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Alexander Fufaev

Kreuzprodukt mittels Epsilon-Tensor ausrechnen

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Deine Aufgabe ist...

Berechne allgemein \( \vec{v}\times{}\vec{r} \) mittels Levi-Civita-Symbol. Dabei sind \( \vec{v} \) und \( \vec{r} \) Vektoren aus dem dreidimensionalen Raum.

Lösungstipps

Nutze die Definition des Epsilon-Tensors und schaue, welche Summanden wegfallen. Es fallen bei jeder Komponente alle außer zwei Summanden weg.

Lösung anzeigen

Definition des Kreuzproduktes mittels Epsilon-Tensor ist (mit Einsteinscher Summenkonvention) lautet: \[ \vec{v} ~\times~ \vec{r} ~=~ \epsilon_{ijk} \, \vec{e}_j \, v_j \, r_k \]

Betrachte einzelne Komponenten des Kreuzproduktes. Halte es allgemein und schreibte die \( i \)-te Komponente allgemein hin: \[ \left( \vec{v} ~\times~ \vec{r} \right)_i ~=~ \epsilon_{ijk} \, v_j \, r_k \]

Um jede Komponente des Kreuzprodukts explizit auszurechnen, musst Du jede der drei Komponente explizit ausschreiben. Dazu schreibst Du die Summe aus. Zuerst die erste Komponente \( i ~=~ 1 \): \[ \left( \vec{v} ~\times~ \vec{r} \right)_1 ~=~ \epsilon_{1jk} \, v_j \, r_k \]

Du musst nicht die ganze Summe ausschreiben. Nach der Definition des Epsilon-Tensors fallen alle Summanden weg, die gleiche Indizes beinhalten. Es bleiben nur folgende Summanden übrig: \[ \left( \vec{v} ~\times~ \vec{r} \right)_1 ~=~ \epsilon_{123} \, v_2 \, r_3 ~+~ \epsilon_{132} \, v_3 \, r_2 \]

Dabei ist \( \epsilon_{123} ~=~ 1 \) eine gerade und \( \epsilon_{132} ~=~ -1 \) eine ungerade Permutation: \[ \left( \vec{v} ~\times~ \vec{r} \right)_1 ~=~ v_2 \, r_3 ~-~ v_3 \, r_2 \]

Analog berechnest Du die 2. und 3. Komponente des Kreuzprodukts und schon hast Du alle drei Komponenten des Kreuzprodukts: \[ \vec{v} ~\times~ \vec{r} ~=~ \left(\begin{array}{c}v_2 \, r_3 ~-~ v_3 \, r_2 \\ v_1 \, r_3 ~-~ v_3 \, r_1 \\ v_1 \, r_2 ~-~ v_1 \, r_2 \end{array}\right) \]

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