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Themen: Interferenz: so überlagern sich die Wellen

Definition

Interferenz - ist die Änderung der Amplitude bei der Überlagerung von Wellen nach dem Superpositionsprinzip.

Um zu verstehen, was bei der Überlagerung von Wellen passiert, musst Du erstmal Wellen erzeugen… Das kannst Du zum Beispiel tun, indem Du einen Stein ins Wasser wirfst; dann erzeugt er Wasserwellen. Du kannst aber auch Lautsprecher verwenden: Sie erzeugen Schallwellen!

Schaltest Du beispielsweise einen Sinuston bei dem Lautsprecher ein, so wird der Ton in unterschiedliche Richtungen ausgesendet, sodass ihn jeder im Raum hören kann. Die Sinuswelle hat eine bestimmte Wellenlänge \( \lambda \), sowie eine Amplitude \( a \). Lass uns die Amplitude auf den Wert: \( a ~=~ 1\) setzen, damit Du mit ihr gleich rechnen kannst.

Was brauchst Du noch? Wenn Du Interferenz untersuchen willst, dann musst Du mindestens eine weitere Sinuswelle dazu nehmen, die z.B. von einem anderen danebenstehenden Lautsprecher erzeugt wird. Lass uns beim zweiten Lautsprecher genau den gleichen Sinuston anschalten: die Amplituden und die Wellenlängen der beiden Sinuswellen sind also identisch. So weit so gut.

Konstruktive Interferenz

Konstruktive Interferenz: Überlagerung
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Konstruktive Interferenz: so verstärken sich zwei Sinuswellen.

Sobald die beiden Sinustöne aufeinandertreffen, überlagern sie sich. Wir haben sie so losgeschickt, dass ein Wellenberg der einen Sinuswelle auf einen Wellenberg der anderen Sinuswelle trifft. Auch jedes Wellental trifft auf entsprechendes Wellental am gleichen Ort.

Um die Interferenz mathematisch "durchzuführen", addierst Du jede Auslenkung der einen Welle zu der entsprechenden Auslenkung der anderen Welle am gleichen Ort und erhältst so eine Gesamtauslenkung. Addiere zum Beispiel die beiden übereinanderliegenden Maxima: 1+1 gleich 2. Eine andere Auslenkung der Sinuswelle zum Beispiel hat den Wert 0. Schau nun, welche Auslenkung die andere Welle am gleichen Ort hat! Sie hat (wegen der konstruktiven Interferenz) dort auch den Wert 0. Addiere die beiden Auslenkungen: 0 + 0 = 0. Und so gehst Du mit all den anderen Auslenkungen auch vor!

Sobald Du alle Auslenkungen miteinander verarztet hast, bekommst Du eine neue Welle, die eben dadurch entstanden ist, dass sich zwei andere Wellen überlagert haben. In diesem Beispiel war es eine sogenannte konstruktive Interferenz, weil die Amplitude der neuen Sinuswelle doppelt so groß geworden ist wie die Amplitude der ursprünglichen Wellen. Der resultierende Ton, den diese Schallwelle beschreibt, ist doppelt so laut! Konstruktive Interferenz tritt immer auf, wenn ein Wellenberg der einen Welle auf den Wellenberg der anderen Welle trifft und sich die Wellen somit verstärken.

Wie müssen also die beiden Wellen im Raum relativ zueinander positioniert werden, damit konstruktive Interferenz eintritt? Die eine Welle darf im Falle der konstruktiven Interferenz der anderen Welle gar nicht vorauseilen! Aber nicht nur dann! Konstruktive Interferenz hast Du auch, wenn die eine Welle um genau eine Wellenlänge vorauseilt, oder um zwei Wellenlängen, oder um drei, um vier usw. In all diesen Fällen trifft ein Wellenberg auf einen Wellenberg, was eben in einer konstruktiven Interferenz resultiert. Diese Wegdifferenz, also das „Vorauseilen bzw. Nacheilen einer Welle gegenüber der anderen Welle“ nennt man Gangunterschied \( \Delta s \).

Halten wir also allgemein fest: Damit konstruktive Interferenz zweier Wellen eintreten kann, muss der Gangunterschied: 0, 1λ, 2λ... betragen - aber auch -1λ, -2λ, -3λ und so weiter (mit dem Minus ist gemeint, dass die Welle der anderen Welle hinterher eilt). Bedingung für konstruktive Interferenz zweier gleicher Wellen \[ \Delta s ~=~ m \, \lambda \] mit \( m ~=~ ...-2,-1,0,1,2... \)

Destruktive Interferenz

Destruktive Interferenz: Überlagerung
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Destruktive Interferenz: so löschen sich zwei Sinuswellen aus.

