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Themen: Satz von Gauß: physikalisch erklärt

Was ist der Gaußsche Satz?

Gaußscher Satz (oder Divergenzsatz) - besagt, dass die Divergenz eines beliebigen Vektorfeldes \(\vec{F}\) integriert über ein Volumen \(\mathcal{V}\) gleich dem Fluss durch die abgeschlossene Oberfläche \(\mathcal{A}\) dieses Volumens ist.

Gaußscher Satz: Formel

\[ \int_{\mathcal{V}} \left(\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\right)\,dV=\oint_{\mathcal{A}}\vec{F}\cdot{d}\vec{A} \]
Mehr zur Formel
  • \( \vec{\nabla}\cdot\vec{F} \) - Divergenz eines beliebigen Vektorfeldes \(\vec{F}\), gebildet mittels Nabla-Operator
  • dV - Infinitesimales (unendlich kleines) Volumenelement
  • \(d\vec{A}\) - Infinitesimales Oberflächenelement, welches normal auf seinem Flächenbetrag \(dA\) steht und - nach Konvention - nach außen zeigt

Satz von Gauß - anschaulich

\[ \int \text{Quellen im Volumen} ~=~ \oint \text{Fluss durch Oberfläche} \]

Wenn Du Dir vorstellst, dass \(\vec{F}\) die Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit beschreibt, dann ist es nach dem Gaußschen Satz egal, ob Du alle Quellen in einem betrachteten Volumen aufaddierst (Volumenintegral der Divergenz) oder, ob Du den Gesamtfluss des Wassers, welches durch die nicht löchrige Oberfläche des betrachteten Volumens hinausströmt, betrachtest. In beiden Fällen kommst Du auf das gleiche Ergebnis!

So verstehst Du das Gauß-Volumen

Das Volumen, über das im Satz von Gauß integriert wird, wird auch Gauß-Volumen genannt; seine Oberfläche dementsprechend auch Gaußsche Oberfläche. Diese Oberfläche ist kein real existierendes Objekt, sondern eine gedachte Oberfläche, die Du als Rechenhilfe benutzt!

Damit Du am Ende auch das herausbekommst, was Du berechnen wolltest, ist es entscheidend, dass dieses gedachte Volumen die richtige Form hat, und dass Du es am richtigen Ort platzierst.

In der Regel möchtest Du den Gaußschen Satz nutzen, um ein Vektorfeld zu berechnen. Dann musst Du das Gauß-Volumen genau so wählen, dass seine Oberfläche durch den Punkt verläuft, an dem Du die Feldstärke berechnen möchtest. Da Du nicht nur die Feldstärke an einem einzelnen Punkt wissen möchtest, sondern an jedem beliebigen Ort des Feldes, hat Dein Gauß-Volumen also auch für jeden einzelnen dieser Punkte eine andere Größe.

Beispiel für ein Gauß-Volumen

Du möchtest das elektrische Feld von einem runden geladenen Draht berechnen und dazu den Satz von Gauß verwenden. Was ist hier das Gauß-Volumen?

Du hast gelernt, dass das Gauß-Volumen kein reales Objekt ist - also nicht das Volumen des Drahtes oder ähnliches. Als Merkregel gilt, dass Du für das Gauß-Volumen am besten eine ähnliche Form wählst, wie die des geladenen Gegenstandes. In diesem Fall also einen Zylinder, da der Draht ein sehr dünner, langer Zylinder ist.

Die Länge des Gauß-Zylinders ist egal, da die Deckelflächen - wie Du beim Ausrechnen schnell merken wirst - nichts zum Integral beitragen. Sag also einfach, der Zylinder hat die Länge L.

Die Dicke des Zylinders ist allerdings nicht egal! Seine Oberfläche muss durch den Feldpunkt verlaufen - also durch den Ort, an dem du die Feldstärke berechnen möchtest. Du möchtest aber nun das Feld an jedem beliebigen Punkt wissen! Diese Punkte haben alle einen unterschiedlichen Abstand r von der Achse durch die Mitte des Drahtes. Der Fall ist damit klar: Dein Gauß-Zylinder hat den variablen Radius r!

Beim Volumenintegral steht also eine Variable in der Integrationsgrenze. Um dieses r formal von dem r zu unterscheiden, über das integriert wird, macht man üblicherweise einen Strich an die Integrationsvariablen. Das Volumenintegral über deinen Gaußzylinder sieht dann also so aus: \[ \int_{\mathcal{V}}dV' ~=~ \int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{L}r'~dr'd\phi'dz' \]

Das zusätzliche r' im Integranden kommt von der Verwendung von Zylinderkoordinaten. (Damit solltest Du Dich auskennen.)

Im Oberflächenintegral ist r der Radius Deines Zylinders: \[ \int_{\mathcal{A}}dA'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{L}r~d\phi'dz' \]

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