1. Welt
  2. Theorien
  3. #112
Alexander Fufaev

Nabla-Operator: 3 Anwendungen + 9 Rechenregeln

aus dem Bereich: Theorien
Mehr dazu

Definition

Nabla-Operator \( \nabla \) (kurz: Nabla genannt) - ist ein Vektoroperator, mit dem vektorielle Ableitungen wie Gradient, Divergenz oder Rotation gebildet werden können.

Nabla-Operator ähnelt einem Vektor und sieht im dreidimensionalen Fall so aus: \[ \nabla ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \]

Die Komponenten des Nabla-Operators sind partielle Ableitungen nach x, y oder z. Die Komponenten von Nabla sind sogenannte Differential-Operatoren und sagen Dir: Du musst eine Funktion nach der jeweiligen Variablen (die im Nenner notiert ist) ableiten.

Nabla auf Funktionen anwenden

Nabla kann sowohl auf Vektorfunktionen: 1 \[ \vec{F}(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c}F_{1}(x,y,z)\\ F_{2}(x,y,z)\\F_{3}(x,y,z)\end{array}\right) \] als auch auf skalare Funktionen \( f(x,y,z) \) angewendet werden.

Einen gewöhnlichen Vektor \( \vec{v} \) kannst Du mit einer Zahl \( a \in \mathbb{R} \) multiplizieren (Skalarmultiplikation) \( \vec{v} \, a \). Du kannst aber auch Skalarprodukt \( \vec{v} \cdot \vec{w} \) und Kreuzprodukt \( \vec{v} \times \vec{w} \) mit einem weiteren Vektor \( \vec{w} \) bilden. Diese 3 Operationen sind auch beim Nabla-Operator, der als Vektor aufgefasst werden kann, möglich!

#1 Skalarmultiplikation mit Nabla

Für die Skalarmultiplikation des Nabla-Operators dient eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) in Abhängigkeit von drei Variablen:

Gradient: Multiplikation mit Nabla 2 \[ \nabla \, f(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \, f(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right) \]

(Beachte jedoch dabei, dass derartige Skalarmultiplikation nicht kommutativ ist, weshalb es gefährlich ist das Nabla als einen Vektor aufzufassen). Was Du dabei machst ist also: Du leitest die skalare Funktion \( f \) nach der \(x\)-Variablen ab und schreibst sie in die 1. Komponente des Ergebnisvektors. Die Funktion \( f \) ist aber noch von weiteren Variablen \(y\) und \(z\) abhängig, also gehst Du mit denen genauso vor: \( f \) nach \(y\) ableiten und in die 2. Komponente schreiben und \( f \) nach \(z\) ableiten und in die 3. Komponente des Ergebnisvektors schreiben.

Wäre die Funktion \( f(x,y) \) nur z.B. von zwei Variablen \( x \) und \( y \) abhängig, dann hätte der Ergebnisvektor nur zwei Komponenten. Dazu musst Du natürlich einen zweidimensionalen Nabla-Operator benutzen, der eben nur zwei (und nicht drei) Komponenten hat: 3 \[ \nabla \, f(x,y) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array}\right) \, f(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}\right) \]

Das Ergebnis ist also ein zweimensionaler (zwei Komponenten) Vektor. Nabla macht aus einer skalaren Funktion \( f \), eine Vektorfunktion! Anwendung des Nabla-Operators \( \nabla \) auf eine skalare Funktion \( f \) wird Gradient von \( f \) genannt.

Beispiel: Gradient berechnen Gegeben ist eine skalare Funktion \( f(x,y,z) = x^2 + 5xy + z \). Wende den Nabla-Operator - wie oben erklärt - auf \( f \) an: 4 \[ \nabla \, f(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c} 2x+5y \\ 5x \\ 1 \end{array}\right) \]

#2 Skalarprodukt mit Nabla

Dieses Mal brauchst Du eine Vektorfunktion \(\vec{F}(x,y,z)\). (Sie ist von der Form, wie der Ergebnisvektor 4 der Nabla-Skalarmultiplikation). In diesem Fall kannst Du Dir vorstellen, als würdest Du ein Skalarprodukt (nicht kommutativ!) bilden:

Divergenz: Skalarprodukt mit Nabla 5 \[ \nabla \cdot \vec{F} ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) ~\cdot~ \left(\begin{array}{c}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{array}\right) ~=~ \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]

Nabla macht beim Skalarprodukt aus einer Vektorfunktion \(\vec{F}\) eine skalare Funktion. Also genau das Umgekehrte wie beim Gradienten! Skalarprodukt von Nabla \( \nabla \) mit einer Vektorfunktion \(\vec{F}\) wird Divergenz von \(\vec{F}\) genannt.

