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Themen: Lorentzkraft

Was ist Lorentzkraft?

Lorentzkraft FL - ist die Summe aus elektrischer und magnetischer Kraft. In einem Magnetfeld wirkt sie senkrecht auf bewegte elektrische Ladungen (z.B. Elektronen) ein. Die Einheit der Lorentzkraft ist N (Newton).

Lorentzkraft: Formel

in Vektorschreibweise
\[ \vec{F}_{\text L} ~=~ q \, \vec{E} + q\vec{v} ~\times~ \vec{B} \]
Mehr zur Formel...
  • Elektrische Ladung q [Einheit: C] - von einem Ladungsträger, auf die die Lorentzkraft wirkt. Zum Beispiel trägt ein Elektron die negative Elementarladung \(q=-e=-1,6*10^{-19}C\).
  • Elektrisches Feld E [Einheit: V/m] - es wird von elektrischen Ladungen erzeugt. Sobald eine andere Ladung in dieses Feld eintritt, erfährt es eine elektrische Kraft.
  • Magnetische Flussdichte B [Einheit: T] - ist so etwas wie elektrisches Feld und sagt aus, wie stark ein Magnetfeld ist. Je größer die magnetische Flussdichte, desto stärker wird eine bewegte Ladung durch Lorentzkraft abgelenkt.
  • Geschwindigkeit v - von der elektrischen Ladung. Ohne Geschwindigkeit keine Lorentzkraft!
  • Winkel α - ist der Winkel zwischen der magnetischen Flussdichte und der Geschwindigkeit. Der Winkel entscheidet darüber, ob Lorentzkraft das bewegte Teilchen auf eine Kreisbahn lenkt oder auf eine Helixbahn oder gar nicht ablenkt.

Da Du möglicherweise die Vektoren noch nicht verarzten kannst, betrachte dann lieber den Betrag der Kraft. Der sagt jedoch nichts über die Richtung der Lorentzkraft aus!

Natürlich ist Lorentzkraft nicht die einzige Kraft, die auf eine Ladung wirken kann. Da Ladungen auch Massen besitzen, wirkt auf sie z.B. auch Gravitation.

In der Schule wird manchmal nur der magnetische Anteil Fm als Lorentzkraft bezeichnet. Diese Definition ist veraltet.

Wenn es nach der Aufgabe kein äußeres elektrisches Feld, in dem sich die Ladung bewegt, gibt, dann ist der elektrische Anteil der Lorentzkraft eh Null: \( f_{E}=q*0=0 \). Es bleibt dann nur der magnetische Anteil über.

Elektrischer Anteil in der Lorentzkraft

Der erste Summand in der Formel für Lorentzkraft steht für elektrische Kraft: Elektrische Kraft Fe auf eine Ladung im elektrischen Feld: \[\vec{F}_{E} ~=~ q ~*~ \vec{E} \] und ihr Betrag: \[ F ~=~ q ~*~ E \] Beispiel: Elektron und Proton Bringst Du ein ein positiv geladenes Proton in die Nähe eines negativ geladenen Elektrons, dann erfährt das Elektron eine elektrische Kraft \( F_E \) und bewegt sich auf das Proton zu. Das gleiche passiert mit dem Proton: Es erfährt ebenfalls eine Kraft, die das Elektron auf es ausübt. Die beiden erzeugen nämlich inhomogene (also vom Ort abhängige) elektrische Felder. Auf diese Weise beeinflussen sich die Ladungen elektrisch.

Elektrisches Feld

Die elektrische Feldstärke \( E \) sagt aus, welche Kraft eine Ladung auf eine andere Ladung ausüben kann, also: Kraft pro Ladung: \[ E ~=~ \frac{F}{q} \]

Nah an der Ladung ist das Feld am stärksten und wird schwächer, je weiter sich die elektrischen Ladungen voneinander entfernen. Am Ort des Elektrons hat das vom Proton erzeugte elektrische Feld einen bestimmten Wert FE.

