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Themen: Foucaultsches Pendel: so weist Du Erdrotation nach

Was ist ein Foucaultsches Pendel?

Foucaultsches Pendel - ist ein mathematisches Pendel, welches im Verlaufe der Zeit seine Schwingungsebene - in Abhängigkeit vom Breitengrad - verändert. Dieses Pendel dient dem direkten Nachweis der Erdrotation.

Schwingungsebene des Pendels

Das Seil des Pendels, das an einem Aufhängepunkt fest verankert ist, schwingt ganz normal hin und her; jedoch mit kleinen Unterschieden: wir verwenden ein viel längeres Aufhängeseil und lassen das Pendel für eine längere Zeit schwingen, damit eine bestimmte Änderung sichtbar wird. Nehmen wir zuerst an, als würde sich das Pendel am Süd oder Nordpol befinden. Wir werden dabei etwas sehr interessantes feststellen und zwar wird sich die Schwingungsebene im Verlauf der Zeit verändern. Wir müssen es - wie gesagt - nur eben für eine längere Zeit pendeln lassen, um den Unterschied mit den eigenen Augen sehen zu können. Die Änderung der Schwingungsebene ist dabei nur scheinbar. Sie erscheint uns so, als würde sie sich verändern. Du stehst auf der Erde und rotierst mit und es kommt dir vor, als würde eine Kraft senkrecht zur Schwingungsebene einwirken, weil du ein Teil des rotierenden Systems bist und nicht außerhalb bist. Die Erde ist kein Inertialsystem, sondern ein beschleunigtes Bezugssystem, d.h. schießen wir eine Kugel, dann fliegt sie nicht gerade aus, wie das in einem Inertialsystem wäre, sondern wird abgelenkt. Würdest du dich aus dem beschleunigten System heraus begeben, sodass du eben nicht mit der Erde rotierst; dann wird sich die Schwingungsebene aus deiner Sicht nicht mehr ändern.

Die Änderung der Pendelebene wird erst dann sichtbar, wenn der Beobachter auf der Erde steht und sich mitdreht.

Die Rotationsgeschwindigkeit der Schwingungsebene, also um wie viel Grad sich der Winkel in einer bestimmten Zeit ändert, ist dabei in Abhängigkeit vom Ort - wo Du das Foucaultsche Pendel schwingen lässt. Am Nord-und Südpol würde sich der Winkel der Ebene innerhalb von 24 Stunden um 360 Grad drehen. Die Winkel-bzw. Rotationsgeschwindigkeit \( \omega \) beträgt an den Polen also: 1 \[ \frac{ \Delta\varphi }{ \Delta \text{t}} ~=~ \frac{360^\circ}{24\text{h}} ~=~ \frac{15^\circ}{\text{h}} \]

Der Nord-und Südpol sind dabei ganz besondere Orte, denn wenn Du dort das Pendel platzierst, wird sich die Position des Aufhängepunktes nicht verändern, an anderen Orten auf der Erde schon! Du denkst jetzt bestimmt: Aber der Aufhängepunkt dreht sich doch, weil er mit der Erde verbunden ist?! Ja das stimmt, aber das hat keinen Einfluss auf die Schwingungsebene. Du kannst es mal selbst testen: nimm irgendetwas Pendelndes und drehe vorsichtig den Aufhängepunkt. Du wirst nur feststellen, dass das Seil und die Masse sich auch mitdrehen; die Schwingung selbst bleibt aber gleich!

An den Polen ist die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene in Übereinstimmung mit der Winkelgeschwindigkeit der Erde; was nichts anderes heißt: eine Umdrehung der Erde bedeutet eine Umdrehung der Schwingungsebene. Näherst Du aber das Pendel dem Äquator an, dann nimmt die Winkelgeschwindigkeit der Schwingngsebene ab, wobei sie direkt am Äquator komplett verschwindet.

Beispiel: Schwingngsebene an verschiedenen Orten In München hätte sich die Schwingngsebene innerhalb eines Tages nur um ca. 270 Grad geändert: \( \omega = \frac{270^\circ}{24\text{h}} = \frac{11,25^\circ}{1\text{h}} \). In der Gegend Kaliforniens dagegen ungefähr um 220 Grad: \( \omega = \frac{220^\circ}{24\text{h}} = \frac{9,17^\circ}{1\text{h}} \). Und am Äquator um 0 Grad.
Die Änderungsrate (Winkelgeschwindigkeit) der Schwingungsebene ist abhängig vom Ort auf der Erde.

