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Themen: Minkowski-Diagramm

Was ist ein Minkowski-Diagramm?

Minkowski-Diagramm - ist ein Ort-Zeit-Koordinatensystem, mit dem die Eigenschaften von Raum und Zeit - ohne Formeln - veranschaulicht werden, die sich aus der speziellen Relativitätstheorie ergeben; insbesondere die Längenkontraktion und Zeitdilatation.

Minkowski-Diagramm: Koordinatensystem
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Koordinatensystem (Zeit- und Ortsachsen) für eindimensionale & zweidimensionale Bewegung als Grundgerüst für ein Minkowski-Diagramm. Gehört konventiell einem Ruhesystem.

Ein Minkowski-Diagramm besteht aus einer Zeitachse t und einer Ortsachse x, wenn Du eine geradlinige Bewegung behandeln möchtest. Manchmal werden auch zwei Ortsachsen (x, y) verwendet, um eine Bewegung in einer Ebene zu beschreiben.

Nach Konvention wird die Zeit auf der senkrechten und der Ort auf der waagerechten Achse eingezeichnet.

Die SRT und somit auch Minkowski-Diagramme bauen auf dem Relativitätsprinzip und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit auf. Die beiden Prinzipien bilden die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie!

Wie sehen Ereignisse im Minkowski-Diagramm aus?

Ein Punkt im Minkowski-Diagramm ist durch eine Orts- und Zeitangabe bestimmt und wird Ereignis genannt. Es gibt also an, wann und wo etwas stattfindet. Damit das jeweilige Ereignis eindeutig ist, musst Du die angegebene Zeit und den Ort auf ein bestimmtes Koordinatensystem beziehen.

2 Beispiele: nicht-eindeutige Ereignisse
  • Treffen einer Gang: 100 Meter vor dem Reichstag (Ort x) um 15 Uhr (Zeit t
  • Kollision zweier Satelliten: in 23 000 km Entfernung von der Erde (Ort x) um 14 Uhr (Zeit t)

Die beiden Beispiele stellen zwar Ereignisse dar, sie sind jedoch nicht eindeutig. Um die beiden Ereignisse eindeutig festzulegen, fehlt noch die Angabe des Bezugssystems, auf das sich die Orts- und Zeitangabe beziehen.

2 Beispiele: eindeutige Ereignisse
  • Treffen einer Gang: 100 Meter vor dem Reichstag aus Sicht des Brandenburger Tors (Ort x) um 15 Uhr Ortszeit (Zeit t)
  • Kollision zweier Satelliten: in 23 000 km Entfernung von der Erde aus Sicht der ISS (Ort x) um 14 Uhr GMT (Zeit t)

Weltlinien: als Geschichten der Teilchen

Die Bewegung, aber auch das bloße Dasein eines Teilchens oder eines anderen als punktförmig betrachteten Objekts (z.B. Raumschiff) erzeugt eine sogenannte Weltlinie im Minkowski-Diagramm. Diese stellt die Bahn dieses Objekts dar. Die Weltlinie ist sozusagen die Aneinanderreihung von allen Ereignissen, die diesem Objekt zustoßen. Beispiele für eine Weltlinie Du verlässt das Haus (Erstes Ereignis) und gehst zum Unterricht (Ansammlung von vielen Ereignissen dazwischen). Beim Ankommen setzt Du Dich erstmal aufs Klo (letztes Ereignis). Die Verbindung von allen Ereignissen, vom Verlassen des Hauses bis zum Setzen aufs Klo, stellt eine Weltlinie dar.

Wie Du am Beispiel merkst: eine Weltlinie stellt Deine gelaufene Bahn (Trajektorie) dar. Sie ist eine Ansammlung von allen Ereignissen, die Du auf dem Weg erlebt hast und zwar zu jedem Zeitpunkt.

Wie sehen die Weltlinien von Lichtteilchen aus?

Minkowski-Diagramm: Weltlinien
Minkowski-Diagramm für geradlinige Bewegung: Eingezeichnete Weltlinie eines Lichtteilchens.

Die Lichtgeschwindigkeit wird, wie Du weißt, in jedem Bezugssystem gleich wahrgenommen. Egal ob Du Dich bewegst oder nicht. Du wirst immer Lichtteilchen (genannt: Photonen) mit einer konstanten Lichtgeschwindigkeit messen. Das Licht ist etwas ganz Besonderes in diesem Universum!

Aus diesem Grund wählt man die Maßstäbe der Achsen im Minkowski-Diagramm so, dass die Weltlinien von Photonen in jedem Koordinatensystem eine Winkelhalbierende der Orts und Zeitachse darstellt. Dies kannst Du erreichen, indem Du auf die Zeitachse nicht t, sondern ct aufträgst und beide Achsen in der selben Längeneinheit und mit der selben Skalierung bemisst. Also zum Beispiel misst Du die Zeit in Jahren, den Ort in Lichtjahren und zwar mit Skalenstrichen im gleichen Abstand.

Wenn nun ein Photon zum Zeitpunkt 0 vom Ort 0 nach rechts ausgesendet wird, dann wird seine Weltlinie immer einen 45 Grad Winkel zur Zeitachse und zur Ortsachse einschließen.

Die Weltlinien, die zum Licht gehören, sind wegen der konstanten Lichtgeschwindigkeit niemals auf irgendeine Weise gebogen, sondern immer gerade. Sie können aber sehr wohl zickzackförmig sein, wenn beispielsweise ein Photon an irgendwelchen Spiegeln hin und her reflektiert wird. Die Zickzack-Form kann aber nicht beliebig sein, denn es muss ja ein 45 Grad Winkel zur Orts- bzw. Zeitachse, die zum ruhenden Beobachter gehört, eingehalten werden. Dieser Winkel ist auf jeden Fall gewährleistet, wenn an den Punkten, wo ein Photon seine Richtung ändert, die Zickzack-Weltlinie des Photons einen 90 Grad Winkel an den Umkehrpunkten einschließt.