Magnetischer Anteil in der Lorentzkraft

Der zweite Summand in der Lorentzkraft steht für magnetische Kraft. Magnetische Kraft Fm auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld: \[ \vec{F}_{M} ~=~ q ~*~ \vec{v} ~\times~ \vec{B} \] und ihr Betrag: \[ F_{M} ~=~ q ~*~ v ~*~ B ~*~ sin(\alpha) \]

Im Folgenden nimmst Du an, dass elektrische Kraft immer Null ist! Das heißt: Es gibt kein äußeres elektrisches Feld \( E \) - also keine weiteren Ladungen in der Nähe sind, dann ist Lorentzkraft \(F_{L}\) gleich der magnetischen Kraft: \[ F_{L} ~=~ F_{M} ~=~ q \, v \, B \, sin(\alpha) \]

Damit eine magnetische Kraft auf ein Teilchen wirken kann, muss es folgende Eigenschaften erfüllen:

  1. Das Teilchen muss sich bewegen - ansonsten wäre Geschwindigkeit \( v~=~ 0\) und damit auch Lorentzkraft als magnetische Kraft: \[ F_{L} ~=~ q ~*~ 0 ~*~ B ~*~ sin(\alpha) ~=~ 0 \]
  2. Das Teilchen darf nicht neutral sein - denn neutrale Teilchen besitzen keine Ladung. Deshalb wäre auch in diesem Fall die Lorentzkraft: \[ F_{L} ~=~ 0 ~*~ v ~*~ B ~*~ sin(\alpha) ~=~ 0 \]

Wenn Du sichergestellt hast, dass das Teilchen die obigen zwei Eigenschaften erfüllt, dann kannst Du den Betrag der Lorentzkraft berechnen. Es können im Prinzip 3 Fälle eintreten. Die Ladung bewegt sich...

  1. parallel zum Magnetfeld: v || B
  2. senkrecht zum Magnetfeld: vB
  3. schräg zum Magnetfeld: unter dem Winkel α

Fall 1: Bewegung parallel zum Magnetfeld

In diesem Fall ist der Winkel, der in der Formel für Lorentzkraft steckt: α = 0. Sinus von 0 Grad ist 0, weshalb keine magnetische Kraft auf das Teilchen wirkt und sie deshalb verschwindet: \[ F_{L} ~=~ 0 \]

Fall 2: Bewegung senkrecht zum Magnetfeld

Ladung-Bewegung senkrecht zum Magnetfeld
Elektron bewegt sich senkrecht in den Hufeisenmagnet hinein.

Wenn zwei Vektoren (solche Pfeilchen und so) - in diesem Fall Geschwindigkeit v und magnetische Flussdichte B - senkrecht aufeinander stehen, dann bedeutet das, dass sie einen \(90^\circ\)-Winkel einschließen. Und wie Du vielleicht aus Mathematik weißt: Sinus von 90 Grad ist 1. Deshalb kannst Du vereinfacht schreiben: Lorentzkraft-Formel bei Bewegung senkrecht zum Magnetfeld:
\( F_{L} = qvB \)

Drei-Finger-Regel
So müssen Deine Finger zur Bestimmung der Lorentzkraft-Richtung gestreckt sein.

Wenn Du noch zusätzlich die Richtung der Kraft - ohne Vektorrechnung - bestimmen willst, dann benutze die Drei-Finger-Regel dafür!

Die Drei-Finger-Regel, mit der Du Richtung der Lorentzkraft bestimmen kannst, darfst Du nur im Fall 1 verwenden! In zwei übrigen Fällen gilt sie nicht! Kurze Wiederholung zur Drei-Finger-Regel:

  • Daumen - zeigt in Richtung der Ursache, hier Bewegung der Ladung, also in Richtung der Geschwindigkeit v.
  • Zeigefinger - zeigt in Richtung des magnetischen Südpols (in der Schule meistens mit grüner Farbe markiert).
  • Mittelfinger - zeigt Dir die Lorentzkraft-Richtung, sobald Du die anderen beiden Finger richtig gerichtet hast.

