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Alexander Fufaev

Driftgeschwindigkeit, Kraft und Hall-Spannung berechnen

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Hall-Plättchen: Skizze
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Ein stromdurchflossenes Plättchen im Magnetfeld für den Hall-Effekt.

Ein Silicium-Plättchen mit der Länge \( l \) = 1cm, Breite b = 1mm und Dicke d = 1mm wird von einem Strom Il = 3.36A in Längsrichtung durchflossen und zwar senkrecht zu einem Magnetfeld mit der Stärke Bd = 1T. Das Plättchen hat eine Dichte von np = 42·1020/m3 Defektelektronen. Berechne:

  1. Driftgeschwindigkeit \(v\) der Defektelektronen.
  2. "Kraft" \( F_{\text L} \) auf ein positives Defektelektron.
  3. Hall-Spannung \( U_{\text H} \).

Bemerkung: Der Index bei Bd und Il soll nur Andeuten, in welche Richtung das Magnetfeld (entlang der Dicke) bzw. Strom (entlang der Länge) zeigt.

Allgemeine Lösungstipps

Benutze die Formel aus dem Artikel "Hall-Effekt".

Lösung zu (a) anzeigen

Driftgeschwindigkeit ist Geschwindigkeit \( v \) mit der sich die Defektelektronen entlang des Plättchens bewegen. Dabei legen sie eine bestimmte Strecke, nämlich die Plättchenlänge \( l \) innerhalb einer gewissen Zeit \( t \) zurück, was genau der Definition der Geschwindigkeit entspricht: 1 \[ v ~=~ \frac{l}{t} \]

Die Defektelektronen bilden alle zusammen einen Stromfluss mit einer gewissen Stromstärke \( I \), die als Ladung pro Zeit definiert ist: 2 \[ I ~=~ \frac{Q}{t} \]

Wie viel Ladung \( Q \) innerhalb eines Zeitintervalls fließt weißt Du zwar nicht - aber, was Du weißt, ist, dass Gesamtladung \( Q \) sich Anzahl \( N \) der Ladungen multipliziert mit der Elementarladung \( e \) schreiben lässt: 3 \[ Q ~=~ N \, e \]

Die Anzahl \( N \) kennst Du leider auch nicht, aber dafür kennst Du das Volumen des Plättchens \( V ~=~ l \, b \, d \) und die Defektelektronen-Dichte \( n_{\text p} \). Um die Anzahl \( N \) der Defektelektronen in diesem Volumen zu berechnen, rechnest Du: 4 \[ N ~=~ n_{\text p} \, V ~=~ n_{\text p} \, l \, b \, d \]

Setze 4 in 3 ein und dann 3 in 2 und forme nach der Zeit um: 5 \[ t ~=~ \frac{ n_{\text p} \, l \, b \, d \, e}{I} \]

Jetzt kannst Du die Zeit 5 in die Geschwindigkeitsformel 1 einsetzen (dabei kürzt sich Länge l weg): 6 \[ v ~=~ \frac{ I }{ n_{\text p } \, b \, d \, e} \]

Wenn Du jetzt noch vorgegebene Werte einsetzt, erhälst Du die Geschwindigkeit der Elektronen: 7 \[ v ~=~ \frac{ 3.36 \, \text{A} }{ 42*10^{20} \, \frac{1}{\text{m}^3} ~*~ 0.001 \, \text{m} ~*~ 0.001 \, \text{m} ~*~ 1.6*10^{-19} \, \text{C} } ~=~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} \]

Lösung zu (b) anzeigen

Auf den elektrischen Strom \( I \), genauer gesagt auf die fließenden Ladungsträger, wirkt im Magnetfeld \( B \) eine Lorentzkraft \( F_{\text L} \), die die Ladungsträger des Stroms zum Plättchenrand ablenkt. Jedes einzelne erfährt eine Kraft von: 8 \[ F_{\text L} ~=~ e \, v \, B \]

Da es sich um Defektelektronen handelt, trägt jedes von ihnen die Elementarladung \( +e \). Einsetzen der gegebenen Werte (einschließlich der in (a) ermittelten Driftgeschwindigkeit) ergibt folgende Lorentzraft: 9 \[ F_{\text L} ~=~ 1.6*10^{-19} \, \text{C} ~*~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} ~*~ 1 \, \text{T} ~=~ 10^{-16} \, \text{N} \]

Lösung zu (c) anzeigen

Hall-Spannung \( U_{\text H} \) stellt sich genau dann ein, wenn Lorentzkraft \( F_{\text L} \) komplett durch anziehende Kraft entgegesetzter Ladungen (elektrische Kraft) \( F_{\text EL} ~=~ Q \, E \) neutralisiert wird. Es stellt sich also beim Wert der Hall-Spannung, ein Kräftegleichgewicht ein: 10 \[ Q \, v \, B ~=~ Q \, E \]

Da die Ladungsträger sich om oberen und unteren Ende des Plättchens sammeln, kann dies als eine Art Plattenkondensator aufgefasst werden. In diesem gilt: Elektrisches Feld \( E \) ist Spannung \( U_{\text H} \) (hier Hallspannung) pro Abstand \( b \) (welcher der Plättchenbreite entspricht): 11 \[ E ~=~ \frac{U}{b} \]

Setze nun 11 in 10 ein und forme nach der Hallspannung um: 12 \[ U_{\text H} ~=~ b \, v \, B \]

Setzte nur noch alle Werte (einschließlich der Driftgeschwindigkeit aus (a)) ein und Du bekommst die gesuchte Hall-Spannung: 13 \[ U_{\text H} ~=~ 0.001 \, \text{m} ~*~ 5000 \, \frac{\text m}{\text s} ~*~ 1 \, \text{T} ~=~ 5 \, \text{V} \]

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