7 Beispiele für verschiedene Geschwindigkeiten: nichts ist schneller als Licht...

Die Lichtgeschwindigkeit ist die maximale Geschwindigkeit im Universum und kann nur von masselosen Photonen erreicht werden. Daher können die Weltlinien von Objekten mit einer Masse niemals flacher sein als die Weltlinie eines Photons! Ihre Geschwindigkeit kann sich zwar der Lichtgeschwindigkeit nähern, aber sie niemals erreichen oder gar übersteigen.

Minkowski-Diagramm: verschiedene Geschwindigkeiten
Minkowski-Diagramm für geradlinige Bewegung: 6 Raumschiffe mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, sowie als Referenz die Weltlinie eines Photons eingezeichnet.

An diesem Beispiel betrachtest Du 7 unterschiedliche Raumschiffe, die zur Zeit t = 0 alle am Ort x = 0 gestartet sind. Von dort aus bewegen sie sich alle nach rechts, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

  1. Raumschiff 1 - hat eine senkrechte Gerade als Weltlinie, weshalb der ruhende Beobachter das Raumschiff still stehen sieht.
  2. Raumschiff 2 - hat eine sehr steile Weltlinie, es bewegt sich nach rechts.
  3. Raumschiff 3 - bewegt sich schneller als Raumschiff 2 nach rechts.
  4. Raumschiff 4 - bewegt sich schneller als Raumschiff 3 und zwar mit ungefähr halber Lichtgeschwindigkeit. Bedenke! Halbe Lichtgeschwindigkeit bedeutet nicht, dass Du den Winkel der Weltlinie von Licht halbieren sollst (22,5 Grad). Das ist nämlich falsch, wenn Du Dir die Beziehung zwischen dem Winkel und der Geschwindigkeit anschaust.
  5. Raumschiff 5 - bewegt sich beinahe mit Lichtgeschwindigkeit.
  6. Raumschiff 6 - bewegt sich mit Überlichtgeschwindigkeit und ist deshalb nicht zulässig.
Je schneller sich ein Objekt bewegt, desto mehr schmiegt sich seine Weltlinie an die Weltlinie des Lichts an. Keine Weltlinie ist flacher als die Weltlinie des Lichts.

7 Beispiele für verschiedene Weltlinien im Minkowski-Diagramm

Minkowski-Diagramm: Weltlinien
7 verschiedene Weltlinien im Minkowski-Diagramm eingezeichnet

Im Bild sind sieben unterschiedliche Weltlinien - die zu unterschiedlichen Beobachtern gehören - dargestellt. Es ist nur eine Ortsachse eingezeichnet, weshalb nur geradlinige Bewegungen möglich sind: also entweder Bewegungen nach links oder nach rechts. Der Ruhebeobachter, dem das - nach der Abbildung - schwarze Koordinatensystem gehört, beobachtet folgendes:

  1. Weltlinie 1 - deser Beobachter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von dem Beobachter - dem die Weltlinie 2 gehört - weg. Er bewegt sich als einziger Beobachter nach links.
  2. Weltlinie 2 - dieser Beobachter befindet sich - wie der Ruhebeobachter dem das schwarze Koordinatensystem gehört - in Ruhe an einem bestimmten Ort. Für ihn vergeht zwar die Zeit, sein Ort bleibt aber gleich. Er hat einen festen Abstand zum Ruhebeobachter.
  3. Weltlinie 3 - deser Beobachter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von dem Beobachter - dem die Weltlinie 2 gehört - weg. Seiner Weltlinie nach, bewegt er sich wie Beobachter 4,5 und 6 nach rechts.
  4. Weltlinie 4 - deser Beobachter hat die gleiche Geschwindigkeit wie der Beobachter, dem die Weltlinie 3 gehört. Beobachter 4 und 3 bewegen sich nach rechts in einem festen Abstand zueinander.
  5. Weltlinie 5 - dieser Beobachter ist ganz schnell und beschleunigt fast auf Lichtgeschwindigkeit. Am Ereignis S trifft er sich mit dem Beobachter - dem die Weltlinie 6 gehört - zur bestimmten Zeit an einem Ort.
  6. Weltlinie 6 - dieser Beobachter fliegt beinahe mit Lichtgeschwindigkeit und bremst ab, bis er irgendwann stehen bleibt, weil die Weltlinie mit der Zeit zu einer senkrechten Geraden wird. Am Ereignis S trifft er sicht mit dem Beobachter 6.
  7. Weltlinie 7 - dieser Beobachter pendelt hin und her - von rechts nach links. Er beschleunigungt auf hohe Geschwindigkeit und bremst an den Umkehrpunkten (an den Berg- und Talspitzen) ab, um die Bewegungsrichtung zu ändern.

Beachte! Gerade Weltlinien im Minkowski-Diagramm stellen unbeschleunigte Systeme (Inertialsysteme) dar. Krummlinige Weltlinien dagegen sind keine Inertialsysteme.

Geschwindigkeitsaddition: so geht es in der SRT

Minkowski-Diagramm: Geschwidnigkeitsaddition
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Zwei Raumschiffe, die sich mit 60% der Lichtgeschwindigkeit von der Erde entfernen und KEINE Relativgeschwindigkeit von 120% haben!

In der relativistischen Mechanik ist es nicht möglich eine Relativgeschwindigkeit herauszubekommen, die größer ist als die Lichtgeschwindigkeit.