Für positive Ladungen (z.B. Protonen) musst Du rechte Hand verwenden und für negative Ladungen (z.B. Elektron) linke Hand.

Lorentzkraft zwingt Ladung auf eine Kreisbahn

Lorentzkraft: Kreisbahn
Entstehung der Kreisbahn durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld einwirkt.

Wenn Du beispielsweise mittels einer Elektronenkanone eine negative Ladung q in ein - in Deinen Bildschirm hinein gerichtetes - Magnetfeld B hineinschießt, und zwar so, dass die Ladung mit einer konstanten Geschwindigkeit v senkrecht (d.h. Fall 2) ins Magnetfeld eintritt, dann erfährt sie - wie Du weißt - eine Lorentzkraft und wird nach oben abgelenkt. Die Ladung fliegt aber nicht einfach so geradeaus nach oben, sondern durchläuft eine Kreisbahn, denn: Geschwindigkeit v der Ladung und auf sie einwirkende Lorentzkraft FL stehen senkrecht aufeinander, weshalb die Ladung auf eine Kreisbahn gezwungen wird.

Radius der Kreisbahn berechnen

Wenn Du den Radius berechnen möchtest, setzt Du einfach Formel für Lorentzkraft mit der Formel für Zentripetalkraft gleich: \[ qvB = \frac{mv^{2}}{r} \] Lorentzkraft wirkt ebenfalls wie Zentripetalkraft immer in die Kreismitte, deswegen ersetzt sie hier die Zentripetalkraft. Forme die Gleichung nach r um, dann hast Du: Formel für den Radius der Kreisbahn:
\( r = \frac{mv}{qB} \)

Aus der Formel gewinnst Du 2 Erkenntnisse:

  1. Je höher die Geschwindigkeit v oder Masse m des Teilchens ist, desto größer der Radius.
  2. Je größer magnetische Flussdichte B oder Ladung q ist, desto kleiner der Radius.

Die Stärke des Magnetfelds kannst Du beispielsweise dadurch beurteilen, in dem Du den Radius der entstandenen Kreisbahn betrachtest. Denn, je größer der Radius, desto schwächer ist das Magnetfeld.

Periodendauer der Kreisbewegung

Wenn Du noch die Periodendauer T berechnen möchtest, also die Zeit, die das Teilchen benötigt, um genau eine Kreisbewegung zu machen, dann bedienst Du Dich der Formel für gleichförmige Bewegung: \[ s ~=~ v \, t \]

Diese Formel ist hier erlaubt, da Betrag der Geschwindigkeit des Teilchens (nicht jedoch seine Richtung!) zu jedem Zeitpunkt konstant ist, weshalb es sich tatsächlich um eine gleichförmige und nicht um eine beschleunigte Bewegung handelt.

Die Strecke s - ist dabei der Umfang des Kreises, also: \(s={2\pi}r\). Zeit t ist Periodendauer T. Und den Radius R hast Du oben bereits berechnet.

Du hast jetzt alles, was Du brauchst! Setze den Umfang in die Geschwindigkeitsformel ein, schreibe Zeit t als T, und setze den Radius von oben ein, dann hast Du: Formel für Periodendauer einer Kreisbewegung:
\[ T = \frac{2{\pi}m}{qB} \]

Wie Du siehst, ist die Dauer einer Kreisbewegung im Falle der Lorentzkraft, unabhängig davon, wie schnell die Ladung ist! Krass oder?

Fall 3: Bewegung schräg zum Magnetfeld

In diesem Fall verwendest Du: Lorentzkraft-Formel für beliebigen Eintrittswinkel:
\[ F_{L}=q*v*B*sin(\alpha) \]

Lorentzkraft: Bewegung schräg zum Magnetfeld
Elektron bewegt sich schräg. Die Geschwindigkeit wird in zwei Anteile zerlegt.

