit \(t\).

In der DGL 6 steckt jedoch nur die zweite Ableitung von \(h(t)\). Diese muss rückgängig gemacht werden. Die 'Umkehroperation' der Ableitung ist die Integration. Also wird 6 über die Zeitvariable \(t\) integriert: \[ \int \frac{\text{d}^2 h(t)}{\text{d} t^2} \, \text{d}t ~=~ \int g \, \text{d}t \]

Auf der linken Seite reduziert sich die zweite Ableitung zur ersten Ableitung nach der Zeit. Auf der rechten Seite wird nur eine Konstante \(g\) integriert, also: 7 \[ \frac{\text{d} h(t)}{\text{d} t} ~=~ g\,t + v_0 \]

Hierbei ist \(v_0\) eine Integrationskonstante. Beim freien Fall ist es die Anfangsgeschwindigkeit des fallenden Körpers. Durch die Integration hat sich die DGL zweiter Ordnung zur DGL erster Ordnung vereinfacht. Es kann leicht überprüft werden, dass 7 richtig ist. Dazu wird 7 abgeleitet und es ergibt sich wieder die ursprüngliche DGL 6.

Um \(h(t)\) zu finden, muss nur noch 7 über die Zeit integriert werden: 8 \[ \int \frac{\text{d} h(t)}{\text{d} t} \, \text{d}t ~=~ \int (g\,t + v_0) \, \text{d}t \]

Die linke Seite ist die gesuchte Funktion \(h(t)\). Die rechte Seite muss noch berechnet werden. Dazu wird die Linearität des Integrals ausgenutzt und die Summe im Integranden aufgeteilt: 9 \[ h(t) ~=~ \int g\,t \, \text{d}t ~+~ \int v_0 \, \text{d}t \]

Die beiden Integrale rechts ergeben: 10 \[ h(t) ~=~ \frac{1}{2}\,g\,t^2 ~+~ v_0 \, t ~+~ h_0 \] Normalerweise ergibt sowohl das erste als auch das zweite Integral eine Integrationskonstante. Es sind also zwei Integrationskonstanten, die durch Integration von 9 entstehen. Diese dürfen aber in allen Fällen zu einer zusammengefasst werden. Das wurde hier gemacht. Die zusammengefasste Integrationskonstante ist \(h_0\). Bei freiem Fall ist es die Anfangshöhe, von der ein Körper fallen gelassen wird.

Schritt #3: DGL-Lösung spezifizieren

Die herausgefundene Lösungsfunktion 10 für den freien Fall ist allgemein. Die Lösung kann weiter spezifiziert werden, indem die Konstanten \(v_0\) und \(s_0\) für ein konkretes Problem festgelegt werden. Dadurch wird die Lösung 10 eindeutig, denn \(v_0\) und \(s_0\) können beliebige Werte annehmen, wenn sie nicht konkret festgelegt werden.

Spezielle Lösung der DGL: Freier Fall Betrachte den konkreten Fall, dass der Körper aus dem Ruhezustand fallen gelassen wird: \(v_0 = 0\). Außerdem kann der Koordinatenursprung in den Punkt \(s_0\) gelegt werden, sodass \(s_0 = 0 \) wird und sich die Lösung vereinfacht: 11 \[ h(t) ~=~ \frac{1}{2}\,g\,t^2 \]

Die Bedingungen \(v_0 = 0\) und \(s_0 = 0\) aus dem Beispiel werden als Randbedingungen bezeichnet. Diese legen die Lösung eindeutig fest.

Andere DGL, also die meisten in der Praxis vorkommenden DGL, lassen sich nicht analytisch lösen. Das heißt, es ist nicht möglich für die jeweilige DGL eine konkrete Lösungsfunktion aufzuschreiben. Derartige, nicht analytish lösbare Differentialgleichungen lassen sich jedoch numerisch, mithilfe von Computern, lösen.

Beispiel: Nicht analytisch lösbare DGL Die sogenannte inkompressible Navier–Stokes-Gleichung, die die Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit beschreibt, ist eine nicht analytisch lösbare DGL: 12 \[ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} ~+~ \left(\boldsymbol{u} \cdot \nabla\right)\,\boldsymbol{u} ~-~ \nu \, \nabla^2 \, \boldsymbol{u} ~=~ -\nabla w ~+~ \boldsymbol{g} \]
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