Beobachtest Du von der Erde aus zwei Raumschiffe, die jeweils mit 60% der Lichtgeschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen von der Erde wegfliegen, dann heißt es nicht, dass sie sich aus Sicht eines der Raumschiffe mit (0,6c + 0,6c = 1,2c) 120% der Lichtgeschwindigkeit voneinander wegbewegen, wie es einem Erdbewohner erscheint. Das ist in der relativistischen Mechanik nicht möglich!

Um das zu überprüfen, lasse einen der Raumschiffkapitäne ein Lichtsignal zu dem anderen Raumschiff senden. Du wirst sehen, es würde beim anderen Raumschiff ankommen. Da sich auch aus Sicht des Käpt'ns das Signal mit Lichtgeschwindigkeit bewegt und es irgendwann das andere Raumschiff einholt (angedeutet durch Schnittpunkte), bedeutet es, dass sich das zweite Raumschiff langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit von ihm entfernt.

Du kannst diese Relativgeschwindigkeit, die der Käpt'n misst, übrigens auch mit folgender Formel berechnen:

Formel für Geschwidnigkeitsaddition in der SRT

\[ u ~=~ \frac{v_1 ~+~ v_2}{1 ~+~ \frac{v_1 ~ v_2}{c^2}} \]
Mehr zur Formel...
  • Relativgeschwindigkeit \( u \) : zweier Bezugssysteme 1 und 2 [Einheit: \( \frac{m}{s} \)].
  • Relativgeschwindigkeit \( v_1 \): zwischen dem bewegten Bezugssystem 1 und dem Ruhesystem (im obigen Beispiel: Erde) [Einheit: \( \frac{m}{s} \)].
  • Relativgeschwindigkeit \( v_2 \): zwischen dem Ruhesystem und dem bewegten Bezugssystem 2 [Einheit: \( \frac{m}{s} \)].
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{m}{s} \).

Gleichortigkeit: parallelen zur ct-Achse

Bei Minkowski-Diagrammen weist Du dem System, welches Du als Ruhesystem festgelegt hast, ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu. Dabei steht es Dir nach dem Relativitätsprinzip natürlich frei, welches System Du als ruhend betrachten möchtest. Du könntest genauso beispielsweise ein schiefwinkliges Koordinatensystem zum ruhenden System erklären.

Minkowski-Diagramm: gleichortige Ereignisse
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Minkowski-Diagramm für geradlinige Bewegung: Beispielhaft eingetragene gleichortige Ereignisse auf - zur ct-Achse parallelen - zwei Weltlinien.

Ruht ein Beobachter (der ein rechtwinkliges Koordinatensystem bekommen hat) an einem Ort x, dann ist seine Weltlinie eine senkrechte Gerade im Raum-Zeit-Diagramm, da die Zeitachse senkrecht nach oben verläuft. Aus Sicht dieses Beobachters passieren alle Ereignisse, die auf einer - zur Zeitachse parallelen - Weltlinie liegen, für ihn am Ort x statt. Deshalb nennt man sie auch - für diesen Beobachter gleichortige Ereignisse. Beispiel für Gleichortigkeit Bei Ereignis E1 schaltet die Ampel am Ort x1 auf rot und bei Ereignis E2 schaltet die Ampel am Ort x1 auf grün. Der Ort der Ampel x1 war im Verlauf der Zeit stets konstant - die Ampel hat sich nicht bewegt. Die Weltlinie der Ampel ist also eine zur Zeitachse parallele Gerade.

Die ct-Achse ist die Summe aller Ereignisse, die am Ort \( x ~=~ 0 \) stattgefunden haben. Sie ist die Geschichte, also Vergangenheit, Gegenwart und die Zukunft des Ortes \( x ~=~ 0 \). Die parallelen zur ct-Achse links und rechts sind die Geschichten anderer Orte.

Gleichzeitigkeit: Parallelen zur x-Achse

Minkowski-Diagramm: Gleichzeitige Ereignisse
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Minkowski-Diagramm für geradlinige Bewegung: Beispielhaft eingetragene gleichzeitige Ereignisse auf - zur ct-Achse parallelen - zwei Weltlinien.

Ist die Weltlinie nicht parallel zur Zeitachse, sondern parallel zur Ortsachse, dann stellt diese Weltlinie eine Ansammlung von Ereignissen dar, die für den - zum Koordinatensystem gehörenden - Beobachter gleichzeitig stattgefunden haben. Beispiel für Gleichzeitigkeit Zum Zeitpunkt t1 wird die Ampel auf linker Straße rot (Ereignis E1) und zum gleichen Zeitpunkt wird eine andere Ampel auf der rechten Straße grün (Ereignis E2). Die beiden Ereignisse (E1 und E2) fanden für den Beobachter, dem das rechtwinklige Koordinatensystem gehört, gleichzeitig statt.

Wenn \( t ~=~ 0 \) den Moment "Jetzt" darstellt, ist die x-Achse eine Ansammlung von Ereignissen, die in der Gegenwart passieren. Alle parallelen zur x-Achse, die unterhalb des Nullpunkts liegen, stellen die Vergangenheit all dieser Ereignisse dar. Die parallelen zur x-Achse oberhalb des Nullpunkts sind dagegen die Zukunft all dieser Ereignisse.

Weltlinien ausgedehnter Objekte: Weltflächen

Minkowski-Diagramm: Weltflächen
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3 im Minkowski-Diagramm eingezeichnete Welflächen von Stäben (ausgedehnte Objekte), mit Längen L1, L2 und L3

Bisjetzt hast Du nur Weltlinien von Objekten kennengelernt, die als punktförmig idealisiert oder von Natur aus sehr sehr klein waren. Jedes Objekt aber, ist in Wirklichkeit nicht punktförmig, sondern räumlich ausgedehnt. Das heißt, es besteht aus vielen Teilchen, die viele Orte zur selben Zeit besetzen und alle diese Teilchen fassen wir zusammen zu einem einzigen Objekt.