Breitengrad

Je nach dem, auf welcher geographischen Breite das Foucault-Pendel platziert wird, verändert sich seine Schwingungsebene. Die Erdoberfläche wird in sogenannte Breitenkreise unterteilt, die durch eine bestimmte konstante geographische Breite (Breitengrad) charakterisiert sind.

Beispiel Der Breitenkreis direkt am Äquator hat die geographische Breite 0 Grad. Hannover liegt ungefähr auf dem Breitenkreis mit +52 Grad oder 52 Grad Nord.

Die Vorzeichen-Angabe Plus oder Minus bzw. die Angabe Nord oder Süd, sagt aus, ob der Breitenkreis sich auf der oberen oder unteren Hälfte der Erde befindet. 52 Breitengrad könnte also nicht nur Hannover sein, sondern auch alle anderen Orte auf dem gleichen Breitenkreis; auch auf dem Breitenkreis der anderen Hälfte der Erdoberfläche, zum Beispiel ein Ort in Südamerika in der Gegend der Magellanstraße.

Die geographische Breite erstreckt sich dabei von \( 0^\circ \) am Äquator, bis \( \pm 90^\circ \) am Nord bzw. Südpol. Die Angabe des Vorzeichens beim Breitengrad wird Dir beim Foucaultschen Pendel verraten, in welche Richtung sich die Pendelebene dreht. Entweder im Uhrzeigersinn auf der Nordhalbkugel oder im Gegenuhrzeigersinn auf der Südhalbkugel. Die Breitengrade kannst du locker im Internet finden oder mit einem GPS-fähigen Gerät ermitteln.

Die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene ist abhängig von der geographischen Breite \( \varphi \).

Je näher Du das Pendel zum Pol platzierst, desto schneller wird sich die Schwingungsebene ändern. Wobei wie gesagt an den Polen selbst, die Schwingungsebene sich genau um 360 Grad innerhalb von 24 Stunden dreht; ganz klar, weil die Erde unter dem Pendel genau eine Umdrehung gemacht hat.

Um die Änderungsrate der Schwingungsebene, also die Winkelgeschwindigkeit an einem bestimmten Breitengrad zu berechnen, nimmst Du die maximale Änderungsrate, nämlich 360 Grad pro Tag und multiplizierst sie mit dem Sinus des jeweiligen Breitengrades: 2 \[ \omega ~=~ \frac{ 360 }{ 1 \text{Tag} } \, \sin(\varphi) \]

Wenn Du also den Breitengrad Deines Ortes kennst, dann kannst Du damit ausrechnen, um wie viel Grad dein Foucaultsches Pendel innerhalb eines Tages sich drehen würde. Oder Du bestimmst die Winkelgeschwindigkeit, indem Du schaust, um wie viel Grad sich die Ebene innerhalb einer bestimmten Zeit gedreht hat und kannst dann sagen auf welchem Breitengrad Du Dich befindest.

Foucaultsches Pendel erklärt mit Corioliskraft

In beschleunigten Bezugssystemen, dazu gehört auch die Erde, wirken sogenannte Scheinkräfte, solche wie Zentrifugalkraft oder Corioliskraft.

Der Betrag der Corioliskraft ist somit: 3 \[ F_C ~=~ 2m \, v \, \omega \, \sin(\varphi) \]

Wie Du an der Formel für die Corioliskraft (am Kreuzprodukt) erkennen kannst, wirkt die Corioliskraft \( \vec{F}_C \) immer quer zu Bewegungsrichtung und zur Winkelgeschwindigkeit \( \vec{\omega} \). Sie ist dabei dafür verantwortlich, dass sich die Schwingungsebene des Foucault-Pendels dreht.

Die Erde ist näherungsweise eine Kugel, auf der sich jeder Punkt um 360 Grad pro Tag dreht. Die Umfänge der Erde sind aber unterschiedlich, je nach dem an welcher Stelle Du den Umfang misst. Das heißt: Ein Punkt auf dem Äquator muss einen größeren Umfang innerhalb von 24 Stunden zurücklegen als ein Punkt in der Nähe des Nordpols. Folglich muss die Geschwindigkeit eines Punkts am Äquator am größten sein, da dieser Punkt einen größeren Umfang innerhalb eines Tages zurücklegen muss als ein Punkt nahe der Pole.

