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Alexander Fufaev

Myonisches Wasserstoffatom

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Deine Aufgabe ist...

Myonischer Wasserstoff besteht aus einem Proton im Kern und einem Myon statt einem Elektron. Ein Myon hat zwar die gleiche Ladung wie ein Elektron, allerdings ist es 207 mal schwerer. Berechne:

  1. Bindungsenergie des Myons in der untersten Schale.
  2. Bohr-Radius ohne Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons.
  3. Bohr-Radius mit Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons.
Allgemeine Lösungstipps

Benutze die Formel für die Bindungsenergie, die sich aus kinetischer und potentieller Energie des Myons zusammensetzt.

"Mitbewegung des Protons" bedeutet - das Proton wird nicht ortsfest angenommen, benutze dafür die Formel für reduzierte Masse.

Lösung zu (a) anzeigen

Bindungsenergie des Myons im Wasserstoff-Atom ist gegeben durch: \[ E_n ~=~ E_{\text{kin}} ~+~ E_{\text{pot}} ~=~ - \frac{m_{\mu} \, e^4}{8 \epsilon_0 \, h^2} \, \frac{Z^2}{n^2} \]

Setze die Masse des Myons ein: \[ E_n ~=~ - \frac{270 m_{\text{e}} \, e^4}{8 \epsilon_0 \, h^2} \, \frac{Z^2}{n^2} \]

Da die Aufgabenstellung die Bindungsenergie auf der untersten Schale verlangt, ist \( n ~=~ 1 \). Außerdem gilt \( Z ~=~ 1 \): \[ E_n ~=~ - \frac{270 m_{\text e} \, e^4}{8 \epsilon_0 \, h^2} \]

Einsetzen der Konstanten ergibt: \[ E_n ~=~ - \frac{270 ~*~ 9.109 * 10^{-31} \, \text{kg} ~*~ (1.602 \,*\, 10^{-19} \, \text{C})^4}{8 * 8.854 * 10^{-12}\frac{\text{As}}{\text{Vm}} ~*~ (6.626 * 10^{-34} \, \text{Js})^2} \]

Lösung zu (b) anzeigen

Ohne Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons bedeutet, das Proton ist in Ruhe und wird von dem Myon auf einer festen Bahn umkreist. Die Bedingung für eine feste Bahn des Myons ist gegeben durch das Gleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Coulomb-Kraft: 1 \[ \frac{m_{\mu} \, v^2}{r} ~=~ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{r^2} \]

Außerdem brauchst Du die Bedingung, dass die Radien \( r_n \) gequantelt sind: 2 \[ 2\pi r_n ~=~ n \, \lambda \]

Und zuletzt noch die de-Broglie-Beziehung: 3 \[ \lambda ~=~ \frac{h}{p} ~=~ \frac{h}{m \, v} \]

Diese stellst Du nach der Geschwindigkeit \( v \) um: 4 \[ v ~=~ \frac{h}{m \, \lambda} \]

Stelle nun 2 nach der Wellenlänge um und setze sie in 4 ein: 5 \[ v ~=~ \frac{n \, h}{ 2\pi \, r_n \, m } \]

Diese Geschwindigkeit in 5 kannst Du nun in 1 einsetzen: 6 \[ \frac{m \, n^2 \, h^2}{4\pi^2 \, r^3 \, m^2 } ~=~ \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \, \frac{e^2}{r^2} \]

Forme nur noch 6 nach dem Radius um.

Lösung zu (c) anzeigen

Mit Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons bedeutet, das Proton bewegt sich gemeinsam mit dem Myon um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Dazu benutzt für die Masse des Myons die reduzierte Masse.

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