Jedes dieser Teilchen erzeugt seine eigene Weltlinie im Minkowski-Diagramm. Fasst Du sie alle zusammen, bekommst Du eine Weltfläche - als eine Aneinanderreihung vieler Weltlinien.

Ein starres Objekt, wie z.B. ein langer dünner Stab erzeugt parallele Weltlinien. Ein ruhendes Objekt der Länge L1 erzeugt eine Weltfläche, die parallel zur ct-Achse verläuft - also ein Rechteck, welches mit der Zeit entlang der ct-Achse länger wird.

Ein bewegtes Objekt dagegen, erzeugt zwar auch reckteck-förmige Weltflächen, diese sind jedoch entweder nach links oder rechts gekippt, weil sich die bewegten Objekte - im Fall einer Ortsachse - entweder nach links oder nach rechts bewegen.

Koordinatensysteme bewegter Beobachter

Minkowski-Diagramm: 2 Zeitachsen
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Nach dem Relativitätsprinzip hast Du und das Raumschiff zwei unterschiedliche Zeitachsen (ct und ctR), die entlang euerer Weltlinien verlaufen.

Nehmen wir mal an: Du bist der Ruhebeobachter. Das heißt: Du hast ein schönes rechtwinkliges Koordinatensystem und beobachtest, wie ein Raumschiff XxX unbeschleunigt sich nach rechts bewegt. Du und das Raumschiff hattet euch zum Zeitpunkt t= 0 im Koordinatenursprung getroffen; dort wart ihr zur selben Zeit am selben Ort. Euer Treffen war das Ereignis E0.

Lass uns dem Raumschiff XxX sein eigenes Koordinatensystem zuweisen. Nach dem Relativitätsprinzip kann sich das Raumschiff selbst als ruhend am Ort xR= 0 ansehen. Wie Du gelernt hast, liegen seine Weltlinie und die Zeitachse dann aufeinander. Seine Zeitachse verläuft dann genau entlang der Weltlinie in Deinem Ruhesystem. Das Raumschiff darf also die Zeitachse des Ruhesystems im Allgemeinen nicht mitbenutzen, weil sie nicht gleich wie seine eigene Zeitachse verläuft.

Ortsachse des bewegten Beobachters

Wie sieht denn die Ortsachse des Raumschiffs XxX aus, das sich relativ zum schwarzen Koordinatensystem in Bewegung ist?

Minkowski-Diagramm: Schiedsrichter
Vom Raumschiff XxX werden zwei Lichtpulse zu den Raumschiffen RR und LR zum Zeitpunkt ctR = 0 ausgesandt. Beide Lichtpulse kommen gleichzeitig an (Ereignisse ERR und ELR).

Um zu überprüfen, ob das bewegte Raumschiff die x-Achse Deines Koordinatensystems mitbenutzen darf, könntest Du sie im Minkowski-Diagramm mithilfe der Gleichzeitigkeit und den Weltlinien des Lichts konstruieren.

Minkowski-Diagramm: Ortsachse-Konstruktion
Verbindung von Ereignissen ERR und ELR, die für das Raumschiff XxX (blau) gleichzeitig stattfinden, stellen ganze Weltlinie gleichzeitiger Ereignisse dar.

Du hast ja gelernt, dass gleichzeitige Ereignisse im Minkowski-Diagramm parallel zur Ortsachse verlaufen müssen. Das wirst Du ausnutzen, in dem Du zwei weitere gleiche Raumschiffe (linkes Raumschiff LR und rechtes Raumschiff RR) in Betracht ziehst, die mit dem Raumschiff XxX in die gleiche Richtung (+ mit gleicher Geschwindigkeit) fliegen und einen gleichen Abstand zu XxX einhalten.

Da alle drei Raumschiffe in ihrer Bewegung gleichen (sprich: gleiche Richtung und Geschwindigkeit haben), kann sich XxX als in Ruhe ansehen, weshalb die beiden Raumschiffe links und rechts von ihm - aus Sicht von XxX - ebenfalls ruhen.

Deshalb kann das Raumschiff XxX sicher sein, dass, wenn es einen Lichtpuls zu LR und einen anderen Lichtpuls zu RR aussendet, dass die beiden Lichtpulse gleichzeitig bei beiden Raumschiffen ankommen werden. Die Lichtgeschwindigkeit ist ja überall im Vakuum gleich!

Das Raumschiff XxX schickt beispielsweise zum Zeitpunkt tR = 0 zwei Lichtsignale in entgegengesetzte Richtungen zu LR und RR ab. Sowohl das eine Lichtsignal als auch das andere, werden zur selben Zeit bei beiden Raumschiffen ankommen. Die beiden Ereignisse ELR: "Lichtsignal ist beim linken Raumschiff angekommen" und ERR: "Lichtsignal ist beim rechten Raumschiff angekommen" fanden gleichzeitig statt, weshalb sie auf einer Geraden parallel zur Ortsachse des Raumschiffs XxX liegen müssen.

Minkowski-Diagramm: Bewegter Beobachter
Verbindung von Ereignissen ERR und ELR, die für das Raumschiff XxX (blau) gleichzeitig stattfinden, wurde in den Koordinatenursprung verschoben und stellt nun die Ortsachse (xR-Achse) von XxX dar.

