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Themen: Looping-Bahn

Auch bei Loopingbahn gilt der Energieerhaltungssatz! Das heißt: Die Gesamtenergie Eges eines abgeschlossenen Systems ist konstant.

Anders gesagt: Die Summe der potentiellen Energie Epot und der kinetischen Energie Ekin ist immer gleich groß. Und zwar für beliebige Orte - z.B. am Ort 1 und am Ort 2 - auf der Loopingbahn:

Ekin1+Epot1 = Ekin2+Epot2

Das kannst Du ausnutzen, um beispielsweise die Geschwindigkeit v zu berechnen, denn sie kommt in folgender Gleichung für Energieerhaltung vor:

Ekin+Epot =\(\frac{1}{2}\)mv2+mgh

Wenn Du aber wissen möchtest, ob Du es mit dieser Geschwindigkeit schaffst die Loopingbahn lebend zu überwinden, dann musst Du auch etwas über die wirkenden Kräfte wissen, nämlich: die Gewichtskraft \( F_{G} \), die Dich stets in Richtung des Erdbodens zieht und die Zentrifugalkraft \( F_{Z} \), die Dich beim Looping in den Sitz des Wagens und den Wagen auf die feste Schiene drückt. Das ist auch der Grund, warum Du nicht einfach herunter stürzt.

Formel: Gewichtskraft

\[ F_{G} ~=~ m \, g \]
Mehr zur Formel...
  • Masse \( m \): des Wagens [Einheit: \( \text{kg} \)]
  • Fallbeschleunigung \( g \): ihr Wert auf der Erde (in Deutschland) ist \( 9,81 \, \frac{m}{s^2} \)

Formel: Zentripetalkraft

\[ F_{Z} ~=~ \frac{m \, v^2}{r} \]
Mehr zur Formel...
  • Masse \( m \): des Wagens [Einheit: \( \text{kg} \)]
  • Geschwindigkeit \( v \): des Wagens [Einheit: \( \frac{m}{s} \)]
  • Radius \( r \): des Loopings [Einheit: \( m \)]

Nötige Geschwindigkeit berechnen

Loopingbahn in der Physik
Loopingbahn mit eingezeichneten Kräften, Mindestgeschwindigkeit und Höhen.

Wenn Du die notwendige Geschwindigkeit zur Überwindung der Loopingbahn berechnen möchtest, musst Du den höchsten Punkt des Loopings betrachten, also da, wo Du genau kopfüber stehst! Einzige Information, die Du hast, ist: Radius der Loopingbahn und die Tatsache, dass bei einer Kreisbewegung auf der Erde zwei grundsätzliche Kräfte auf das gedrehte Objekt einwirken. Die nach unten ziehende Schwerkraft FG und die vom Loopingmittelpunkt wegzeigende Zentrifugalkraft FZ.

Am höchsten Punkt ist die Zentrifugalkraft genau entgegengesetzt der Schwerkraft gerichtet. Damit Du nicht herunterfällst, muss die Zentrifugalkraft mindestens genau so groß sein wie die Schwerkraft: \(\frac{mv^{2}}{r}\) ≥ mg

Die Umformung obiger Ungleichung nach der Geschwindigkeit ergibt die Bedingung zur Überwindung des Loopings: v ≥\(\sqrt{gr}\) Jetzt musst Du nur noch die Erdbeschleunigung g und den gegebenen Radius der Loopingbahn r einsetzen und minimalste Geschwindigkeit ausrechnen!

Die Frage ist: Mit welcher Geschwindigkeit vunten musst Du unten (hunten) in den Looping hineinfahren, um vmin am höchsten Punkt zu erreichen? Dazu bedienst Du dich der obigen Formel für Energieerhaltung: \(\frac{1}{2}\)mvunten2 + mg·0 =\(\frac{1}{2}\) mvmin2 + mghoben

Umformen der Gleichung nach vunten und Einsetzen von hoben=2r und vmin=\(\sqrt{gr}\) ergibt:

Formel: Mindestgeschwindigkeit beim Hereinfahren

in den Looping, um Mindestgeschwindigkeit vmin am höchsten Punkt zu erreichen und somit nicht auf den Popo zu fallen:

vunten =\(\sqrt{5gr}\)

  • g: Fallbeschleunigung mit 9,81 m/s2
  • r: Radius der Loopingbahn

Achterbahn mit Looping: ohne Absturz

Final Destination Situation: Der Motorantrieb der Achterbahn ist kaputtgegangen und Du befindest Dich gerade auf einem Achterbahn-Berg mit einer Geschwindigkeit nahe Null (vstart=0) und bist kurz davor herunterzurollen. Reicht die Höhe des Berges aus, um den Looping zu überwinden? Berechne dazu die Höhe hmin, auf der Du dich mindestens befinden musst.

In diesem Fall hättest Du nur potentielle Energie Epot=mghmin. Diese wird sich - bis zum höchsten Punkt des Loopings - zum Teil in kinetische Energie umwandeln: mghmin = mghoben +\(\frac{1}{2}\)mvmin2 Wobei hoben ist der Durchmesser der Loopingbahn 2r und die Mindestgeschwindigkeit vmin=\(\sqrt{gr}\), die Du oben bestimmt hast. Einsetzen ergibt: mghmin = mg2r +\(\frac{1}{2}\)m\(\sqrt{gr}\)2

Jetzt musst Du nur noch nach hmin auflösen und Du bekommst:

Formel: Mindesthöhe

des Achterbahn-Berges, von der Du starten musst, um den Looping zu schaffen:

hmin =\(\frac{5}{2}\)r

  • r: Radius der Loopingbahn

Unglaublich! Die Mindesthöhe ist nur abhängig vom Radius der Loopingbahn; ganz egal, ob Du dich auf dem Mars oder Jupiter befindest. Die Mindesthöhe befindet sich also immer ein\(\frac{1}{4}\) des Looping-Durchmessers über dem höchsten Punkt der Loopingbahn.

Beispiel zur Starthöhe Wenn der Durchmesser des Loopings 20 Meter beträgt, dann ist sein Radius r=10m. Damit muss Deine Starthöhe hmin - von der Du in den Looping hineinfährst - mindestens 25 Meter betragen.

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