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Alexander Fufaev

Magnetfeld aus dem Vektorpotential berechnen

aus dem Bereich: Quests
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Deine Aufgabe ist...

Berechne die magnetische Flussdichte \( \vec{B}\left(\vec{r}\right) \) aus dem Vektorpotential \( \vec{A}\left(\vec{r}\right) \), gegeben durch: \[ \vec{A}(\vec{r}) ~=~ \frac{\vec{m} ~\times~ \vec{r}}{r^3} \]

Lösungstipps

Für magnetische Flussdichte gilt: \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \vec{A}(\vec{r}) \]

Lösung anzeigen

Die magnetische Flussdichte berechnest Du aus dem gegebenen Vektorpotential folgendermaßen: 1 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \vec{A}(\vec{r}) \]

Setze zuerst das gegebene Vektorpotential in 1 ein: 2 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \nabla ~\times~ \left( \frac{ \vec{m} ~\times~ \vec{r} }{ r^3 } \right) \]

Wie Du in 2 siehst: Es ist ein doppeltes Kreuzprodukt, welches Du berechnen musst, um auf die magnetische Flussdichte zu kommen. Diese Aufgabe meisterst Du am elegantesten mithilfe der Indexnotation. Schreibe deshalb das äußere Kreuzprodukt in 2 mittels Levi-Civita-Symbol \( \varepsilon_{ijk} \) um, und den Nabla-Operator \( \nabla \) als Differentialoperator mit einem Index \( \partial_j \): 3 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \vec{e}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, r^{-3} \, \left( \vec{m} ~\times~ \vec{r} \right)_k \]

Den Betrag \( r ~=~ (x_1 x_1 + x_2 x_2 + x_3 x_3)^{1/2} \) des Ortsvektors \( \vec{r} \), kannst Du mit der Einsteinschen Summenkonvention auch folgendermaßen schreiben, wobei über den doppelt auftretenden Index \( s \) summiert wird: 4 \[ r ~=~ (x_s \, x_s)^{1/2} \] damit sieht das im Vektorpotential vorkommende \( r^{-3} \) so aus: 5 \[ r^{-3} ~=~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Wenn Du noch das andere Kreuzprodukt in 3 mittels Levi-Civita-Symbol \( \varepsilon_{klm} \) schreibst und 5 einsetzt, dann bekommst Du: 6 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \vec{e}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \varepsilon_{klm} \, m_l \, x_m \]

Nun musst Du den Differentialoperator \( \partial_j \) (Ableitung nach der Ortskoordinate \(x_j\)) anwenden, wobei Du die Produktregel für Ableitungen berücksichtigen musst. Dabei kannst Du die beiden Levi-Civita-Symbole und den Einheitsvektor ausklammern, weil sie nicht von Ortskoordinaten abhängen und somit aus Sicht des Differentialoperators Konstanten sind: 7 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \vec{e}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, \partial_j \, m_l \, x_m \right) \]

Das \(m_l \) ist aus Sicht der partiellen Integration nach \( x_s \), ebenfalls nur eine Konstante. Die Ableitung \( \partial_j \, x_m \) ist nur dann 1, wenn \( j = m \) ist. Und die Ableitung ergibt 0, wenn \( j \neq m \). Also kannst Du die Ableitung mithilfe von Kronecker-Delta schreiben: \( \partial_j \, x_m ~=~ \delta_{jm} \), welches entweder 1 oder 0 ist, je nach dem ob die Indizes gleich oder ungleich sind. Mit dieser Überlegung verwandelt sich 7 zu: 8 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \vec{e}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} \left( m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ (x_s \, x_s)^{-3/2} \, m_l \, \delta_{jm} \right) \]

Multipliziere die Klammern aus und fasse nach den Kronecker-Rechenregeln z.B. \( \varepsilon_{ijk}\delta_{jm} = \varepsilon_{imk} \) zusammen. Aus der Übung "Produkt von zwei Levi-Civita-Symbolen mit gleichen Indizes" weißt Du: \( \varepsilon_{imk}\varepsilon_{klm} = 2\delta_{il} \) εimkεklm = 2δil. Insgesamt steht dann Folgendes: 9 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ \vec{e}_i \, \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{klm} m_l \, x_m \, \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} ~+~ \vec{e}_i \, 2\delta_{il} \, m_l \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Fasse dann \( \delta_{il}\,m_l = m_i \) zusammen und rechne die Ableitung \( \partial_j \, (x_s \, x_s)^{-3/2} = -3x_j \, (x_s \, x_s)^{-5/2} \) aus. Wende anschließend die Identität \( \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im} \) an. Dann wird 9 zu: 10 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ -3\vec{e}_i \, (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{jl}\delta_{im}) \, m_l \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\vec{e}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

Multipliziere die Klammer aus und fasse Kronecker-Delta nach Deinem Wunsch zusammen: 11 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ -3\vec{e}_l \, m_l \, x_m \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 3\vec{e}_m \, m_j \, x_j \, x_m \, (x_s \, x_s)^{-5/2} ~+~ 2\vec{e}_i \, \, m_i \, (x_s \, x_s)^{-3/2} \]

An dieser Stelle kannst Du die Indizes wieder in Vektoren umwandeln. Mit \( \vec{e}_i \, m_i ~=~ \vec{m} \) und \( x_m \, x_m = r^2 \) hast Du: 12 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ -3 \vec{m} r^2 \, r^{-5} ~+~ 3\vec{r}(\vec{m} \cdot \vec{r}) \, r^{-5} ~+~ 2 \vec{m} r^{-3} \]

Wegen \( r^2 \, r^{-5} = r^{-3} \) hebt sich der letzte Summand mit zwei der drei vorderen Terme weg. Was übrig bleibt, ist: 13 \[ \vec{B}(\vec{r}) ~=~ -3 \vec{r} \, \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} ~-~ \frac{\vec{m}}{r^3} \]

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