Verbinde also die beiden Ereignisse durch eine Gerade und schon hast Du Deine Ortsachse (nenne sie xR - Achse) des Raumschiffs XxX. Du könntest sie noch in den Ursprung Deines Koordinatensystems (tR = 0) verschieben, weil Du und das Raumschiff XxX euch im Ursprungsereignis getroffen habt. Das Ergebnis ist also: Raumschiff XxX hat seine eigene Ortsachse (xR-Achse) und darf Deine Ortsachse (x-Achse) nicht mitbenutzen!

Nachdem Du das Koordinatensystem des bewegten Systems konstruiert hast, kannst Du daran ein Phänomen der Relativitätstheorie beobachten, nämlich, dass Gleichzeitigkeit und Gleichortigkeit nicht für jeden Beobachter dasselbe ist.

Nimmst Du zwei Ereignisse, die im ruhenden System gleichzeitig passieren, also auf einer Parallelen zur Ortsachse liegen, und schaust, ob diese Ereignisse gleichzeitig im bewegten System passieren, dann wirst Du feststellen, dass dies nicht der Fall ist, weil ihre Verbindungslinie eben nicht parallel zur Ortsachse des bewegten Systems verläuft. Das gleiche gilt für Gleichortigkeit. Die Linien der Gleichzeitigkeit und Gleichortigkeit der beiden System stimmen nicht überein.

Lichteck: Gleiche Winkel bei Orts- und Zeitachsen

Minkowski-Diagramm: Lichteck
Vom Raumschiff XxX ausgesandten Lichtpulse zu anderen beiden Raumschiffen, werden dort reflektiert und kommen gleichzeitig wieder bei XxX an. Weltlinie der Lichtpulse bildet ein Lichteck.

Der Winkel zwischen der Licht-Weltlinie und der Zeitachse ist gleich dem Winkel zwischen der Licht-Weltlinie und der Ortsachse. Aber wie beweist Du das graphisch?

Dazu werden die vom Ursprungsereignis zu den beiden Raumschiffen RR und LR ausgesandten Lichtpulse bei den Raumschiffen zurück zum Raumschiff XxX reflektiert (bei den Ereignissen ELR und ERR). Beide Lichtpulse kommen gleichzeitig bei XxX an.

Durch Aussenden und Reflektieren beider Lichtpulse ist ein Lichviereck (oder kurz: Lichteck) entstanden. Es ist im wahrsten Sinne des Wortes ein Viereck, denn die Lichtweltlinien schließen "bei den Knicks" einen 90 Grad Winkel ein.

Die steilere Diagonale im Lichteck (ctR-Achse) bildet mit der ct-Achse immer gleichen Winkel wie der Winkel zwischen der flacheren Diagonale (Verbindung zwischen ELR und ERR) und der x-Achse.

Minkowski-Diagramm: Winkel
Minkowski-Diagramm: eingezeichneter bewegter Beobachter, deren Zeitachse und Ortsachse gleichen Winkel α mit den Achsen des Ruhebeobachters einschließen.
Das Licht stellt nicht nur eine Winkelhalbierende der Achsen vom ruhenden System dar, sondern auch der Achsen von bewegten Beobachtern! Der eingeschlossene Winkel beträgt: 1 \[ \tan(\alpha) ~=~ \frac{v}{c} \]

Aus der Formel 1 und der Tatsache, dass die beiden Winkel gleich sind, kannst Du folgern: Je schneller sich das Raumschiff aus der Sicht eines ruhenden Beobachters bewegt, desto näher rücken die Orts- und Zeitachse des Raumschiffs an die Lichtweltlinie; bis sie im Falle des lichtschnellen Raumschiffs zusammenfallen. Verschmelzen Raum und Zeit zu einer Dimension? Passiert für ein Photon alles im Universum gleichzeitig? Was denkst Du?

An der Gleichung 1 kannst Du außerdem erkennen, dass je größer die Geschwindigkeit \( v \) eines Beobachters ist, desto größer wird der Winkel \( \alpha \); bis die Geschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit \( c \) erreicht hat - dann ist der Quotient \[ \frac{v}{c} ~=~ \frac{c}{c} ~=~ 1 \] und der Winkel beträgt dann \( \alpha ~=~ 45^\circ \) (wegen: \( \arctan(1) ~=~ \frac{\pi}{4} \)).

Einheitshyperbel für die Skalierung der Zeitachsen

Bis jetzt haben wir nur die Ausrichtung der Orts- und Zeitachse des bewegten Systems konstruiert. Jetzt müssen wir uns noch um die Skalierung der Achsen kümmern, um ein vollständiges bewegtes Koordinatensystem zu bekommen. Schließlich kannst Du Dir nicht sicher sein, ob eine Sekunde im bewegten System der Sekunde im ruhenden System gleicht.

Nach der speziellen Relativitätstheorie bleibt das Abstandsquadrat \[ (ct)^2 ~-~ x^2 ~=~ s^2 \] in jedem System gleich. Mit Abstandsquadrat ist gemeint, dass \( s \) für Abstand eines Ereignisses vom Ursprung steht und dieser zum Quadrat genommen wird.

Minkowski-Diagramm: Hyperbel gleicher Zeit
Mithilfe der Lichtecke für 4 verschiedene Weltlinien wurde eine Hyperbel für "1 Lichtsekunde" konstruiert. Schneidet die Weltlinie die Hyperbel, so entspricht der Schnittpunkt einer Lichtsekunde im jeweiligen IS.