Beispiel: Divergenz berechnen Gegeben ist ein Vektorfeld: 6 \[ \vec{F}(x,y,z) ~=~ \left(\begin{array}{c} 2x^3 \\ zy \\ 5xy \end{array}\right) \] Wende den Nabla-Operator - mittels Skalarprodukt - auf \( \vec{F} \) an: 7 \[ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) ~\cdot~ \left(\begin{array}{c} 2x^3 \\ zy \\ 5xy \end{array}\right) ~=~ 6x^2 + z \]

#3 Kreuzprodukt mit Nabla

Wie beim Skalarprodukt 5 brauchst Du auch beim Kreuzprodukt eine Vektorfunktion \( \vec{F}(x,y,z) \):

Rotation: Kreuzprodukt mit Nabla 8 \[ \nabla \times \vec{F} ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) ~\times~ \left(\begin{array}{c}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{array}\right) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{array}\right) \]

Das Ergebnis des Kreuzprodukts 8 ist wieder ein Vektor! Nabla belässt hier die Vektorfunktion \(\vec{F}\) als Vektorfunktion. Kreuzprodukt von einer Vektorfunktion \(\vec{F}\) mit Nabla \( \nabla \) wird Rotation von \(\vec{F}\) genannt.

Beispiel: Rotation berechnen Betrachte wieder das Vektorfeld wie in 6. Wende den Nabla-Operator - mittels Kreuzprodukt - auf \( \vec{F} \) an: 9 \[ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) ~\times~ \left(\begin{array}{c}F_{x}(x,y,z)\\ F_{y}(x,y,z)\\F_{z}(x,y,z)\end{array}\right) ~=~ \left(\begin{array}{c} 5x - y \\ - 5y \\ 0 \end{array}\right) \]

Nabla auf Nabla anwenden

Natürlich kannst Du auch Nabla mit Nabla skalar- oder kreuzmultiplizieren und dann das Ergebnis auf eine skalare oder vektorielle Funktion anwenden. Es ergeben sich dabei unterschiedliche Beziehungen.

Skalarprodukt zweier Nabla-Operatoren 10 \[ \nabla \cdot \nabla ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) ~\cdot~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} ~=:~ \nabla^2 \]

Das Ergebnis ist die Summe der zweiten Ableitungen nach den jeweiligen Variablen. Das Skalarprodukt \( \nabla \cdot \nabla \) wird kurz \( \nabla^2 \) notiert (manchmal auch, aber eher nicht so gut mit \(\Delta\)) und Laplace-Operator genannt.

Das Kreuzprodukt zweier Nabla-Operatoren ist uninteressant, weil es stets den Nullvektor ergibt. Warum? Weil die partiellen Ableitungen untereinander kommutativ sind: 11 \[ \nabla \times \nabla ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} \end{array}\right) ~=~ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \]

Wendest Du also das Nabla-Kreuzprodukt 11 auf eine beliebige vektorielle Funktion an: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \vec{F} = \vec{0} \) bzw. \( (\nabla \times \nabla) ~\times~ \vec{F} = \vec{0}\) dann bekommst Du stets den Nullvektor heraus.

ACHTUNG! Assoziativität gilt NICHT: \( (\nabla \times \nabla) ~\cdot~ \vec{F} \neq \nabla \times (\nabla ~\cdot~ \vec{F}) \). Oder: \( 0 = (\nabla \times \nabla) ~\times~ f \neq \nabla \times (\nabla \times f) \).

5 Möglichkeiten Nabla zweimal anzuwenden

In der Elektrodynamik, Strömungslehre und anderen Gebieten der Physik kommen Beziehungen vor, in denen Nabla-Operator zweimal auf ein Vektorfeld oder Skalarfeld angewendet wird. Es gibt genau fünf unterschiedliche Möglichkeiten:

#1 Divergenz des Gradienten

Wendest Du auf eine skalare Funktion \( f(x,y,z) \) den Laplace-Operator an: 12 \[ \nabla \cdot \nabla \, f ~=~ \nabla^2 \, f ~=~ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \] dann bekommst Du die Divergenz des Gradienten von \( f\). Hier gilt übrigens die Assoziativität, weshalb Klammern überflüssig sind: \( (\nabla \cdot \nabla) \, f ~=~ \nabla \cdot (\nabla \, f) ~=~ \nabla \cdot \nabla \, f\).

#2 Divergenz der Rotation

Dafür brauchst Du natürlich eine vektorielle Funktion \( \vec{F} \), denn die Rotation ist nur für eine Vektorfunktion definiert. Die Rotation von \( \vec{F} \) hast Du in 8 schon berechnet. Bilde nur noch das Skalarprodukt mit dem Ergebnis der Rotation: 13 \[ \nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) ~=~ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} ~-~ \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial F_x}{\partial z} ~-~ \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial F_y}{\partial x} ~-~ \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) ~=~ 0 \]

Wie Du siehst, Divergenz der Rotation ist immer Null. Ein physikalisches Beispiel ist das Magnetfeld \( \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \) (mit \( \vec{A} \) als Vektorpotential). Divergenz des Magnetfeldes verschwindet: \( \nabla \cdot \vec{B} = 0 \).

#3 Rotation des Gradienten

Für eine skalare Funktion \( f \): 14 \[ \nabla \times (\nabla \, f) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} \end{array}\right) ~=~ 0 \]

Ein physikalisches Beispiel: Das elektrostatische Feld lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben: \( \vec{E} = \nabla \, V \), folglich ist die Rotation des E-Feldes \( \nabla \times \vec{E} = 0 \). Elektrostatische E-Felder sind also wirbelfrei!

