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Alexander Fufaev

4 Maxwell-Gleichungen: Alles was du wissen musst!

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Definition

Maxwell-Gleichungen - sind vier gekoppelte Differentialgleichungen, welche die experimentellen Befunde der Elektrodynamik zusammenfassen und die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Eigenschaften der Natur darstellen.

Die vier Maxwell-Gleichungen beinhalten zusammen mit der Lorentzkraft das gesamte Wissen der Elektrodynamik. Von dieser gibt es so viele Anwendungen, dass ich sie gar nicht alle in diesem Video aufzählen kann, aber einige davon sind zum Beispiel:

  1. Elektronische Geräte wie Computer und Handys. In denen stecken nämlich elektrische Kondensatoren, Spulen und insgesamt ganze Stromschaltkreise, die die Maxwell-Gleichungen ausnutzen.
  2. Stromerzeugung - egal ob aus Kern-, Wind- oder Wasserkraftwerken, die freigesetzte Energie muss zuerst in elektrische Energie umgewandelt werden, damit die Menschen diese nutzen können. Das passiert mit elektrischen Generatoren. Diese basieren wiederum auf den Maxwell-Gleichungen.
  3. Stromversorgung der Menschheit. Um elektrischen Strom mit möglichst geringem Energieverlust in die Haushalte zu transportieren, werden Wechselspannungen und Transformatoren benötigt.
  4. Und vieles mehr - Elektroschweißen zum Zusammenbauen der Autokarosserien, Motoren für Elektroautos, Magnetresonanztomographie in der Medizin, Wasserkocher in der Küche, das Ladegerät von deinem Handy, Radio, WLAN und so weiter.
Jedes Gerät, welches Elektrizität oder Magnetismus ausnutzt, basiert fundamental auf den Maxwell-Gleichungen.

Das Ziel dieses Lernartikels ist es nicht die Maxwell-Gleichungen theoretisch oder experimentell herzuleiten, sondern diese so einfach und verständlich wie möglich darzustellen. Das Wissen, was eine partielle Ableitung und was ein Integral ist, wird vorausgesetzt. Um alle Maxwell-Gleichungen zu verstehen musst du zuerst wissen, was ein elektrisches und magnetisches Feld ist.

Elektrisches Feld

Betrachte eine große elektrisch geladene Kugel mit der Ladung \(Q\) und eine kleine Kugel mit der Ladung \(q\). Die elektrische Kraft \( F_{\text e} \) zwischen diesen Kugeln, die sich in einem Abstand \(r\) zueinander befinden, ist gegeben durch das Coulomb-Gesetz: 1 \[ F_{\text e} = \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{Q \, q}{r^2} \] hierbei ist \(1/4\pi\,\varepsilon_0\) ein konstanter Vorfaktor mit der elektrischen Feldkonstanten \(\varepsilon_0\), die für die richtige Einheit der Kraft auf der rechten Seite des Coulomb-Gesetzes sorgt, nämlich für die Einheit Newton [N].

Kraftrichtung einer Probeladung Speichern | Info
Elektrische Feldlinien und die elektrische Kraft \(F\) auf eine Probeladung.

Was ist nun, wenn du den Wert der großen Ladung \(Q\) kennst und wissen möchtest, welche Kraft diese große Ladung auf eine andere kleine Ladung \(q\) ausübt. Du kennst aber nicht den genauen Wert dieser kleinen Ladung oder du lässt diesen Wert mit Absicht offen stehen und möchtest nur die elektrische Kraft betrachten, die von der großen Kugel ausgeübt wird. Dazu muss die kleine Ladung \(q\) irgendwie aus dem Coulomb-Gesetz eliminiert werden. Dazu wird das Coulomb-Gesetz einfach auf beiden Seiten durch \(q\) dividiert.: 1.1 \[ \frac{F_{\text e}}{q} = \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{Q}{r^2} \]

Auf diese Weise fällt auf der rechten Seite \(q\) weg und landet stattdessen auf der linken Seite der Gleichung. Der Quotient auf der linken Seite wird als elektrisches Feld \(E\) der Quellladung \(Q\) definiert: 1.2 \[ E := \frac{F_{\text e}}{q} \] mit der Einheit: "Kraft pro Ladung" [N/C] oder mit einer eher üblicheren Einheit "Volt pro Meter" [V/m]. Mit Quellladung ist gemeint, dass die Ladung \(Q\) die Quelle des elektrischen Feldes ist. Und es wurde eine kleine Ladung \(q\) gewählt, damit sie das elektrische Feld der Quellladung nicht zu sehr beeinflusst. Das elektrische Feld \(E\) gibt also die elektrische Kraft an, die auf eine kleine Ladung \(q\) wirken würde, wenn sie im Abstand \(r\) zur Quellladung \(Q\) platziert wird.

Bis jetzt wurde jedoch nur der Betrag, also die Größe des elektrischen Feldes betrachtet, ohne die genaue Richtung des elektrischen Feldes miteinzubeziehen. Die Maxwell-Gleichungen sind jedoch allgemein und enthalten auch die Richtung des elektrischen Feldes. Deshalb muss das elektrische Feld \(E\) in einen Vektor \(\boldsymbol{E} verwandelt werden. Vektoren werden fett dargestellt. Handgeschrieben meistens mit einem Pfeilchen über dem Buchstaben, um sie von skalaren Größen (reinen Zahlen) zu unterscheiden. Das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) als Vektor im dreidimensionalen Raum hat drei Komponenten \(E_{\text x}\), \(E_{\text y}\) und \(E_{\text z}\): 1.3 \[ \boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{c} E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{array}\right) \]

Die erste Komponente \(E_{\text x}(x,y,z)\) hängt von den Raumkoordinaten (\(x,~y,~z\)) ab und sie ist der Betrag des elektrischen Feldes in \(x\)-Richtung. Das heißt: Je nachdem, welcher konkrete Ort für (\(x,~y,~z\)) eingesetzt wird, ist der Betrag \(E_{\text x}\) unterschiedlich. Analog gilt es für die beiden anderen Komponenten \(E_{\text y}\) und \(E_{\text z}\), die jeweils den Betrag in \(y\) und \(z\)-Richtung angeben. Die Komponenten des elektrischen Feldes geben also praktisch an, welche elektrische Kraft auf eine Probeladung an einem bestimmten Ort in die eine, zweite oder dritte Raumrichtung wirken würde.

Die elektrischen Felder lassen sich als elektrische Feldlinien darstellen. Die Feldvektoren sind die Tangenten an diesen Feldlinien. Wird nun eine positive Ladung auf diese Feldlinie platziert, dann bewegt sie sich entlang dieser Feldlinie.