Wenn Du Dich mit Hyperbeln auskennst, stellst Du fest, dass die Gleichung für Abstandsquadrat der gleichseitigen Hyperbel entspricht; denn die Gleichung für eine allgemeine Hyperbel lautet folgendermaßen: \[ (y\,a)^2 ~-~ (x \, b)^2 ~=~ (a \, b)^2 \] wobei \( y ~=~ c\,t \) ist und \(a\) und \(b\) sind gleich, was in der Gleichseitigkeit resultiert. Im Folgenden betrachten wir nur den Fall \( s ~=~ 1 \), was einer Einheitshyperbel entspricht. Wir wollen untersuchen, wie viel Zeit eine Zeiteinheit eines Bezugssystems im anderen Bezugssystem entspricht.

Zeichne nun unterschiedlich schnelle Raumschiffe ein und schaue, wo ihre Weltlinien die Einheitshyperbel schneiden. Der Abstand vom Ursprung bis zum Schnittpunkt entspricht einer Zeiteinheit für das jeweilige Raumschiff. Und zwar je schneller das Raumschiff ist, desto gedehnter wird eine Zeiteinheit in diesem Raumschiff.

Schickst Du zwei Lichtpulse so vom Ursprung zum Schnittpunkt aus, dass sie an zwei Orten reflektiert und gleichzeitig beim Schnittpunkt ankommen, dann bekommst Du flächengleiche Lichtecke. Wendest Du auf das Abstandsquadrat mit \( s ~=~ 1 \), die binomische Formel an, dann bekommst Du das Produkt von zwei Ausdrücken, die als Seitenlängen eines Rechteckes interpretiert werden können: \[ (c\,t ~+~ x)(c\,t ~-~ x) ~=~ 1 \] Das Produkt selbst ergibt dann die Fläche dieser eingezeichneten Lichtecke. Und diese Fläche muss ja in jedem System gleich sein, weil sie dem umgeschriebenen Abstandsquadrat entspricht.

Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachsen

Minkowski-Diagramm: Hyperbel für Skalierung der Ortsachsen
Wie für die Zeitachsen, kann auch eine Hyperbel für "1 Längeneinheit" konstruiert werden. Schneidet die jeweilige Ortsachse die Hyperbel, so entspricht der Schnittpunkt einer Längeneinheit im jeweiligen Bezugssystem.

Du kannst nicht nur eine Hyperbel für gleiche Zeiten in unterschiedlichen Systemen einzeichnen, sondern auch für gleiche Orte! Die Hyperbelgleichung ist exakt die selbe, mit dem einzigen Unterschied, dass das Abstandsquadrat nicht +1 ist, sondern -1: \[ (ct)^2 ~-~ x^2 ~=~ -1 \]

Auch hier kannst Du Ortsachsen unterschiedlicher Systeme einzeichnen und die Schnittpunkte mit der Hyperbel betrachten. Ortsachsen unterschiedlich schnell bewegter Systeme werden anders skaliert: Je schneller sich das System bewegt, desto gedehnter wird eine Längeneinheit in diesem System.

Jetzt hast Du neben der Ausrichtung der Achsen des bewegten Systems, auch die Skalierung der Achsen herausgefunden. Wie Du siehst, ist sie bei bewegten System anders als beim ruhenden. Nun hast Du alle notwendigen Grundlagen drauf, um ein korrektes Minkowski-Diagramm zu zeichnen!

Zeitdilatation veranschaulicht

Mit den erworbenen Kenntnissen kannst Du nun die wichtigsten Phänomene der speziellen Relativitätstheorie veranschaulichen! Lass uns jetzt vergleichen, wie viel Zeit im unbewegten System vergangen ist, nachdem eine Sekunde im bewegten System verstrichen ist. Hierbei helfen Dir die Linien der Gleichzeitigkeit, also Parallelen zur Ortsachse.

Minkowski-Diagramm: Zeitdilatation für den Ruhebeobachter
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Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Zeit, sowie zwei für den Ruhebeobachter gleichzeitige Ereignisse E0 und E1. Für den Ruhebeobachter ist mehr als eine Zeiteinheit vergangen, während im bewegten System genau eine Zeiteinheit verstrichen ist.

Nennen wir den Schnittpunkt der Weltlinie eines bewegten Systems mit der Hyperbel E1. Nun suchst Du ein zu E1 aus Sicht des unbewegten Systems gleichzeitiges Ereignis auf dessen Zeitachse. Dazu zeichnest Du durch E1 eine zur Ortsachse parallele Linie. Du bekommst einen Schnittpunkt mit der Zeitachse des unbewegten Systems. Dieser Schnittpunkt ist ein Ereignis, welches aus Sicht des unbewegten Systems gleichzeitig mit E1 stattfindet. Nennen wir es E0.

Wenn Du die Zeitangaben von E1 im bewegten System und E0 im unbewegten System miteinander vergleichst, dann stellst Du fest, dass im unbewegten System mehr Zeit vergangen ist als im bewegten System.

Der Ruhebeobachter auf der Erde sieht also, dass, nach einer Sekunde, die im Raumschiff vergangen ist, auf seiner Uhr etwas mehr als eine Sekunde vergangen ist. Für den Ruhebeobachter scheint die Zeit im Raumschiff langsamer zu vergehen. Dieser Effekt wird Zeitdehnung oder Zeitdilatation genannt.

Minkowski-Diagramm: Zeitdilatation für den bewegten Beobachter
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Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Zeit, sowie zwei für das bewegte System gleichzeitige Ereignisse E0 und E3. Für den bewegten Beobachter ist eine Zeiteinheit vergangen, während für den Ruhebeobachter weniger als eine Zeiteinheit verstrichen ist.

Nach dem Relativitätsprinzip muss aber auch das bewegte Raumschiff die Zeit im Erdsystem langsamer vergehen sehen als in seinem eigenen System. Schließlich kann sich das Raumschiff selbst als ruhend betrachten. Das geht tatsächlich...