#4 Rotation der Rotation

Für eine vektorielle Funktion (mithilfe von 8): 15 \[ \nabla \times (\nabla \times \vec{F}) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 F_x}{\partial z^2} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F_y}{\partial z} \end{array}\right) \]

#5 Gradient der Divergenz

Für eine Vektorfunktion \( \vec{F} \) folgt mithilfe von 5: 16 \[ \nabla \left( \nabla \cdot \vec{F} \right) ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial^2 F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial^2 F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial F_z}{\partial z} \\ \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial^2 F_z}{\partial z^2} \end{array}\right) \]

All die anderen denkbaren Fälle: "Rotation der Divergenz", "Gradient der Rotation", "Divergenz der Divergenz" und "Gradient des Gradienten" sind nicht definiert.

9 Rechenregeln mit Nabla

  1. Distributivität bei Skalarmultiplikation \[ \nabla \, (f + g ) ~=~ \nabla f + \nabla g \]
  2. Distributivität bei Skalarprodukt \[ \nabla \cdot (\vec{F} + \vec{R} ) ~=~ \nabla \cdot \vec{F} + \nabla \cdot \vec{R} \]
  3. Distributivität bei Kreuzprodukt \[ \nabla \times (\vec{F} + \vec{R} ) ~=~ \nabla \times \vec{F} + \nabla \times \vec{R} \]
  4. Produktregel \[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g + g \nabla f \]
  5. \[ \nabla \, \left( \vec{F} \cdot \vec{R} \right) ~=~ \vec{F} \times \left( \nabla \times \vec{R} \right) + \vec{R} \times \left( \nabla \times \vec{F} \right) + \left( \vec{R} \cdot \nabla \right) \, \vec{F} + \left( \vec{F} \cdot \nabla \right) \, \vec{R} \]
  6. \[ \nabla \, \left( f \, \vec{R} \right) ~=~ f \, \left( \nabla \cdot \vec{R} \right) + \vec{R} \cdot \left( \nabla f \right) \]
  7. Spatprodukt \[ \nabla \cdot \left( \vec{F} \times \vec{R} \right) ~=~ \vec{R} \cdot \left( \nabla \times \vec{F} \right) - \vec{F} \cdot \left( \nabla \times \vec{R} \right) \]
  8. \[ \nabla \times \left( f \, \vec{R} \right) ~=~ f \, \left( \nabla \times \vec{R} \right) - \vec{R} \times \left( \nabla f \right) \]
  9. Doppeltes Kreuzprodukt \[ \nabla \times \left( \vec{F} \times \vec{R} \right) ~=~ \left( \vec{R} \cdot \nabla \right) \, \vec{F} - \left( \vec{F} \cdot \nabla \right) \, \vec{R} + \vec{F} \, \left( \nabla \cdot \vec{R} \right) - \vec{R} \, \left( \nabla \cdot \vec{F} \right) \]
Nabla mit Funktion vertauschen? Wenn Du beispielsweise beim Skalarprodukt 5 die Funktion \( \vec{F} \) mit Nabla vertauschst, dann bekommst Du: 17 \[ \vec{F} \cdot \nabla ~=~ F_x\frac{\partial}{\partial x} + F_y\frac{\partial }{\partial y} + F_z\frac{\partial }{\partial z} \] Auf diese Weise ist 17 ein sogenannter Operator, den Du auf irgendeine Funktion \( f \) anwenden kannst: \( (\vec{F} \cdot \nabla)\,f\). Solche Ausdrücke wie 17 - bei denen noch offen steht, worauf die partiellen Ableitungen angewendet werden sollen, findest Du überall in der Quantenmechanik. Nabla selbst, ist ein Operator!
Weltkarte
Verwalten
Profil
Die Stimme fragt...
Wie erlange ich den Zugang?

Um das Portal von Ak'tazun betreten zu können, musst Du die rote Pille schlucken. Nachdem Du durch das Portal gegangen bist, gelangst Du in die Matrix, wo Du beispielsweise folgendes tun kannst:

  • Inhalte hinzufügen & verwalten
  • Einige Inhalte kommentieren
  • Mittels Kommunikator RT2000 chatten
  • WhatsApp-Gruppe beitreten
Bist Du dabei?
Ja, bin dabei!
Portale in die anderen Welten

Reise zu den sicheren anderen Welten des Internets, um nach dem Wissen zu suchen. Findest Du eine Welt ("Internetseite" :D) besonders interessant, dann kannst Du in der Universaldenkerwelt ein Portal zu dieser Welt erbauen, um den anderen Besuchern den schnellen Zugang dazu zu gewährleisten.

Portalraum betreten
Kommunikator
ONLINE 1
Gäste online: 1
Denker online: 0
Der Kommunikator RT2000 funktioniert nur innerhalb der Matrix!
Ich will in die Matrix!Mayday! Kontakt aufnehmen.