Was ist aber, wenn die eine Sinuswelle der anderen Welle nicht um ein Vielfaches \( m \, \lambda \) , sondern um genau die Hälfte der Wellenlänge, also um \( \lambda/2 \) vorauseilt? Dann trifft ein Wellenberg auf ein Wellental. Die beiden Wellen löschen sich also komplett aus, denn betrachtest Du die Maxima der einen Welle, so wirst Du sehen, dass sie mit den Wellentälern der anderen Welle zusammenfallen und ihre Auslenkungen sich zu Null addieren: 1 + (-1) = 0. An den Nullstellen gilt ebenfalls für die Auslenkungen: 0 + 0 = 0. Und auch an jeder anderen Stelle addieren sich die Auslenkungen zu Null. In diesem Fall hast Du eine destruktive Interferenz. Sie tritt immer auf, wenn die eine Welle der anderen um λ/2 vorauseilt. Oder aber auch um λ/2+1 λ. Oder λ/2+2 λ, oder λ/2+3 λ, usw. Bedingung für destruktive Interferenz zweier gleicher Wellen \[ \Delta s ~=~ \lambda/2 ~+~ m \, \lambda ~=~ \left( 1/2 ~+~ m \right) \, \lambda \] mit \( m ~=~ ...-2,-1,0,1,2... \)

Es ist sehr wichtig, dass Du Dir die beiden Bedingungen merkst. Diese wirst Du in vielen Anwendungen der Physik, wie z.B. beim Doppelspaltexperiment brauchen!

Teilweise Interferenz

Bis jetzt haben wir zwei Spezialfälle betrachtet: wo ein Wellenberg perfekt auf den anderen Wellenberg getroffen ist, also konstruktive Interferenz, und wo ein Wellenberg perfekt auf ein Wellental getroffen ist, also destruktive Interferenz. Das muss aber nicht immer so sein! Die Wellen könnten genauso gut nur teilweise miteinander interferieren. Das würde bedeuten, dass der Wellenberg eben NICHT GENAU auf den anderen Wellenberg trifft… Aber diese Fälle sind eher unwichtig, da in Anwendungen meistens nur komplette Verstärkung oder komplette Auslöschung interessant ist.

Gangunterschied als Phasendifferenz schreiben

Man kann den Gangunterschied \( \Delta s \) zweier Wellen auch mit einem Winkel beschreiben, mit der sogenannten Phasendifferenz \( \Delta \phi \). Die Phasendifferenz wird entweder im Bogenmaß, also von \( 0 \) bis \( 2\pi \); oder im Gradmaß, also von 0 bis 360° angegeben. Jeder Gangunterschied \( \Delta s \) entspricht einer bestimmten Phasendifferenz \( \Delta \phi \). Die Phasendifferenz ist im Gradmaß: \[ \Delta \phi ~=~ \frac{\Delta s}{\lambda} \,\cdot\, 360^{\circ} \]

Die Phasendifferenz im Bogenmaß: \[ \Delta \phi ~=~ \frac{\Delta s}{\lambda} \, 2\pi \]

Deshalb kannst Du statt des Gangunterschieds \( \Delta s ~=~ 0 \) auch sagen: die Wellen haben eine Phasendifferenz von \( \Delta \phi ~=~ 0 \), denn: \[ \Delta \phi ~=~ \frac{0}{\lambda} \, 2\pi ~=~ 0 \] \( \Delta s ~=~ 0 \) entspricht also einer konstruktiven Interferenz, weil der Gangunterschied nur Null werden kann, wenn Du die Bedingung für konstruktive Interferenz verwendest: \( \Delta s ~=~ m \, \lambda \), mit \( m ~=~ 0 \). Statt der konstruktiven Interferenz sagt man übrigens auch: die Wellen sind in Phase.

Phasendifferenz für destruktive Interferenz (z.B. im Gradmaß) lautet allgemein: \[ \Delta \phi ~=~ \frac{ \left( 1/2 ~+~ m \right) \, \lambda }{\lambda} \,\cdot\, 360^{\circ} ~=~ \left( 1/2 ~+~ m \right) \,\cdot\, 360^{\circ} \]

Beispiel zur Phasendifferenz

Gangunterschied \( \Delta s ~=~ 1\lambda \) entspricht einer Phasendifferenz \( \Delta \phi ~=~ 360^{\circ} \) bzw. \( 2 \pi \).

Gangunterschied \( \Delta s ~=~ \frac{\lambda}{2} \) entspricht einer Phasendifferenz \( \Delta \phi ~=~ 180^{\circ} \) bzw. \( \pi \).

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