Magnetische Flussdichte (Magnetfeld)

Lorentzkraft (magnetische Kraft): Kreisbahn Speichern | Info
Entstehung der Kreisbewegung durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons und zum externen Magnetfeld zeigt.

Eine weitere wichtige fundamentale physikalische Größe, die in der zweiten und vierten Maxwell-Gleichung vorkommt, ist das magnetische Feld. Experimentell wird festgestellt, dass ein Teilchen mit der elektrischen Ladung \(q\), welches sich mit der Geschwindigkeit \(v\) in einem externen Magnetfeld bewegt, eine magnetische Kraft \(F_{\text m}\) erfährt, die das Teilchen ablenkt. Dabei nimmt die Kraft auf das Teilchen proportional zu seiner Ladung (\(F_{\text m} \sim q\)) und zu seiner Geschwindigkeit (\(F_{\text m} \sim v\)) zu, d.h. wird die Ladung oder die Geschwindigkeit verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die Kraft auf das Teilchen. Doch nicht nur das! Die Kraft nimmt auch proportional zum angelegten Magnetfeld zu. Um diese Proportionalität der Kraft und des Magnetfelds zu beschreiben, führen wir die Größe \(B\) ein. Insgesamt ist die magnetische Kraft gegeben durch: 2 \[ F_{\text m} = q \, v \, B \]

Die Einheit der Größe \(B\) muss so sein, dass die rechte Seite der Gleichung die Einheit der Kraft ergibt, also [N = kg m/s²]. Durch eine einfache Umformung ergibt sich die Einheit von \(B\) zu [kg/A s²]. Das bezeichnen wir kurz als Einheit [T = kg/A s²] (Tesla). Und B wird magnetische Flussdichte (oder kurz: Magnetfeld) genannt. Die magnetische Flussdichte \(B\) beschreibt die Stärke des Magnetfelds und damit die Größe der magnetischen Kraft auf ein geladenes Teilchen.

Die Gleichung 2 stellt nur den Betrag dar. Um die magnetische Kraft, analog zur elektrischen Kraft, vektoriell zu formulieren, wird die Kraft, die Geschwindigkeit und das Magnetfeld in Vektorform dargestellt: 2.1 \[ \boldsymbol{F_{\text m}} = \left(\begin{array}{c} F_{\text{mx}} \\ F_{\text{my}} \\ F_{\text{mz}} \end{array}\right), ~~~ \boldsymbol{v} = \left(\begin{array}{c} v_{\text x} \\ v_{\text y} \\ v_{\text z} \end{array}\right), ~~~ \boldsymbol{B} = \left(\begin{array}{c} B_{\text x} \\ B_{\text y} \\ B_{\text z} \end{array}\right) \]

Jetzt sind die drei Größen keine Skalare, sondern dreidimensionale Vektoren mit den Komponenten in x-, y- und z-Richtung. Die Frage ist jetzt, wie muss der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}\) mit dem Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) in 2 vektoriell multipliziert werden? Wenn die Ablenkung der Ladung im Magnetfeld genauer betrachtet wird, dann kann festgestellt werden, dass die magnetische Kraft stets orthogonal, also senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung UND zu den magnetischen Feldlinien abgelenkt wird. Diese Orthogonalität kann leicht mit dem sogenannten Kreuzprodukt berücksichtigt werden.

Kreuzprodukt (für Lorentzkraft) Speichern | Info
Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist wieder ein Vektor, der orthogonal zu dem Geschwindigkeitsvektor und dem Magnetfeldvektor ist.

Das Kreuzprodukt zwischen dem Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}\) und dem Magnetfeldvektor \(\boldsymbol{B}\) ist so definiert, dass das Ergebnis des Kreuzprodukts, welches ein Vektor ist, immer orthogonal auf den beiden Vektoren \(\boldsymbol{v}\) und \(\boldsymbol{B}\) steht:

Kreuzprodukt zweier Vektoren 2.2 \[ \boldsymbol{v} ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \left(\begin{array}{c} v_yB_z-v_zB_y \\ v_zB_x-v_xB_z \\ v_xB_y-v_yB_x \end{array}\right) \]
Damit also die Kraft \(\boldsymbol{F}_{\text m}\) stets orthogonal auf \(\boldsymbol{v}\) und \(\boldsymbol{B}\) steht, muss das Kreuzprodukt von \(\boldsymbol{v}\) und \(\boldsymbol{B}\) gebildet werden. Also lautet 2 allgemein in Vektorform: 2.3 \[ \boldsymbol{F}_{\text m} = q \, \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \]

Nun haben wir die zwei wichtigen physikalischen Zutaten kennengelernt, die in den Maxwell-Gleichungen vorkommen, nämlich das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) und das magnetische Feld \(\boldsymbol{B}\). Beides sind sogenannte Vektorfelder. Damit ist gemeint, dass jedem Ort (\(x,~y,~z\)) im Raum ein elektrischer \(\boldsymbol{E}(x,~y,~z)\) und ein magnetischer Feldvektor \(\boldsymbol{B}(x,~y,~z)\) zugeordnet werden kann, der sowohl den Betrag als auch die Richtung des elektrischen und magnetischen Feldes angibt. Elektrische und magnetische Felder sind im allgemeinen dreidimensionale Vektorfelder \[ \boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{c} E_{\text x} \\ E_{\text y} \\ E_{\text z} \end{array}\right), ~~~ \boldsymbol{B} = \left(\begin{array}{c} B_{\text x} \\ B_{\text y} \\ B_{\text z} \end{array}\right) \]

Es gibt insgesamt vier Maxwell-Gleichungen, doch diese vier Maxwell-Gleichungen lassen sich auf zwei unterschiedlichen Weisen darstellen. Es gibt die sogenannte integrale Darstellungsform, die die Maxwell-Gleichungen mit Integralen ausdrückt und die differentielle Darstellungsform, die die Maxwell-Gleichungen nur mit Ortsableitungen ausdrückt. Beide Darstellungsformen unterscheiden sich physikalisch nicht, mathematisch jedoch schon! Während die differentielle Form der Maxwell-Gleichungen für JEDEN einzelnen Punkt im Raum gilt, gilt die integrale Form nur für einen ausgewählten Raumbereich und nicht für einen einzelnen Ortspunkt. Die integrale Form eignet sich gut zur Berechnung von symmetrischen Problemen, wie die Berechnung des elektrischen Feldes einer geladenen Kugel, eines geladenen Zylinders oder einer geladenen Ebene. Die differentielle Form eignet sich eher zur Berechnung komplizierter numerischer Probleme mithilfe von Computern oder beispielsweise zur Herleitung der elektromagnetischen Wellen. Außerdem sieht die differentielle Darstellungsform viel kompakter aus als die integrale Form.

