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Alexander Fufaev

Chromatische Aberration: Brechungsindex / Brennweite Zusammenhang

aus dem Bereich: Quests
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Deine Aufgabe ist...

Optische Materialien (wie z.B. Linsen) weisen eine chromatische Aberration auf (d.h. unterschiedliche Wellenlängen werden stark gebrochen). In dieser Aufgabe möchtest Du herausfinden, wie sich die Brennweite ändert, wenn Du den Brechungsindex ein wenig änderst.

  1. Weise nach, dass eine kleine Änderung des Brechungsindex Δn bei einer dünnen Linse (z.B. bei Änderung der Lichtwellenlänge mit der Du die Linse bestrahlst), zu einer kleinen Änderung der Brennweite Δf führt; indem Du den folgenden Zusammenhang herleitest: \[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n-1} \]
  2. Wenn Du nun eine bestimmte Linse mit der Wellenlänge \( \lambda = 250 \, nm \) bestrahlst, misst Du eine Brennweite von f = 1.5 m bei einem Brechungsindex von n = 1.51. Anschließend setzt Du eine Wellenlänge \( \lambda' = 300 \, nm \) ein, sodass der Brechungsindex der Linse zu n' = 1.47 wird. Wie groß ist die Verschiebung der Brennweite \( \Delta f \)?

Die Linse befindet sich außerdem im Medium "Luft" (Brechungsindex: nM = 1).

Lösungstipps

Benutze den Zusammenhang zwischen Brechkraft D, Brechungsindex n und Krümmungsradien der Linse R1 und R2 (Linsengleichung): \[ \frac{1}{f} ~=~ (n-n_M)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \] \( n_M \) ist bei Luft gleich 1. Betrachte dann eine kleine Änderung des Brechungsindex Δn, in dem Du beispielsweise eine andere Linse einsetzt. Benutze die Annahme, dass beide Brechungsindizes der Linsen ungefähr gleich sind.

Lösung zu (a)

Nehmen wir mal an, Du bestrahlst eine dünne Linse mit rotem Licht, dann misst Du den Brechungsindex n.

Nun veränderst Du die Wellenlänge des Lichts so, dass dadurch der Brechungsindex der Linse um einen sehr kleinen Betrag Δn beispielsweise größer wird. Du misst n': \[ n' ~=~ n ~+~ \Delta n \]

Nun kennst Du hoffentlich die im Hinweis zur Aufgabe erwähnte Linsengleichung. Da die Lichtwellenlänge nicht die Form der Linse verändert, bleiben die Krümmungsradien \( R_1 \) und \( R_2 \) gleich, egal mit welcher Wellenlänge Du die Linse bestrahlst.

Du hast also 2 Linsensgleichungen für zwei Fälle (Bestrahlung mit Wellenlänge 1 und dann mit Wellenlänge 2). Erste Gleichung ist: \[ \frac{1}{f} ~=~ (n ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \] und die zweite Gleichung: \[ \frac{1}{f'} ~=~ (n' ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]

Bei \( n ~-~ 1 \) bzw. \( n' ~-~ 1 \) müsste - im allgemeineren Fall - statt der "1", ein Brechungsindex des Mediums \( n_M \) stehen, in dem sich die Linse befindet. Bei Luft ist er aber gleich 1.

Wie Du an den Gleichungen merkst: Je größer der Brechungsindex \( n \) wird, desto kleiner wird die Brennweite \( f \). Subtrahiere nun beide Gleichungen voneinander: \[ \frac{1}{f} ~-~ \frac{1}{f'} ~=~ (n ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) ~-~ (n' ~-~ 1)\left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \]

Bringe \( \frac{1}{f} ~-~ \frac{1}{f'} \) auf gleichen Nenner und klammere den Krümmungsradien-Term heraus: \[ \frac{f' ~-~ f}{f \, f'} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right)(n ~-~ 1 ~-~ n' ~+~ 1) \]

Jetzt siehst Du die kleine Änderung in der Brennweite, die im Zähler auf der linken Seite steht \( f' ~-~ f \). Da \( f' \) kleiner ist als \( f \), ist ihre Differenz \( -\Delta f \) (Du könntest die Differenz aber genauso \( -\Delta f' \) nennen). Und \( -1 ~+~ 1 \) kürzt sich auch weg: \[ \frac{-\Delta f}{f \, f'} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right)(n ~-~ n') \]

Das \( n ~-~ n' \) ist dabei, wegen \( n' ~=~ n ~+~ \Delta n \): \[ \frac{-\Delta f}{f \, f'} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \, \Delta n \]

Multipliziere die Gleichung mit \( -f' \): \[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \left( \frac{1}{R_1} ~-~ \frac{1}{R_2} \right) \, \Delta n \, (-f') \]

Setze Linsengleichung für \( \frac{1}{f'} \) in \( f' \) ein (einfach Kehrwert nehmen), dabei wird sich der Krümmungsradien-Term wegkürzen: \[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n' ~-~ n} \]

Wir haben angenommen, dass sich der Brechungsindex \( n \) kaum ändert, weshalb Du \( n ~\approx~ n' \) behaupten darfst. Damit folgt der gesuchte Zusammenhang: \[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n ~-~ n} \]

Lösung zu (b)

Benutze den in der Teilaufgabe (a) hergeleiteten Zusammenhang: \[ \frac{\Delta f}{f} ~=~ \frac{\Delta n}{n ~-~ n} \]

Forme die Gleichung nach \( \Delta f \) um, welches ja die Verschiebung der Brennweite darstellt nach der Du suchst: \[ \Delta f ~=~ \frac{\Delta n}{n ~-~ n} \, f \]

Setze nur noch gegebene Werte ein; wobei \( \Delta n ~=~ n' ~-~ n \) ist: \[ \Delta f ~=~ \frac{1.47 ~-~ 1.51}{1.51 ~-~ 1} \, 1.5 \, \text{m} ~=~ -0.1176 \, m ~=~ -117.6 \, \text{mm} \]

Das Einsetzen größerer Lichtwellenlänge \( \lambda' \), verschiebt den Brennpunkt um -117.6 mm. Das Minuszeichen kann so interpretiert werden: Die Brennweite hat sich mit dem Einsatz "kurzwelligeren" Lichts, um 117.6 mm verkürzt.

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