Stelle Dich jetzt mal auf die Nordhalbkugel in der Nähe des Äquators. Nimm eine Pistole und richten sie nach Norden. Du, die Pistole, aber auch die sich darin befindende Pistonlenkugel haben eine bestimmte Geschwindigkeit \( \vec{v}_{\small{O}} \) in die Rotationsrichtung der Erde, denn alles, was auf der Erde ist, rotiert ja mit ihr mit und zwar in Ostrichtung! Schießt Du die Kugel ab, so fliegt sie jetzt nicht nur mit \( \vec{v}_{\small{O}} \) nach Osten, sondern bekommt noch eine senkrechte Geschwindigkeitskomponente nach Norden: \( \vec{v}_{\small{N}} \).

Du hast gelernt, dass die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Erde, umso kleiner wird, je näher der Punkt am Pol ist. Die Kugel fliegt mit der Geschwindigkeit \( \vec{v}_{\small{O}} \) nach Osten, die Erdpunkte unter der Kugel haben aber immer kleiner werdende Geschwindigkeit, je näher die Kugel sich dem Norpol nähert. Die Erdpunkte kommen also nicht mit der Kugel mit, da die Geschwindigkeit der Kugel in Ostrichtung stets größer ist als die Geschwindigkeit der Erdpunkte unter ihr. Also eilt die Kugel diesen Erdpunkten voraus: sie wird nach rechts abgelenkt!

Was passiert, wenn Du - auf der Nordhalbkugel stehend - die Kugel nach Osten abschießt? Sie wird aus Deiner Sicht zum Teil nach unten (nach Süden) und zum Teil nach oben abgelenkt! Aber auch ein Schuss nach Süden und Westen lenkt die Kugel ebenfalls im Uhrzeigersinn ab. Machst Du das gleiche Experiment auf der Südhalbkugel wird die Ablenkung gegen den Uhrzeigersinn passieren.

Auf der Nordhalbkugel wirkt die Corioliskraft nach rechts; das Pendel schwingt dort wie gesagt im Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel wirkt sie nach links; das Pendel schwingt dort gegen den Uhrzeigersinn.

Das Pendel wird nach einem Umlauf der Schwingungsebene einer Rosettenbahn gefolgt haben. Der Winkel \( \Delta\alpha \) zwischen den "Blättern" ist das Produkt der Winkelgeschwindigkeit der Ebene \( \omega \) und der Periodendauer des Pendels \( T \): 4 \[ \alpha ~=~ \omega{T} \]

Und die Periodendauer ist dabei ungefähr: 5 \[ T ~\approx~ 2\pi\sqrt{ \frac{ l }{ g } } \]

Es ist ersichtlich, dass eine Verlängerung des Fadens, die Periodendauer erhöht und somit auch den Winkel zwischen den Blättern. Deshalb verwendet man lange Pendel, um die Rotation der Ebene besser demonstrieren zu können.

Lass uns nun überprüfen, ob die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene durch ein längeres Pendel verändert werden kann. Du hast ja gelernt, dass die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene: Winkelgeschwindigkeit der Erde multipliziert mit Sinus des Breitengrades ist: \( \omega = \omega_{0}*sin(\varphi) \).

Eingesetzt in 4, ergibt: 6 \[ \alpha ~=~ \omega_{0} \, sin(\varphi) \, T \]

Um nun die Anzahl \( n \) der Schwingungen herauszubekommen, die notwendig sind, um mit dem Winkel \( \alpha \) eine volle Umdrehung zu machen, teilst Du \( 360^\circ \) durch \( \alpha \): 7 \[ n ~=~ \frac{ 360^\circ }{ \alpha } \]

Wenn Du noch die Anzahl mit der Periodendauer \( T \) multiplizierst, dann wirst Du sehen, dass sich die Periodendauer wegküzrt: 8 \[ \frac{ 360^\circ }{ \omega_{0} \, sin(\varphi) \, T} \, T ~=~ \frac{ 360^\circ }{ \omega_{0} \, sin(\varphi)} \]

Somit ist die Länge des Pendels, die in der Periodendauer steckt, hat nur einen Einfluss auf den Winkel \( \alpha \), nicht jedoch auf die Winkelgeschwindigkeit der Schwingungsebene!

Periodendauer des Pendels (und somit auch die Fadenlänge) hat keinen Einfluss auf Winkelgeschwindigkeit der Pendelebene.

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