Beide Darstellungsformen sind nützlich und lassen sich mithilfe zweier mathematischer Theoreme ineinander umwandeln. Das eine Theorem heißt Gauß-Integraltheorem und das andere Stokes-Integraltheorem. Wenn du die beiden Theoreme verstanden hast, wird es dir einfach sein, die Maxwell-Gleichungen zu verstehen.

Gauß-Integraltheorem

Gauß-Integraltheorem Speichern | Info
Gauß-Integraltheorem veranschaulicht.

So sieht das Gauß-Integraltheorem in seiner vollen Pracht aus:

Gauß-Integraltheorem 3 \[ \int_{V} \left(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Betrachte die rechte Seite der Gleichung 3: 3.1 \[ \oint_A \boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Das \(A\) steht für eine Fläche, die irgendein Volumen einschließt, z.B. die Oberfläche eines Würfels, einer Kugel oder die Oberfläche einer beliebigen dreidimensionalen Form, die du dir denken kannst. Der kleine Kreis um das Integral herum soll andeuten, dass diese Fläche \(A\) eine Bedingung erfüllen muss: Die Fläche \(A\) muss geschlossen sein, d.h. sie darf keine Löcher enthalten, damit die Gleichheit in 3 mathematisch erfüllt ist. Die Fläche \(A\) ist also eine geschlossene Oberfläche.

Das \(\boldsymbol{F}\) ist ein Vektorfeld und stellt bei Betrachtung der Maxwell-Gleichungen entweder das elektrische Feld \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{E}\) oder das magnetische Feld \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{B}\) dar. Es ist also ein Vektor mit drei Komponenten. Das \(\text{d}\boldsymbol{a}\) ist ein infinitesimales Flächenelement, also ein unendlich kleines Flächenstück der betrachteten Fläche \(A\). Wie Du vielleicht schon bemerkt hast, ist das \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element fett dargestellt, es ist also ein Vektor, mit einem Betrag und einer Richtung. Der Betrag \(\text{d}a\) des \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Elements gibt dabei den Flächeninhalt dieses kleinen Flächenstücks an. Das \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element steht orthogonal auf diesem Flächenstück und zeigt nach Definition aus der Oberfläche heraus.

Der Punkt \(\cdot\) zwischen dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) und dem \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element ist das sogenannte Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ist eine Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren. Es wird also hier das Skalarprodukt zwischen dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) und dem \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element gebildet. Definiert ist das Skalarprodukt folgendermaßen:

Skalarprodukt - Definition 3.2 \[ \boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} = F_{\text x} \, \text{d}a_{\text x} ~+~ F_{\text y} \, \text{d}a_{\text y} ~+~ F_{\text z} \, \text{d}a_{\text z} \]
Flächenintegral anschaulich Speichern | Info
Veranschaulichung des Flächenintegrals. Nur der zum Flächenelement parallele Anteil des Vektorfeldes trägt zum Skalarprodukt bei.

Wie an der Definition des Skalarprodukts zu sehen ist, werden die ersten, zweiten und dritten Komponenten der beiden Vektoren miteinander multipliziert und anschließend zusammenaddiert. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist kein Vektor mehr, sondern eine gewöhnliche Zahl, ein sogenannter Skalar. Um zu verstehen, was diese Zahl aussagt, musst du zuerst wissen, dass jeder beliebige Vektor \(\boldsymbol{F}\) sich als Summe von zwei anderen Vektoren schreiben lässt, nämlich aus einem Vektor, der parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element ist, nennen wir den \(\boldsymbol{F}_{||}\) und aus einem Vektor, der orthogonal zum \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element steht, nennen wir diesen Vektor \(\boldsymbol{F}_{\perp}\): 3.3 \[ \boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}_{||} + \boldsymbol{F}_{\perp} \]

Ein weiteres mathematisches Faktum ist, dass das Skalarprodukt von zwei orthogonal zu einander stehenden Vektoren stets Null ergibt. Das heißt für unseren Fall, dass das Skalarprodukt zwischen dem Anteil \(\boldsymbol{F}_{\perp}\) und dem \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element Null ist: 3.4 \[ \boldsymbol{F}_{\perp} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} = 0 \] Das Skalarprodukt zwischen dem \(\boldsymbol{F}_{||}\) und dem \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element ist im Allgemeinen dagegen nicht Null.

Nun kann anschaulich klar gemacht werden, was das Skalarprodukt auf der rechten Seite des Gauß-Integraltheorems macht: Es pickt nur den Anteil des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) heraus, der genau parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element zeigt. Das \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element zeigt aber stets aus der Oberfläche heraus, d.h. das Skalarprodukt pickt nur den Anteil des Vektorfeldes heraus, der ebenfalls aus der Oberfläche herauszeigt. Alle anderen Anteile des Vektorfeldes, die in andere Richtungen zeigen, werden vom Skalarprodukt eliminiert.

Anschließend werden in 3.1 die Skalarprodukte für alle Orte der betrachteten Fläche \(A\) aufsummiert. Das ist die Aufgabe des Integrals. Die rechte Seite des Gauß-Integraltheorems summiert also alle Anteile des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) auf, die aus der Fläche \(A\) heraustreten. Ein derartiges Integral, bei dem kleine Flächenstückchen aufsummiert werden, heißt Flächenintegral. Wenn im Integranden wie in diesem Fall ein Vektorfeld steht, wird dieses Flächenintegral als Fluss \(\Phi\) des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) durch die Fläche \(A\) bezeichnet: 3.5 \[ \Phi = \oint_A \boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Diese Bezeichnung ist angelehnt an das, was dieses Flächenintegral bedeutet. Es misst, wie viel von dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) aus einer betrachteten Oberfläche \(A\) quasi 'herausfließt'. Ein Flächenintegral misst wie viel von dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) in die Fläche \(A\) eintritt oder aus der Fläche \(A\) austritt. Das Flächenintegral misst den Fluss des Vektorfeldes durch diese Fläche hindurch.

