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Alexander Fufaev

Plattenkondensator: so speicherst Du elektrische Energie

aus dem Bereich: Theorien
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Definition

Plattenkondensator - ist ein aus zwei Elektroden bestehendes Gerät, zwischen denen eine elektrischen Spannung anliegt.

Grundlegender Aufbau

Aufbau: Plattenkondensator Speichern | Info
Plattenkondensator mit einer Spannung \(U\) zwischen den beiden Elektroden. Abstand der Elektroden ist \(d\) und die Fläche einer Elektrode ist \(A\). Dazwischen ist ein Dielektrikum \(\varepsilon_{\text r}\).

Ein Plattenkondensator besteht meist aus zwei runden oder rechteckigen leitenden Platten (genannt Elektroden), die jeweils einen Flächeninhalt \(A\) haben und im Abstand \(d\) zueinander sind.

Die Elektroden können nun unterschiedlich elektrisch aufgeladen werden. Wenn die eine Elektrode die positive Ladung \(+Q\) und die andere Elektrode die negative Ladung \(-Q\) trägt, bildet sich aufgrund dieses Ladungsunterschieds eine elektrische Spannung \(U\) zwischen den beiden Elektroden aus.

Normalerweise befindet sich Luft (oder idealerweise Vakuum) zwischen den Elektroden. Natürlich kannst Du stattdessen ein anderes Material (genannt Dielektrikum) benutzen, welches durch die relative Permittivität \(\varepsilon_{\text r}\) charakterisiert wird. Das Dielektrikum darf auf gar keinen Fall leitend sein, weil sonst die Ladungen durch das Dielektrikum auf die jeweils andere Platte übergehen würden und damit den Ladungsunterschied ausgleichen (das ist nicht der Sinn eines Kondensators). Das Dielektrikum (z.B. Holz, Wasser, Keramik) ist nützlich, um die physikalischen Eigenschaften des Kondensators, wie z.B. seine Kapazität, zu beeinflussen.

Elektrisches Potential am Plattenkondensator

Das Potential \(\varphi\) zwischen den Elektroden bekommst Du durch Lösen der eindimensionalen Laplace-Gleichung. Das Ergebnis ist ein Potential \(\varphi\), welches linear von der Ortskoordinate \(x\) abhängt: 1 \[ \varphi(x) = - \frac{U}{d} \, x ~+~ \varphi_1 \]

Elektrisches Potential: Plattenkondensator Speichern | Info
Elektrisches Potential \(\varphi\) eines Plattenkondensators. Die eine Elektrode wurde auf die Koordinate \(x=0\) und die andere Elektrode auf die Koordinate \(x=d\) gelegt.

Die Potentialdifferenz entspricht der elektrischen Spannung zwischen den Elektroden: 2 \[ U = \varphi_1 - \varphi_2 \]

Wenn Du dann das elektrische Potential \(\varphi\) hinter und zwischen den Elektroden in einem Diagramm (\(\varphi\), \(x\)) aufzeichnest, dann bekommst Du im Bereich \(x \le 0\), also bis zur ersten Elektrode, ein konstantes Potential \(\varphi_1\). Auch hinter der zweiten Elektrode, also für \(x \ge d\), ist das Potential konstant \(\varphi_2\). Zwischen den Elektroden, also im Bereich zwischen \(x=0\) und \(x=d\) steigt das Potential linear von der einen Elektrode zur anderen Elektrode an.

Elektrisches Feld am Plattenkondensator

Elektrische Feldlinien (innen / außen) - Plattenkondensator Speichern | Info
Elektrische Feldlinien am Plattenkondensator verlaufen parallel zueinander. Hinter den Elektroden heben sich die Felder weg, wobei zwischen den Elektroden sich das Feld verstärk.

Die elektrischen Feldlinien verlaufen definitionsgemäß von den positiven Ladungen weg und zu den negativen Ladungen hin. Folglich treten sie aus der positiv geladenen Elektrode aus beiden Seiten der Elektrode heraus. Die Feldlinien gehen in die negativ geladene Elektrode hinein.

Die Feldlinien verlaufen bei sehr großen Elektroden genau parallel zueinander, weil die Feldlinien genau senkrecht zu den Elektroden stehen müssen und die rechteckige Geometrie der Elektroden keinen anderen Verlauf zulässt. Dies ist sofort ersichtlich, wenn man das elektrische Feld mithilfe des Potentials zwischen den Elektroden ausrechnet. Das E-Feld ist im eindimensionalen Fall die negative Ableitung des Potentials nach dem Ort: 3 \[ E = - \frac{\partial \phi}{\partial x} \]

Leite dazu 1 nach \(x\) ab und multipliziere mit einem Minuszeichen, um das elektrische Feld zwischen den Elektroden zu bekommen:

Wie Du siehst: Das elektrische Feld zwischen den Elektroden ist konstant. Das heißt das E-Feld ist homogen. Eine Probeladung zwischen den Elektroden würde also an jedem Ort die gleiche elektrische Kraft erfahren.

