1. Welt
  2. Quests
  3. #345
Alexander Fufaev

Topologischer Raum: zusammenhängend + nicht wegzusammenhängend

aus dem Bereich: Quests
Optionen

Deine Aufgabe ist...

Beweise, dass der folgende topologische Raum \( (X, \mathcal{O}) \) zwar zusammenhängendend, aber nicht wegzusammenhängend ist: \[ X ~=~ \{ ~ \left(x, \sin \, \frac{1}{x} \right): ~ x ~\in~ ]0, \, 1[ ~ \} ~\cup~ (0,0) ~\subseteq~ \mathbb{R}^2 \] mit der Topologie: \[ \mathcal{O} ~=~ \{ ~ X ~\cap~ M: M ~\subseteq~ \mathbb{R}^2 \text{offen} ~ \} \]

Allgemeine Lösungstipps

Um zu zeigen, dass X zusammenhängend ist, kannst Du beispielsweise erstmal zeigen, dass X nur durch die beiden Mengen in der Definition als disjunkt geschrieben werden kann und dann musst Du nur noch zeigen, dass diese zwei Mengen beide offen sind. Damit wäre die folgende Definition für Nicht-Zusammenhang erfüllt:

\( X \) nicht zusammenhängend \( \Leftrightarrow \) es existieren zwei offene Mengen \( A \) und \( B ~\neq~ \emptyset \) mit \( X ~=~ A ~\cup~ B \) und \( A ~\cap~ B ~=~ \emptyset \).

Für Wegzusammenhang betrachte einen beliebigen Weg: \[ \gamma: [a,~b] ~\rightarrow~ X, ~ \gamma(a) = (0,0) \]

Lösung anzeigen

Definiere zuerst für eine kürzere Schreibweise: \[ A ~:=~ \{ ~ \left(x, \sin \, \frac{1}{x} \right): ~ x ~\in~ ]0, \, 1[ ~ \} \] \[ B ~:=~ (0,0) \]

Um zu zeigen, dass \( X \) nicht wegzusammenhängend ist, wähle dazu einen beliebigen stetigen Weg \( \gamma \) von der Form: \[ \gamma: [a, b] ~\rightarrow~ X \] mit \( \gamma(a) ~=~ (\gamma_1(a), \gamma_2(a)) ~=~ (0,0) \) und \( \gamma(b) ~\in~ A \).

Betrachte das Supremum: \[ s ~:=~ \text{sup} \{~ t ~\in~ [a,b]: \gamma(t) ~=~ (0,0) ~\} \]

Da \( \gamma \) nach Voraussetzung stetig ist, ist auch \( \gamma(s) ~=~ (0,0) \).

Sei nun \( s \lt b \), dann wäre aber der Weg \( \gamma \) nicht stetig, denn für ein \( \kappa \lt 0 \) mit \( s ~+~ \kappa ~\leq~ b \) ist \[ \gamma(s ~+~ \kappa) ~\neq~ (0,0) \] weshalb die erste (aber auch die zweite) Koordinate von \( \gamma(s ~+~ \kappa) ~=~ \gamma ( \gamma_1(s~+~\kappa), \, \gamma_2 (s~+~\kappa) ) \) größer als Null: \[ \gamma_1(s~+~\kappa) ~\gt~ 0 \]

Wähle ein \( x \) folgendermaßen: \[ x ~:=~ \frac{1}{2\pi \, n ~+~ \pi /2} \] mit \( n \in \mathbb{N} \), sodass gilt: \[ \gamma_1(s~+~\kappa) ~\gt~ x \]

Da \( \gamma \) stetig ist, kannst Du nach dem Zwischenwertsatz ein \( r ~\in~ ]s, \, s~+~\kappa[ \) finden, sodass: \[ \gamma_1(r) ~=~ x \] ergibt. Dann ist \( \gamma_2(r) ~=~ \sin \frac{1}{x} ~=~ \sin \frac{1}{\gamma_1(r)} ~=~ \sin(2\pi \, n ~+~ \frac{\pi}{2}) ~=~ 1 \), für alle \( n \).

Da \( \gamma_2(s) ~=~ 0 \) ist, folgt: \[ || \gamma(r) ~-~ \gamma(s) || ~=~ || (x,1) ~-~ 0 || ~=~ \sqrt{x^2 ~+~ 1} ~\geq~ 1 \] also wäre \( \gamma \) im Punkt \( s \) - wegen dem Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit - nicht stetig, z.B. für \( \epsilon ~=~ \frac{1}{2} \).

Damit muss \( s ~=~ b \) sein, was letzendlich bedeutet, dass sowohl der Anfang des Wegs \( \gamma(a) ~=~ 0 \) als auch das Ende des Wegs \( \gamma(b) ~=~ \gamma(s) ~=~ 0 \), beide auf \( (0,0) \) abbilden.

\( X \) besitzt also nicht eine, sondern zwei Wegzusammenhangskomponenten (\( A \) und \( B \)). Damit aber \( X \) wegzusammenhängend ist, darf es genau eine Wegzusammenhangskomponente besitzen! Deshalb kann \( X \) nicht wegzusammenhängend sein.

Weltkarte
Verwalten
Profil
Die Stimme fragt...
Wie erlange ich den Zugang?

Um das Portal von Ak'tazun betreten zu können, musst Du die rote Pille schlucken. Nachdem Du durch das Portal gegangen bist, gelangst Du in die Matrix, wo Du beispielsweise folgendes tun kannst:

  • Inhalte hinzufügen & verwalten
  • Einige Inhalte kommentieren
  • Mittels Kommunikator RT2000 chatten
  • WhatsApp-Gruppe beitreten
Bist Du dabei?
Ja, bin dabei!
Portale in die anderen Welten

Reise zu den sicheren anderen Welten des Internets, um nach dem Wissen zu suchen. Findest Du eine Welt besonders interessant, dann kannst Du in der Universaldenkerwelt ein Portal zu dieser Welt erbauen, um den anderen Besuchern den schnellen Zugang dazu zu gewährleisten.

Portalraum betreten
Kommunikator
ONLINE 2
Gäste online: 2
Denker online: 0
Der Kommunikator RT2000 funktioniert nur innerhalb der Matrix!
Ich will in die Matrix!Mayday! Kontakt aufnehmen.