Elektrischer und magnetischer Fluss
Elektrischer Fluss anschaulich Speichern | Info
Elektrischer Fluss - Skalarprodukt von Flächenorthogonalvektor und aufgeteilten E-Feldvektor.
Wenn das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) im Flächenintegral ein elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}\) ist, dann wird dieses Flächenintegral als elektrischer Fluss \(\Phi_{\text e}\) durch die Oberfläche \(A\) bezeichnet: 3.6 \[ \Phi_{\text e} = \int_A \boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Wenn das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) dagegen ein magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\) ist, heißt das Flächenintegral magnetischer Fluss \(\Phi_{\text m}\) durch die Oberfläche \(A\): 3.7 \[ \Phi_{\text m} = \int_A \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Betrachte nun die linke Seite des Gauß-Integraltheorems: 3.8 \[ \int_{V} \left(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\right) \, \text{d}v \]

Das \(V\) steht für ein Volumen, doch nicht für irgendein Volumen, sondern es ist das Volumen, welches von der Oberfläche \(A\) eingeschlossen wird. Wenn \(A\) beispielsweise die Oberfläche einer Kugel ist, dann ist \(V\) das Volumen dieser Kugel. Das \(\text{d}v\) ist ein infinitesimales Volumenelement, also ein unendlich kleines Volumenstück des betrachteten Volumens \(V\). Das umgedrehte Dreieck \(\nabla\) heißt Nabla-Operator und dieser hat wie ein Vektor \(\boldsymbol{F}\) drei Komponenten:

Nabla-Operator 3.9 \[ \nabla ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \]

Seine Komponenten sind jedoch keine Zahlen, sondern Ableitungen nach den Ortskoordinaten:

Divergenz 3.10 \[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F} ~=~ \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]

Die erste Komponente ist die Ableitung nach \(x\). Die zweite Komponente ist die Ableitung nach \(y\). Und die dritte Komponente ist die Ableitung nach \(z\). So ein Operator, wie der Nabla-Operator entfaltet nur dann seine Wirkung, wenn dieser auf ein Feld angewendet wird. Und das passiert ja auch in diesem Integral. Es wird der Nabla-Operator auf das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) angewendet, indem das Skalarprodukt zwischen dem Nabla-Operator \(\nabla\) und dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) genommen wird. Dieses Skalarprodukt ist die Summe der Ableitungen des Vektorfeldes nach den Ortskoordinaten \(x\), \(y\) und \(z\). Ein derartiges Skalarprodukt zwischen dem Nabla-Operator \(\nabla\) und einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) wird als Divergenz des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet. Das Ergebnis ist kein Vektor mehr, sondern ein Skalar, der entweder positiv, negativ oder Null sein kann.

  • Wenn die Divergenz am Ort \((x,~y,~z)\) positiv ist: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} > 0 \), dann ist an dem Ort eine Quelle des Vektorfeldes. Wird dieser Ort mit einer beliebigen Oberfläche umschlossen, dann ist der Fluss \(\Phi\) durch die Oberfläche hindurch ebenfalls positiv (das Vektorfeld 'fließt' aus der Oberfläche heraus).
  • Wenn die Divergenz am Ort \((x,~y,~z)\) negativ ist: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} < 0 \), dann ist an dem Ort eine Senke des Vektorfeldes. Wird dieser Ort mit einer beliebigen Oberfläche umschlossen, dann ist der Fluss \(\Phi\) durch die Oberfläche hindurch ebenfalls negativ (das Vektorfeld 'fließt' in die Oberfläche hinein).
  • Wenn die Divergenz am Ort \((x,~y,~z)\) verschwindet: \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} = 0 \), dann ist dieser Ort weder eine Senke noch eine Quelle des Vektorfeldes. Das Vektorfeld fließt nicht heraus und nicht hinein oder es fließt genauso viel hinein wie hinaus, sodass sich die beiden Beträge gegenseitigen aufheben.

Anschließend wird die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\), also die Quellen und Senken des Vektorfeldes, an jedem Ort innerhalb des Volumens \(V\) mithilfe des Integrals in 3.8 aufsummiert. Ein derartiges Integral, wo kleine Volumenstückchen aufsummiert werden, heißt Volumenintegral.

Fassen wir also die Aussage des Gauß-Integraltheorems 3 zusammen: Auf der linken Seite steht die Summe der Quellen und Senken des Vektorfeldes innerhalb eines Volumens und auf der rechten Seite steht der Gesamtfluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche dieses Volumens. Und die beiden Seiten sollen gleich sein. Das Gauß-Integraltheorem besagt, dass die Summe der Quellen und Senken eines Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) innerhalb eines Volumens \(V\), dem Fluss \(\Phi\) durch die Oberfläche \(A\) dieses Volumens entspricht.

Stokes-Integraltheorem

Betrachte nun das zweite wichtige Theorem, das für das Verständnis der Maxwell-Gleichungen notwendig ist, nämlich das Stokes-Integraltheorem:

Stokes-Integraltheorem 4 \[ \int_{A} (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \oint_{L} \boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{l} \]

Wenn du das Gauß-Integraltheorem verstanden hast, sollte dir das Stokes-Integraltheorem nicht mehr total kryptisch vorkommen. Das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) kennst du bereits. Das Skalarprodukt, der Nabla-Operator und das \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element sollten dir jetzt auch bekannt vorkommen.Betrachte zuerst die rechte Seite der Gleichung.

Das \(L\) ist die Länge einer Linie im Raum. Der Kreis um das Integralzeichen herum sagt aus, dass diese Linie geschlossen sein muss, d.h. ihr Anfang und ihr Ende sind miteinander verbunden. Das \(\text{d}\boldsymbol{l}\) ist ein infinitesimales Linienelement der Linie, also ein unendlich kleines Stückchen der Linie. Auch hier sollte hier auffallen, dass das \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element fett dargestellt ist, d.h. es ist eine vektorielle Größe mit einem Betrag und einer Richtung. Der Betrag des \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Elements gibt die Länge dieses Linienstückchens an und seine Richtung zeigt entlang der Linie \(L\).

Geschlossenes Linienintegral über ein Vektorfeld anschaulich Speichern | Info
Linienintegral über ein Vektorfeld entlang einer geschlossenen Linie. Nur der zum Linienelement parallele Anteil des Vektorfeldes trägt zum Skalarprodukt bei. Damit wird die 'Rotation' des Vektorfeldes entlang der betrachteten Linie gemessen.

Es wird nun das Skalarprodukt zwischen dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) und dem Linienelement \(\text{d}\boldsymbol{l}\) gebildet. Was die Aufgabe des Skalarproduktes ist, hast du ja bereits kennengelernt. Zuerst teilst du das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) in zwei Anteile auf; in den Anteil \(\boldsymbol{F}_{||}\), der parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element zeigt und in den Anteil \(\boldsymbol{F}_{\perp}\), der orthogonal auf dem \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element steht. Das Skalarprodukt mit dem \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element eliminiert den orthogonalen Anteil und lässt nur den zum \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element parallelen Anteil des Vektorfeldes übrig. Da das \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element an jedem Ort entlang der Linie zeigt, wird im Skalarprodukt nur der Anteil des Vektorfeldes berücksichtigt, der entlang der Linie L verläuft; alle anderen Anteile des Vektorfeldes fallen weg.