Die Feldlinien der negativen und positiven Elektroden zeigen hinter den Elektroden in entgegengesetzte Richtungen und heben sich somit weg. Der Plattenkondensator ist außerhalb feldfrei! Die Feldlinien zwischen den Elektroden dagegen zeigen in die gleiche Richtung, weshalb sich das elektrische Feld zwischen den Elektroden verstärkt.

Elektrisches Feld: Plattenkondensator Speichern | Info
Elektrisches Feld \(E\) eines Plattenkondensators. Die eine Elektrode wurde auf die Koordinate \(x=0\) und die andere Elektrode auf die Koordinate \(x=d\) gelegt.

Zeichnest Du den Verlauf des elektrischen Feldes hinter und zwischen den Elektroden in einem Koordinatensystem (\(E\),\(x\)) auf, dann ist das E-Feld bis zur ersten Platte bei \(x=0\) Null. Das E-Feld hinter der zweiten Platte, die bei \(x=d\) ist, ist ebenfalls Null. Zwischen den Elektroden, also im Bereich zwischen \(x=0\) und \(x=d\), hat das E-Feld einen konstanten Wert \(U/d\).

Kapazität des Plattenkondensators

Die Spannung \(U\) ist nach 4 proportional zum elektrischen Feld \(E\), womit auch die Ladung \(Q\) proportional zur Spannung ist: 5 \[ Q = C \, U \] Die Proportionalitätskonstante \(C\) wird die elektrische Kapazität genannt. Sie hat die Einheit \( \left[\frac{\text{As}}{\text V}\right] = [\text{F}] \) ("Farad").

Die Kapazität ist von Kondensator zu Kondensator unterschiedlich. Sie sagt aus, wieviel Ladung kann ein Kondensator auf seine Elektroden aufnehmen, wenn zwischen den Elektroden eine Spannung von \( U = 1 \, \text{V}\) herrscht. Je größer die Kapazität des Kondensators, desto mehr Ladungen kann dieser aufnehmen (bei möglichst kleiner Spannung). 6 \[ C = \frac{Q}{U} \]

Die Ladung \(Q\) am Plattenkondensator kann konkret mithilfe des Gauß-Gesetzes \(\Phi_E = Q/\varepsilon_0\) und der Definition des elektrischen Flusses \(\Phi_E = E \, A\) ausgerechnet werden. Die Ladung beträgt dann: 7 \[ Q = \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, U \]

Einsetzen in 6 ergibt die Kondensatorkapazität im Vakuum (oder auch näherungsweise Luft): 8 \[ C = \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \]

Wenn zwischen den Elektroden statt Vakuum ein anderes Medium eingesetzt wird, wie z.B. Keramik, dann kann die dadurch veränderte Kapazität des Kondensators durch die relative Permittivität \(\varepsilon_{\text r}\) berücksichtigt werden:

Kapazität am Plattenkondensator 9 \[ C = \varepsilon_0 \, \varepsilon_{\text r} \, \frac{A}{d} \]

Wie Du an 9 siehst, die Kapazität ist von den Abmessungen des Kondensators und dem Material zwischen den Elektroden abhängig. Benutze möglichst große Elektrodenflächen \(A\), möglichst kleinen Elektrodenabstand \(d\) und ein Material mit großer Permittivität \(\varepsilon_{\text r}\), um die größte Kapazität zu erhalten.

Elektrische Energie des Plattenkondensators

Integrierst Du die Spannung über die Ladung, dann bekommst Du die Energie \(E_{\text{el}}\), die notwendig ist, um auf die Elektroden die Ladung \(Q\) zu bringen:

Elektrische Energie - Plattenkondensator 10 \[ E_{\text{el}} = \frac{1}{2} \, C \, U^2 \]
Beispiel: Elektrische Energie Ein Kondensator hat die Kapazität \( C = 10 \, \text{nF} \) und wird mithilfe einer Batterie auf \(1.5 \, \text{V} \) aufgeladen. Die elektrische Energie des Kondensators beträgt also: \[ E_{\text{el}} = \frac{1}{2} ~\cdot~ 10 \cdot 10^{-9} \, \text{F} ~\cdot~ (1.5 \, \text{V})^2 = 11.25 \, \text{nJ} \]

Die Gleichung 9 kann auch mithilfe des vom E-Feld zwischen den Elektroden eingeschlossenen Volumens \(V\) ausgedrückt werden:

Elektrische Energie mittels Volumen 11 \[ E_{\text{el}} = \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, V \, E^2 \]

Die Gleichung 10 kann so interpretiert werden, dass die elektrische Energie des Plattenkondensators nicht irgendwie in den Elektroden ist, sondern im elektrischen Feld zwischen den Elektroden gespeichert ist, weil für die Energie nämlich nur das vom Feld eingeschlossene Volumen entscheidend ist.

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