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Themen: Fadenstrahlrohr

Was ist der Fadenstrahlrohr-Versuch?

Fadenstrahlrohr-Versuch - ist ein Experiment, mit dem Du die spezifische Ladung q/m von geladenen Teilchen bestimmen kannst, in dem Du sie in ein Magnetfeld hineinschickst und dann Lorentzkraft und Zentripetalkraft ausnutzt.

Spezifische Ladung: Formel

\[ \frac{q}{m} ~=~ \frac{v}{rB} \]
Mehr zur Formel...
  • q: Ladung in C
  • m: Masse in kg
  • v: Geschwindigkeit in m/s
  • B: Magnetische Flussdichte in T
  • r: Radius der Kreisbahn in m
Fadenstrahlrohr-Versuch: Aufbau
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Schematischer Versuchsaufbau vom Fadenstrahlrohr

Der Versuch zum Fadenstrahlrohr besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen:

Für die Elektronenkanone brauchst Du zwei Arten der elektrischen Spannung:

  1. Heizspannung UH - damit wird an der Glühkathode eine Elektronenwolke erzeugt.
  2. Beschleunigungsspannung UB - damit werden die erzeugten Elektronen zur Anodenblende hin beschleunigt.

Die Anodenblende ist durchlässig, sodass die beschleunigten Elektronen durch sie hindurchfliegen können. Auf diese Weise entsteht ein Elektronenstrahl.

Dieser Elektronenstrahl gelangt dann in das homogene Magnetfeld zwischen den Helmholtz-Spulen. Das Magnetfeld B steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung (also zur Geschwindigkeit v) der Elektronen.

Was Du dann beobachten wirst, ist - eine Kreisbahn des Elektronenstrahls!

Wie kann die Kreisbahn sichtbar gemacht werden?
Dazu platzierst Du den ganzen Aufbau in einen Glaskolben, der mit einem Gas (z.B. Wasserstoff) gefüllt ist. Die beschleunigten Elektronen werden an die "im Weg stehenden" Wasserstoffatome durch Stöße einen Teil ihrer Energie abgeben. Die Atome werden deswegen energetisch angeregt und nach einer sehr kurzen Zeit strahlen sie die erhaltene Energie in Form von Licht wieder ab. Und dieses Licht wirst Du sehen.

Wenn der Gasdruck im Kolben zu groß gewählt wird, dann werden Elektronen allzu stark von den Gasatomen abgebremst. Das würde den Wert der spezifischen Ladung stark verfälschen! Deshalb wählst Du den Druck im Glaskolben so gering wie möglich, aber eben so, dass Du gerade noch eine sichtbare Anregung der Atome - ein Leuchten - erkennen kannst, um nicht nur die Kreisbahn zu bestaunen, sondern auch ihren Radius messen zu können.

Herleitung der spezifischen Ladung

Kreisbahn: Eingezeichnete Lorentzkraft
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Entstehung der Kreisbahn durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld einwirkt.
Drei-Finger-Regel
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Richte Deine Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger wie hier gezeigt.

Du weißt hoffentlich, dass eine elektrische Ladung (in diesem Fall: Elektron) eine sogenannte Lorentzkraft erfährt, welche die bewegten Ladungen im Magnetfeld ablenkt.

Die Richtung der Lorentzkraft bestimmst Du mit der Drei-Finger-Regel. Für negative Ladungen benutzt Du die linke Hand. Für positive Ladungen die rechte. Da Du Elektronen hast, nimmst Du also die linke Hand:

  • Daumen - zeigt in Bewegungsrichtung der Elektronen
  • Zeigefinger - zeigt in Richtung des Magnetfelds
  • Mittelfinger - zeigt (nach Ausrichtung des Daumens und des Zeigefingers) in Richtung der Lorentzkraft

Wenn Du die Drei-Finger-Regel richtig angewendet hast, muss Dein Mittelfinger - in jeder Position des bewegten Elektrons - bei der kreisförmigen Bewegung in die Kreismitte zeigen; denn die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung.

Wenn die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Magnetfeldlinien wie in diesem Fall senkrecht aufeinander stehen, dann gilt:

Formel: Lorentzkraft

hier ist nur der magnetische Anteil der Lorentzkraft relevant, der auf bewegte Ladungen wirkt
\[ F_L ~=~ q \, v \, B \]
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  • q: Elektrische Ladung (bei Elektronen: Elementarladung: e) in C
  • v: Geschwindigkeit der Ladung in m/s
  • B: Magnetische Flussdichte in T

Eine Kraft, die Elektronen auf einer Kreisbahn hält und in die Kreismitte zeigt, nennt man Zentripetalkraft.

Formel: Zentripetalkraft

hält Ladungen auf einer Kreisbahn und wirkt der Lorentzkraft entgegen
\[ F_Z ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \]
Mehr zur Formel...
  • m: Masse der Ladung (hier: Ruhemasse des Elektrons) in kg
  • v: Geschwindigkeit der Ladung in m/s
  • r: Radius der erzeugten Kreisbahn in m

Die Lorentzkraft ist in diesem Fall die Zentripetalkraft! Deshalb kannst Du die beiden Formeln gleichsetzen: \[ q \, v \, B ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \]

Forme nun nach den unbekannten Größen um, (zur Zeit, als der Fadenstrahlrohr-Versuch zum ersten Mal durchgeführt wurde, waren das die Elementarladung e und die Elektronenmasse mE), dann kommst Du auf: \[ \frac{q}{m} ~=~ \frac{v}{r \, B} \]

Dieses Verhältnis q/m ist die sogenannte spezifische Ladung, mit der Du Teilchenarten miteinander vergleichen kannst. Beispiel: Unterschied Ladung / spezifische Ladung Elementarladung e = 1,6·10-19C eines Elektrons und eines Protons ist zwar gleich; ihre spezifische Ladungen e/m dagegen nicht - weil die Masse des Protons mp viel größer ist als die Masse des Elektrons me.

Geschwindigkeit der Teilchen berechnen

Die gesamte kinetische Energie Ekin erhält ein geladenes Teilchen, nachdem es die Beschleunigungsspannung in der Elektronenkanone durchläuft. Dadurch bekommt es eine elektrische Energie, die komplett in kinetische Energie umgesetzt wird. Du kannst also die beiden Formeln für kinetische Energie und elektrische Energie gleichsetzen: \[ \frac{1}{2} \, m \, v^2 ~=~ q \, U_B \]

Jetzt noch nach der Geschwindigkeit umformen, ergibt:

Formel: Geschwindigkeit der Ladung

\[ v ~=~ \sqrt{ \frac{2q \, U_B}{m} } \]
Mehr zur Formel...
  • m: Masse der Ladung (hier: Ruhemasse des Elektrons) in kg
  • q: Ladung der Teilchen (bei Elektronenen e) in C
  • UB: Spannung zur Beschleunigung der Ladungen in V

Diese Formel kannst Du dann beispielsweise für die Bestimmung der spezifischen Ladung verwenden.

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