Anschließend werden die Skalarprodukte für jeden Ortspunkt auf der Linie mithilfe des Integrals in 4.1 aufsummiert. Ein derartiges Integral, bei dem kleine Linienelemente aufsummiert werden, heißt Linienintegral. Nun weißt du, was auf der rechten Seite des Stokes-Integraltheorems passiert: Das Linienintegral misst, wie viel von dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang der Linie \(L\) verläuft. Weil die Linie in sich geschlossen ist, kommt dieser Verlauf wieder am selben Punkt an, wo die Summation begonnen hat. Das geschlossene Linienintegral gibt also an, wie viel von dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang der geschlossenen Linie \(L\) rotiert.

Wird das Linienintegral wie in diesem Fall von einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) betrachtet, dann wird das Ergebnis dieses Linienintegrals als Spannung \(U\) bezeichnet: 4.1 \[ U = \int_L \boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{l} \]

Elektrische und magnetische Spannung
Elektrische Spannung (Linienintegral) Speichern | Info
Das Linienintegral über das elektrische Feld entlang einer Linie ist die Definition der elektrischen Spannung.

Wenn das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) in diesem Linienintegral ein elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}\) ist, dann wird dieses Linienintegral als elektrische Spannung \(U_{\text e}\) entlang der Linie \(L\) bezeichnet: 4.2 \[ U_{\text e} = \int_L \boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{l} \] Das ist übrigens die allgemeine Definition der elektrischen Spannung. Und wenn das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) dagegen ein magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\) ist, heißt das Linienintegral magnetische Spannung \(U_{\text m}\) entlang der Linie \(L\): 4.3 \[ U_{\text m} = \int_L \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{l} \]

Die Spannung im Fall von elektrischen Feldern ist proportional zur Energie, die ein positiv geladenes Teilchen gewinnt, wenn es die Linie \(L\) durchläuft. Ein negativ geladenes Teilchen verliert dagegen diese Energie, wenn es die Linie \(L\) durchläuft. Das Linienintegral des elektrischen Feldes, also die Spannung, misst den Energiegewinn oder den Energieverlust von geladenen Teilchen, wenn diese die betrachtete Linie \(L\) durchlaufen.

Lass uns jetzt die linke Seite von 4 anschauen: 4.4 \[ \int_{A} (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \] Hier kommt die Fläche \(A\) vor. Diese Fläche schließt jetzt nichts ein, sondern es ist die Fläche, die von der Linie \(L\) eingeschlossen wird. Das \(\text{d}\boldsymbol{a}\) ist wieder ein infinitesimales Flächenstück der Fläche \(A\) und steht orthogonal an jedem Ort auf dieser Fläche.

Auf der linken Seite kommt das Kreuzprodukt vor, welches du bereits bei der Lorentzkraft kennengelernt hast. Hier wird das Kreuzprodukt zwischen dem Nabla-Operator \(\nabla\) und dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) gebildet. Das ist die zweite Möglichkeit Vektoren miteinander zu multiplizieren. Dieses Kreuzprodukt zwischen dem Nabla-Operator und dem Vektorfeld wird als Rotation des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet. Das Ergebnis ist im Gegensatz zum Skalarprodukt wieder ein Vektorfeld, welches orthogonal zu \(\boldsymbol{F}\) ist. Der Vektor \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) sagt aus, wie stark das Feld \(\boldsymbol{F}\) um einen Ortspunkt innerhalb der Fläche \(A\) rotiert.

Stokes-Integraltheorem Speichern | Info
Stokes-Integraltheorem veranschaulicht.

Dann wird das Skalarprodukt zwischen dem neuen Vektorfeld \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) mit dem infinitesimalen Flächenelement \(\text{d}\boldsymbol{a}\) gebildet. Damit wird, wie du bereits weißt, nur der Anteil von \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) herausgepickt, der parallel zum Flächenelement \(\text{d}\boldsymbol{a}\) verläuft. Da das Flächenelement orthogonal auf der Fläche \(A\) steht, pickt das Skalarprodukt nur den Anteil des Vektorfelds \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) heraus, der ebenfalls auf der Fläche \(A\) orthogonal steht. Anschließend werden alle Skalarprodukte innerhalb der Fläche \(A\) mittels des Integrals in 4.4 aufsummiert.

Fassen wir nochmal die Aussage des Stokes-Integraltheorems zusammen: Auf der rechten Seite wird das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang einer geschlossenen Linie \(L\) aufsummiert. Es wird also die Rotation des Vektorfelds um die von dieser Linie eingeschlossenen Fläche betrachtet. Auf der linken Seite wird die Rotation \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) des Vektorfelds \(\boldsymbol{F}\) an jedem einzelnen Punkt aufsummiert. Beide Seiten sollen nach dem Stokes-Integraltheorem gleich sein. Das Stokes-Integraltheorem besagt also, dass die gesamte Rotation eines Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) innerhalb einer Fläche \(A\), der Rotation des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) entlang des Randes \(S\) dieser Fläche entspricht.

Es ist irgendwie auch anschaulich klar: Die Rotation des Vektorfeldes im Inneren der Fläche hebt sich bei der Summation weg und es bleibt nur die Rotation des Vektorfeldes entlang des Randes \(L\) übrig.

Mit dem erworbenen Vorwissen bist du nun bereits die Maxwell-Gleichungen vollständig zu verstehen.

Die 1. Maxwell-Gleichung

Gauß-Gesetz Speichern | Info
Der elektrische Fluss durch eine Oberfläche entspricht der eingeschlossenen Ladung (1. Maxwell-Gleichung, in integraler Form).
1. Maxwell-Gleichung in integraler Form 5 \[ \oint_A \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

Auf der linken Seite steht ein Flächenintegral, in dem das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) steckt. Dieses misst, wie viel von dem elektrischen Feld aus der Oberfläche \(A\) heraus- oder hineintritt. Das Integral stellt also den elektrischen Fluss \(\Phi_{\text e}\) durch die Oberfläche \(A\) dar: 5.1 \[ \Phi_{\text e} = \oint_A \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Auf der rechten Seite von 5 steht die Gesamtladung \(Q\), die von der Oberfläche \(A\) eingeschlossen wird (dividiert durch die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\)): 5.2 \[ \Phi_{\text e} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] Die erste Maxwell-Gleichung (auch Gauß-Gesetz genannt) besagt, dass der elektrische Fluss \(\Phi_{\text e}\), durch eine geschlossene Fläche \(A\) hindurch, der elektrischen Ladung \(Q\) entspricht, die von dieser Fläche eingeschlossen wird.