Du hast ja vorhin die Ortsachse des bewegten Systems konstruiert. Sie schließt den gleichen Winkel mit der Ortsachse des ruhenden Systems ein, wie die Weltlinie mit der Zeitachse des ruhenden Systems. Auch bei einem bewegten System stellen Parallelen zu dessen Ortsachse die Linien der Gleichzeitigkeit dar. Auch hier musst Du zwei Ereignisse finden, die dieses Mal aus Sicht des bewegten Systems gleichzeitig stattfinden.

Du zeichnest also die zur Ortsachse des bewegten Systems parallele Linie durch das Ereignis E1. Betrachte den Schnittpunkt der Linie der Gleichzeitigkeit mit der Zeitachse des Erdsystems. Nennen wir den Schnittpunkt E3.

Für das Raumschiff fanden E1 und E3 zur selben Zeit statt. Aus seiner Sicht ist im Raumschiff mehr Zeit vergangen als auf der Erde. Auch der Käpt'n des Raumschiffs kann behaupten, dass im anderen System, nämlich auf der Erde, die Zeit langsamer vergeht als in seinem eigenen System.

Minkowski-Diagramm benutzen = Lorentztransformation durchführen

Was Du bei Minkowski-Diagrammen die ganze Zeit machst: Du führst Lorentztransformation durch. Du transformierst die Koordinaten von einem ruhenden System \( (c\,t, x) \) ins bewegte System \( (c\,t_M, x_M) \) und andersherum und zwar durch das Ablesen der Koordinaten im Minkowski-Diagramm.

Graphische Lorentztransformation der Zeit
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Koordinaten von Ereignissen ablesen bedeutet: Lorentztransformation graphisch durchführen! 1 Sekunde in einem Inertialsystem entspricht \( 1 \text{Sekunde} * \gamma \) im jeweils anderen (relativ dazu bewegten) Inertialsystem.

Während für das schwarze Inertialsystem die Zeit \( t \) (seit dem sich die beiden Inertialsysteme im Koordinatenursprung getroffen haben) verstrichen ist, ist im blauen System die Zeit \( t_M ~=~ \gamma \, t \) (also mehr Zeit) vergangen.

Gamma-Faktor

\[ \gamma ~=~ \frac{1}{\sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}}} \]
Mehr zum Gamma-Faktor...
  • Relativgeschwindigkeit \( v \) : vom Ruhesystem und dem bewegten System [Einheit: \( \frac{m}{s} \)].
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{m}{s} \).

Nach dem Relativitätsprinzip sollte es aber auch andersherum gehen. Wenn Du in das blaue Ruhesystem wechselst: während dort die Zeit \( t_M \) vergangen ist, ist im schwarzen System die Zeit \( t ~=~ \gamma \, t_M \) (also mehr Zeit) vergangen.

Aus den Zeitkoordinaten kannst Du, mithilfe der Relativgeschwindigkeit \( v \) die Ortskoordinate \( x \) bzw. \( x_M \) berechnen. Lass uns z.B. \( x_M \) ausrechnen. Diese bekommst Du durch: \[ x_M ~=~ v \, t_M ~=~ v \, \gamma \, t \]

Und schon hast Du die Koordinaten vom ruhenden ins bewegte Inertialsystem transformiert: \[ (c\,t, x) ~\rightarrow~ (c\,t_M, x_M) ~=~ (c \, \gamma \, t, v \, \gamma \, t) \]

Längenkontraktion veranschaulicht

Minkowski-Diagramm: Längenkontraktion für den bewegten Beobachter
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Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachse, sowie zwei Ereignisse E0 und E1, die für den ruhenden Beobachter gleichzeitig stattfinden und ihr räumlicher Abstand zueinander, die Länge des Stabs repräsentiert. Die Länge des Stabs scheint für den bewegten Beobachter im ruhenden System verkürzt.

Neben der Zeitdilatation tritt ein weiteres Phänomen der speziellen Relativitätstheorie auf, nämlich die Längenkontraktion. Dazu ein Beispiel, wie Du die Längenkontraktion in einem Minkowski-Diagramm erkennen kannst.

Sagen wir mal Du bist der ruhende Beobachter und nimmst irgendeinen Stab, der in Deinem System eine Längeneinheit hat. Da der Stab aus Deiner Sicht in Ruhe ist, erzeugt er zwei zur Zeitachse parallele Weltlinien. Wenn Du das eine Ende des Stabs in den Ursprung verschiebst, wird die Weltlinie von einem seiner Enden genau entlang der Zeitachse verlaufen. Ist besser so, weil das Ursprungsereignis für den bewegten und ruhenden Beobachter zur selben Zeit am selben Ort passiert. Die Frage ist jetzt, welche Länge des Stabs misst der bewegte Beobachter?

Minkowski-Diagramm: Längenkontraktion für den Ruhebeobachter
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Eingezeichnete Einheitshyperbel für die Skalierung der Ortsachse, sowie zwei Ereignisse E0 und E1, die für den bewegten Beobachter gleichzeitig stattfinden und ihr räumlicher Abstand zueinander, die Länge des Stabs repräsentiert. Die Länge des Stabs scheint für den Ruhebeobachter im bewegten System verkürzt.

Lass uns zuerst die Hyperbel für den Ort einzeichnen. Der Schnittpunkt der Ortsachse des bewegten Systems mit der Einheitshyperbel entspricht einer Längeneinheit im bewegten System.