Ist die Geschwindigkeit v schräg zur magnetischen Flussdichte B gerichtet, dann kann Geschwindigkeit in einen parallelen v|| und einen senkrechten v Anteil zum Magnetfeld zerlegt werden.

Der parallele Anteil hat - im Gegensatz zum senkrechte Anteil - keinen Einfluss auf magnetische Kraft und damit ist dieser Teil nicht verantwortlich für die Ablenkung des Elektrons im Magnetfeld; denn senkrechter Anteil schließt mit der magnetischen Flussdichte \( B \) einen Winkel von 0 Grad ein, weshalb die Kraft für diesen Anteil verschwindet (wegen \( sin(0^{\circ}) ~=~ 0 \)): \[ F_{L} ~=~ q ~*~ v_{||} ~*~ B ~*~ sin(0^{\circ}) ~=~ 0 \]

Spiralbahn: Bewegung schräg zum Magnetfeld
Durch die Bewegung des Elektrons schräg zum Magnetfeld, entsteht eine Spiralbahn.

Durch eine teilweise Bewegung parallel und eine teilweise Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, entsteht dabei eine zylindrische Spiralbahn, eine sogenannte Helix. Ihre Achse ist parallel zum Magnetfeld. Sie besitzt einen Radius r und Ganghöhe h. Wobei Ganghöhe einfach eine Strecke parallel zum Magnetfeld ist, die innerhalb einer Periodendauer T zurückgelegt wird.

Lorentzkraft zwischen zwei Leitern

Lorentzkraft wirkt nicht nur auf einzelne Ladungen, sondern auch auf ganze elektrische Ströme! Sie stellen nichts anderes als "fließende" elektrische Ladungen dar.

Stell Dir zwei Kabel nebeneinander vor und lasse durch sie einen elektrischen Strom in gleiche Richtungen fließen. Du wirst sehen, dass sich die beiden Kabel aufgrund der Lorentzkraft anziehen. Aber wie denn - ohne Magnetfeld? Pass auf! Jede bewegte Ladung erzeugt ihr eigenes Magnetfeld.

Und dieses Magnetfeld umfasst den Leiter. Außerdem ist das erzeugte Magnetfeld nicht an einem bestimmten Ort konzentriert, sondern ausgedehnt. Aufgrund dieser Ausdehnung ist das andere Kabel plötzlich in einem äußeren Magnetfeld gefangen, welches direkt am Ort des Kabels nach unten verläuft. Anwendung der Drei-Finger-Regel der linken Hand ergibt eine Lorentzkraft zum anderen Leiter gerichtet.

Gehst Du analog mit dem anderen Leiter vor, wirst Du feststellen, dass das Magnetfeld am Ort des anderen Leiters in entgegengesetzte Richtung zeigt, sodass die Lorentzkraft auch in entgegengesetzte Richtung als beim anderen Leiter zeigt. Insgesamt ziehen sich die beiden Leiter an. Auf diese Weise wird übrigens die Einheit Ampere definiert.

Lässt Du nun die beiden Ströme entgegengesetzt fließen, dann werden sich die Leiter abstoßen.

Ladungen im Leiter (die den elektrischen Strom darstellen), legen die Länge des Leiters L innerhalb einer bestimmten Zeit t zurück. Strecke pro Zeit ist definiert als Geschwindigkeit (in diesem Fall Geschwindigkeit der Ladungen im Leiter): \[ v ~=~ \frac{L}{t} \]

Einsetzen der Geschwindigkeit in die Lorentzkraft-Formel und umordnen von t ergibt: \[ F_L ~=~ \frac{q}{t} \, L \, B \] Und \( \frac{q}{t} \) ist als Stromstärke I definiert. Insgesamt hast Du: Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter: \[ F_L ~=~ I ~*~ L ~*~ B \]

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