Beispiel: 1. Maxwell-Gleichung Das Elektron trägt eine negative Elementarladung \(-e\) und ein Proton eine positive Elementarladung \(+e\). Zwei Elektronen und zwei Protonen mit der Gesamtladung \[Q = (-e) + (-e) + e + e = 0\] erzeugen nach der ersten Maxwell-Gleichung 5.2 keinen elektrischen Fluss durch eine beliebige Oberfläche \(A\) hindurch, die diese vier Teilchen einschließt: \[ \Phi_{\text e} = 0 \] Es treten also genauso viele elektrische Feldlinien in die Oberfläche hinein wie hinaus! Die erste Maxwell-Glechung vereinfacht sich in diesem Fall zu einer Gleichung für den quellfreien Raum: \[ \oint_A \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ 0 \]

Mit dem Gauß-Integraltheorem 3, der ein Volumenintegral mit einem Flächenintegral verknüpft, kann das Flächenintegral auf der linken Seite der ersten Maxwell-Gleichung 5 in ein Volumenintegral umgeschrieben werden: 5.3 \[ \int_{V} \left(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\right) \, \text{d}v ~=~ \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

Die eingeschlossene Ladung \(Q\) lässt sich ebenfalls mit einem Volumenintegral ausdrücken. Die Ladung entspricht nämlich der Ladungsdichte \(\rho\) über das betrachtete Volumen \(V\) (denn LadungsDICHTE ist definitionsgemäß Ladung pro Volumen). Das heißt, dass das Volumenintegral der Ladungsdichte \(\rho\) über ein Volumen \(V\) der Ladung entspricht, die in diesem Volumen eingeschlossen ist. Damit verwandelt sich die rechte Seite der Maxwell-Gleichung in ein Volumenintegral: 5.4 \[ \int_V \left(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\right) \text{d}v ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho \, \text{d}v \]

Auf beiden Seiten wird über das gleiche Volumen \(V\) integriert. Damit diese Gleichung für beliebig gewählte Volumina \(V\) immer erfüllt ist, müssen die Integranden auf beiden Seiten gleich sein (wobei der rechte Integrand noch mit der Konstante \(1/\varepsilon_0\) multipliziert ist). Daraus ergibt sich die differentielle Form der ersten Maxwell-Gleichung:

1. Maxwell-Gleichung in differentieller Form 5.5 \[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \]

Auf der linken Seite der differentiellen Darstellungsform steht die Divergenz des elektrischen Feldes. Sie kann positiv, negativ oder Null sein. Das Vorzeichen der Divergenz bestimmt die Art der Ladungen im betrachteten Raumpunkt:

  • \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\) ist positiv, dann ist auch die Ladungsdichte \(\rho\) positiv. In diesem Raumpunkt befindet sich also eine positive Ladung, die die Quelle des elektrischen Feldes ist.
  • \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\) ist negativ, dann ist auch die Ladungsdichte \(\rho\) negativ. In diesem Raumpunkt befindet sich also eine negative Ladung, die die Senke des elektrischen Feldes ist.
  • \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\) ist Null, dann muss auch die Ladungsdichte \(\rho\) Null sein. An diesem Raumpunkt gibt es entweder keine Ladung oder dort befindet sich genauso viel positive Ladung wie negative, sodass sich die Gesamtladung in diesem Punkt weghebt, wie z.B. bei einem idealen Dipol.
Die erste Maxwell-Gleichung in differentieller Darstellungsform besagt, dass die elektrischen Ladungen die Quellen und Senken des elektrischen Feldes sind. Ladungen erzeugen elektrische Felder!
Gut zu wissen! Das zuvor kennengelernte Coulomb-Gesetz ist übrigens ein Spezialfall, der in der ersten Maxwell-Glechung enthalten ist. Das Coulomb-Gesetz lässt sich aus der ersten Maxwell-Glechung herleiten.

Die 2. Maxwell-Gleichung

Maxwell-Gleichung: Gauß-Gesetz für Magnetfelder Speichern | Info
Nach der zweiten Maxwell-Gleichung ist der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche stets Null. Folglich schließt die Oberfläche immer genau so viele Nordpole (positive mag. Ladung) und Südpole (negative mag. Ladung) ein.
2. Maxwell-Gleichung in integraler Form 6 \[ \oint_{A} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ 0 \]

In der zweiten Maxwell-Gleichung kommt nichts unbekanntes mehr vor. Auf der linken Seite steht ein Flächenintegral. Jetzt jedoch nicht, wie bei der ersten Maxwell-Gleichung, über ein elektrisches Feld, sondern über ein magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\). Die zweite Maxwell-Gleichung sagt also aus, dass der magnetische Fluss durch die geschlossene Fläche \(A\) hindurch 6.1 \[ \Phi_{\text m} = \oint_A \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \] immer Null ist: 6.2 \[ \Phi_{\text m} = 0 \] Die zweite Maxwell-Gleichung besagt, dass der gesamte magnetische Fluss \(\Phi_{\text m}\) durch eine geschlossene Oberfläche \(A\) hindurch, sich komplett aufhebt. Es zeigen stets genauso viele magnetische Feldvektoren in die Oberfläche hinein wie hinaus.

Mit dem Gauß-Integraltheorem kann das Flächenintegral in 6 in ein Volumenintegral überführt werden; auf diese Weise kommt die Divergenz des Magnetfeldes ins Spiel: 6.3 \[ \oint_{V} (\nabla \cdot \boldsymbol{B}) \, \text{d}v ~=~ 0 \]

Das Integral für beliebige Volumina \(V\) ist nur dann immer Null, wenn der Integrand \(\nabla \cdot \boldsymbol{B}\) Null ist. Auf diese Weise entpuppt sich die zweite Maxwell-Gleichung in ihrer differentiellen Form:

2. Maxwell-Gleichung in differentieller Form 6.4 \[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{B} ~=~ 0 \]

Wenn die Divergenz Null ist, heißt das: An diesem Raumpunkt gibt es entweder keine magnetische Ladung (auch magnetischer Monopol genannt) oder dort befindet sich genauso viel positive Ladung wie negative, sodass sich die Gesamtladung in diesem Punkt weghebt, wie z.B. bei einem idealen magnetischen Dipol, der stets sowohl einen Nord- als auch einen Südpol besitzt. Da es keine magnetischen Monopole gibt, existieren keine Quellen und Senken des magnetischen Feldes. Folglich gibt es keine Raumpunkte, in denen magnetische Feldlinien entspringen oder enden können. Sie müssen daher stets in sich geschlossen sein. Die zweite Maxwell-Gleichung in differentieller Form besagt, dass es keine magnetischen Ladungen gibt, die Magnetfelder erzeugen. Es existieren keine magnetischen Monopole, sondern nur magnetische Dipole.