Damit eine Messung richtig ist, müssen die beiden Orte der Enden gleichzeitig abgelesen werden. Alles, was für das bewegte System gleichzeitig passiert, liegt auf Parallelen zu seiner Ortsachse. Schaue also, wo die Weltlinien der Stabenden die Ortsachse des bewegten Systems schneiden. Das ist einmal im Ursprung bei \( \mathcal{O} \) der Fall und bei \( \mathcal{E}_s \). Die Strecke \( \overline{\mathcal{OE}}_s \) ist aber kürzer als eine Längeneinheit im bewegten System. Wie Du siehst, ist für das bewegte Raumschiff die Länge des Stabs kleiner als in dessen Ruhesystem.

Nach dem Relativitätsprinzip sollte aber auch der ruhende Beobachter die Stablänge im bewegten System verkürzt messen. Zeichne dazu den gleichen Stab mit der Einheitslänge auf die Ortsachse des bewegten Systems. Die Weltlinien der Stabenden erzeugen Parallelen zur Zeitachse (Du weißt ja...Linien der Gleichortigkeit). Ihre Schnittpunkte mit der Ortsachse des ruhenden Beobachters ergeben die vom ruhenden System gemessene Länge des Stabs. Wie Du siehst, ist sie kürzer als im Ruhesystem des Raumschiffs.

Lichtkegel: Bewegung in einer Ebene

Minkowski-Diagramm: Weltlinien
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Minkowski-Diagramm mit zwei Ortskoordinaten: Lichtkegel für ein Ereignis im Koordinatenursprung.

Nimmst Du neben der x-Koordinate eine weitere Ortskoordinate y dazu, kannst Du Bewegungen in einer Ebene beschreiben. Durch die Betrachtung der Bewegungen in zwei Raumdimensionen, kann sich das Licht auch in der neuen Dimension ausbreiten. Dadurch entsteht ein Lichtkegel, welcher - in zwei Ortsdimensionen - durch begrenzte Lichtgeschwindigkeit entsteht.

Die Weltlinien des Lichts, die einen 45 Grad Winkel mit den Achsen einschließen, stellen die Konturen des Lichtkegels dar. Der Lichtkegel oberhalb des Nullpunkts stellt zukünftigen Lichtkegel dar, während der Lichtkegel unterhalb des Nullpunkts der vergangene ist.

Derartige Lichtkegel kannst Du natürlich für jedes Ereignis im Minkowski-Diagramm einzeichnen - nicht nur für den Koordinatenursprung.

Ereignis-Beziehung: raumartig, zeitartig und lichtartig

Minkowski-Diagramm: Weltlinien
Minkowski-Diagramm: Ereignisse E1, E2 und E3, die raumartig, zeitartige bzw. lichtartig zum Ereignis E0 stehen.

Es gibt 3 Möglichkeiten, wie die Ereignisse zu einander in Beziehung stehen können. Zeichnest Du beispielsweise für das Ursprungsereignis seinen Lichtkegel ein, dann können weitere Ereignisse (im Bild sind es E1, E2 und E3) innerhalb, außerhalb und genau auf dem Mantel des Lichtkegels liegen. Stell Dir vor das Ereignis E0 ist "3 Raumschiffe starten ihre Flüge zu den oben genannten Ereignissen".

Frage: Welches der Raumschiffe kommt beim Ereignis, zu dem sie fliegen, rechtzeitig an? ODER: In welcher Beziehung steht E0 zu anderen Ereignissen?

  1. Raumschiff 1, welches am Ereignis E0 seinen Flug zu E1 startete, wird das Ereignis E1 niemals rechtzeitig erreichen, da es sich außerhalb seines Lichtkegels befindet. Die Verbindung der beiden Ereignisse (E0 und E1) ergäbe eine Weltlinie, die flacher wäre als die Weltlinie eines Lichtteilchens - das Raumschiff 1 müsste sich also mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen. Nach der SRT ist das nicht möglich.

    Ereignisse E0 und E1 stehen RAUMARTIG zueinander. Ereignisse, die raumartig zu einem anderen Ereignis stehen, haben einen größeren Raumabstand (zur Zeitachse) als Zeitabstand (zur x-y-Ebene).

    Alle Ereignisse, die für einen Beobachter gleichzeitig stattfinden (also auf Parallelen zur x-Achse liegen) haben einen raumartigen Abstand zueinander, denn Du könntest keinen Lichtkegel zu einem Ereignis Ex1 zeichnen, der ein zu Ex1 gleichzeitigiges Ereignis Ex2 beinhaltet.
  2. Raumschiff 2, welches ebenfalls am Ereignis E0 seinen Flug zu E2 startete, wird es rechtzeitig erreichen, weil sein Ziel E2 innerhalb seines Lichtkegels liegt. Eine Verbindung von E0 und E2 ist steiler als die Weltlinie eines Lichtteilchens - das Raumschiff 2 überschreitet nicht die Lichtgeschwindigkeit; mit genügend großer Geschwindigkeit erreicht es E2rechtzeitig.

    Ereignisse E0 und E2 stehen ZEITARTIG zueinander.
  3. Das Raumschiff 3, welches am Ereignis E0 seinen Flug zu E3 startete, wird E3 nur dann erreichen, wenn es sich genau mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

    Da aber kein massebehaftetes Objekt (und dazu gehört auch das Raumschiff 3) jemals auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann (dafür bräuchte es unendlich viel Energie), kann das Raumschiff selbst, das Ereignis E3 niemals rechtzeitig erreichen. Es hat aber die Möglichkeit, bei seinem Startereignis E0 wenigstens ein Lichtsignal zu E3 zu schicken, welches E3 rechtzeitig erreichen wird, weil sich Lichtsignale eben mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

    Ereignisse E0 und E3 stehen LICHTARTIG zueinander. Ereignisse, die lichtartig zu einem anderen Ereignis stehen, haben gleichen Zeitabstand wie Raumabstand.
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