Die zweite Maxwell-Gleichung ist genauso wie die anderen Maxwell-Gleichungen ein experimenteller Befund. Das heißt, wenn irgendwann mal eine magnetische Ladung gefunden werden sollte, zum Beispiel ein einzelner Nordpol ohne einen zugehörigen Südpol, dann müsste die zweite Maxwell-Gleichung modifiziert werden. Dann würden die Maxwell-Gleichungen sogar noch symmetrischer, noch schöner aussehen!

Die 3. Maxwell-Gleichung

Induktionsgesetz der Elektrodynamik Speichern | Info
Nach der dritten Maxwell-Gleichung erzeugt ein zeitlich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Wirbelfeld und andersherum.
3. Maxwell-Gleichung in integraler Form 7 \[ \oint_{L} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ - \frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Die dritte Maxwell-Gleichung ist auch unter dem Namen Induktionsgesetz bekannt. Sie ist die allgemeinste Form des Induktionsgesetzes.

Auf der linken Seite steht ein Linienintegral des elektrischen Feldes \(\boldsymbol{E}\) über eine geschlossene Linie \(L\), die die Fläche \(A\) berandet. Dieses Integral summiert alle Anteile des elektrischen Feldes auf, die entlang der Linie \(L\) verlaufen, also wie viel von dem elektrischen Feld entlang der Linie rotiert. Das Integral entspricht der elektrischen Spannung \(U_{\text e}\) entlang der Linie \(L\): 7.1 \[ U_{\text e} = \oint_{L} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} \]

Auf der rechten Seite von 7 steht ein Flächenintegral des magnetischen Feldes \(\boldsymbol{B}\) über eine Fläche \(A\). Dieses Integral entspricht dem magnetischen Fluss \(\Phi_{\text m}\) durch die Fläche \(A\) hindurch: 7.2 \[ \Phi_{\text m} = \int_{A} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Dieser magnetische Fluss wird nach der Zeit \(t\) differenziert. 7.3 \[ \frac{\partial \Phi_{\text m}}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t}\int_{A} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Die Zeitableitung des magnetischen Flusses gibt an, wie stark sich der magnetische Fluss verändert, wenn die Zeit verstreicht. Es ist also die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses. Je größer diese Änderung des magnetische Flusses ist, desto größer ist das rotierende elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) in 7.1. Dieses rotierende elektrische Feld wird auch als elektrisches Wirbelfeld bezeichnet. Das Minuszeichen in 7 berücksichtigt die Richtung der Rotation: 7.4 \[ U_{\text e} = - \frac{\partial }{\partial t}\int_{A} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

  • Wenn die Änderung des magnetischen Flusses positiv ist: \( \frac{\partial \Phi_{\text m}}{\partial t} > 0 \), ist die elektrische Spannung negativ: \(U_{\text e} < 0 \).
  • Wenn die Änderung des magnetischen Flusses negativ ist: \( \frac{\partial \Phi_{\text m}}{\partial t} < 0 \), ist die elektrische Spannung positiv: \(U_{\text e} > 0 \).

Die elektrische Spannung und die Änderung des magnetischen Flusses verhalten sich also entgegengesetzt zueinander. Das Minuszeichen stellt die Energieerhaltung sicher. Die Funktion des Minuszeichens hier, ist unter dem Namen Lenz-Regel bekannt. Du siehst ja, dass nach dieser Maxwell-Gleichung 7, elektrische Wirbelfelder zeitlich veränderliche Magnetfelder erzeugen und andersherum. Die Lenz-Regel besagt nun, dass der magnetische Fluss, welcher von einem elektrischen Wirbelfeld erzeugt wird, dessen Ursache entgegenwirkt. Denn, wenn es nicht so wäre, würde sich das Wirbelfeld selbst verstärken und damit aus dem Nichts Energie erzeugen. Das ist aber unmöglich. Eine Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche \(A\), erzeugt eine elektrische Spannung \(U_{\text e}\) entlang des Randes von \(A\).

Beispiel: Zeitunabhängiges Magnetfeld

Betrachte noch einen wichtigen Spezialfall. Wenn das Magnetfeld sich zeitlich NICHT verändert, fällt die rechte Seite der Maxwell-Gleichung 7 weg: 7.5 \[ \oint_{L} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} = 0 \]

Dann steht dort, dass die elektrische Spannung entlang einer geschlossenen Linie stets Null ist. Es existieren also keine elektrischen Wirbelfelder, solange sich die Magnetfelder nicht zeitlich verändern.

Würde ein Elektron die geschlossene Linie \(L\) durchlaufen, dann würde es seine Energie nicht verändern. Wie du weißt, sagt die elektrische Spannung aus, wie viel Energie ein geladenes Teilchen gewinnt oder verliert, wenn es eine Linie durchläuft. In diesem Fall ist die Spannun Null, deshalb - keine Energieveränderung.

Mit dem Stokes-Integraltheorem lässt sich die integrale Darstellungsform 7 in die differentielle Form überführen. Das Stokes-Integraltheorem verknüpft ein Linienintegral mit einem Flächenintegral. Dazu wird das Linienintegral in 7 mit dem Flächenintegral ersetzt: 7.6 \[ \int_{A} \left(\nabla \times \boldsymbol{E} \right) ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ - \frac{\partial}{\partial t} \int_{A} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Dadurch kommt die Rotation \(\nabla \times \boldsymbol{E}\) ins Spiel. Die Zeitableitung auf der rechten Seite von 7.6 darf hier ins Integral hineingezogen werden. Da die Gleichung 7.6 für beliebige Flächen \(A\) gilt, müssen die Integranden auf beiden Seiten gleich sein. Die Gleichheit der Integranden entspricht der differentiellen Form der dritten Maxwell-Gleichung:

3. Maxwell-Gleichung in differentieller Form 7.7 \[ \nabla \times \boldsymbol{E} ~=~ -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \]

Das Ergebnis des Kreuzprodukts mit \(\boldsymbol{E}\) ergibt wieder ein Vektorfeld, nämlich das Vektorfeld \(\nabla \times \boldsymbol{E}\), welches nach den Eigenschaften des Kreuzprodukts, orthogonal auf \(\boldsymbol{E}\) steht. Da das Ergebnis des Kreuzprodukts die Änderung des Magnetfeldes sein soll, steht der Vektor \(\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\) der Magnetfeldänderung orthogonal auf dem elektrischen Feld \(\boldsymbol{E}\). Die dritte Maxwell-Gleichung in differentieller Form besagt, dass ein sich änderndes magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\) ein elektrisches Wirbelfeld \(\boldsymbol{E}\) verursacht und andersherum und zwar so, dass die Energieerhaltung erfüllt ist.

Wenn sich das Magnetfeld nicht verändert, also statisch ist, fällt die rechte Seite der Gleichung 7.7 weg und die dritte Maxwell-Gleichung vereinfacht sich zum elektrostatischen Fall:

3. Maxwell-Gleichung in differentieller Form (Elektrostatik) 7.8 \[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{E} ~=~ 0 \]

Diese Gleichung besagt wiederum: Solange es keine sich ändernden magnetischen Felder gibt, ist das elektrische Feld stets wirbelfrei. Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, dann wird das Feld konservativ (energieerhaltend) genannt. Das elektrostatische Feld \(\boldsymbol{E}\) ist also nach 7.8 konservativ. Mit "elektrostatisch" ist gemeint, dass das E-Feld zeitunabhängig ist. Es wird von quasi unbeweglichen Quellen des Feldes erzeugt.

Beispiel Ein Elektron gibt und nimmt auch keine Energie auf, wenn dieses sich im elektrostatischen Feld bewegt.

Die 4. Maxwell-Gleichung

Ströme und zeitabhängiges E-Feld erzeugen B-Feld Speichern | Info
Elektrische Ströme und ein zeitabhängiges E-Feld erzeugen ein magnetisches Wirbelfeld.
4. Maxwell-Gleichung in integraler Form 8 \[ \oint_{L} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ \mu_0 \, I + \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial }{\partial t} \int_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Auf der linken Seite steht ein Linienintegral des magnetischen Feldes \(\boldsymbol{B}\) entlang der geschlossenen Linie \(L\). Das ist die Definition der magnetischen Spannung 4.3.

Auf der rechten Seite von 8 kommt die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\) und die magnetische Feldkonstante \(\mu_0\) vor. Diese sorgen dafür, dass die Einheit auf beiden Seiten der Maxwell-Gleichung 8 übereinstimmt. Außerdem kommt hier etwas Neues vor, nämlich der elektrische Strom \(I\). Wenn elektrische Ladungen entlang eines Leiters fließen, dann erzeugen sie einen Strom \(I\).

Dazu kommt noch ein weiterer Summand in 8, in dem das elektrische Feld vorkommt. Das Flächenintegral des elektrischen Feldes sollte nun bekannt sein. Das ist der elektrische Fluss \(\Phi_{\text e}\) durch die Fläche \(A\) hindurch: 8.1 \[ U_{\text m} ~=~ \mu_0 \, I + \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial \Phi_{\text e}}{\partial t} \]

Außerdem steht die Zeitableitung vor dem elektrischen Fluss. Das Ganze ist also die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses. Also, auf der rechten Seite von 8.1 stehen zwei Summanden: Ein Beitrag mit dem Strom und ein Beitrag mit der Änderung des elektrischen Flusses. Die vierte Maxwell-Gleichung besagt, dass die magnetische Spannung \(U_{\text m}\) zum Einen durch die elektrischen Ströme und zum Anderen durch die sich ändernden elektrischen Felder erzeugt wird.

Ampere-Gesetz der Elektrostatik Speichern | Info
Elektrische Ströme erzeugen ein B-Feld (Ampere-Gesetz).
Ampere-Gesetz (Magnetostatik)

Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich, wenn sich der elektrische Fluss zeitlich nicht verändert, dann fällt der zweite Summand in 8 weg: 8.2 \[ \oint_{L} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ \mu_0 \, I \]

Lass uns nun die differentielle Darstellungsform herleiten. Mit dem Stokes-Integraltheorem kann das Linienintegral in 8 in ein Flächenintegral überführt werden, auf diese Weise kommt die Rotation des Magnetfeldes \(\boldsymbol{B}\) ins Spiel: 8.3 \[ \int_{A} (\nabla \times \boldsymbol{B}) ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \mu_0 \, I + \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial }{\partial t} \int_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Jetzt muss noch der elektrischen Strom \(I\) mit einem Flächenintegral ausgedrückt werden. Dazu wird die elektrische Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) benutzt. Sie gibt den Strom \(I\) pro Fläche \(A\) an, durch die der Strom fließt. Folglich lässt sich der Strom auch schreiben als das Flächenintegral der StromDICHTE \(\boldsymbol{j}\) über die Fläche \(A\): 8.4 \[ \int_{A} (\nabla \times \boldsymbol{B}) ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \mu_0 \, \int_{A} \boldsymbol{j} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} ~+~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial }{\partial t} \int_{A} \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Die Zeitableitung vor dem anderen Integral beim zweiten Summanden darf hier hineingezogen werden. Die beiden Flächenintegrale können auf der rechten Seite können zu einem zusammengefasst werden, weil bei beiden Summanden über die gleiche Fläche \(A\) integriert wird. 8.5 \[ \int_{A} (\nabla \times \boldsymbol{B}) ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \mu_0 \, \int_{A} \left(\boldsymbol{j} + \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial }{\partial t} \int_{A} \boldsymbol{E} \right) ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]

Damit die Gleichung 8.5 für beliebige Flächen \(A\) erfüllt ist, müssen die Integranden auf beiden Seiten gleich sein:

4. Maxwell-Gleichung in differentieller Form 8.6 \[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \left( \boldsymbol{j} ~+~ \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \right) \]

Das Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) steht wegen des Kreuzprodukts sowohl orthogonal auf der Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) als auch auf dem Vektor \(\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\) der Änderung des elektrischen Feldes. Die differentielle Form der vierten Maxwell-Gleichung besagt, dass die Rotation des magnetischen Feldes \(\boldsymbol{B}\) in einem Raumpunkt auf zwei Arten verursacht wird: Durch die in diesem Raumpunkt herrschende Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) und durch ein sich dort änderndes elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}(t)\).

Es ist noch nicht zu Ende... Die Maxwell-Gleichungen verbergen noch etwas Interessantes in sich, das durch einige Umformschritte offenbart werden kann, nämlich: Elektromagnetische Wellen (Licht)! Das ist aber ein anderes Thema.
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