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Alexander Fufaev

Deterministischer endlicher Autom (DEA) - akzeptierte Sprache bestimmter Länge

aus dem Bereich: Quests
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Deine Aufgabe ist...

Konstruiere jeweils einen deterministischen endlichen Automaten (DEA), der die folgenden Sprachen \(L\) akzeptiert:

  1. \( L = \{ w \in \{a,b\}^* ~:~ |w| = 2 \} \)
  2. \( L = \{ w \in \{a,b\}^* ~:~ |w| \geq 2 \} \)
  3. \( L = \{ w \in \{a,b\}^* ~:~ |w| \leq 2 \} \)
Allgemeine Lösungstipps

Zähle zuerst ein paar Beispielwörter \(w\) auf, die von der jeweilgen Sprache \(L\) akzeptiert werden.

Zur Erinnerung: Ein DEA \(A\) ist ein 5-Tupel \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \). Gib diesen 5-Tupel an. Für die Überführungsfunktion \( \delta \) kann auch ein Graph angefertigt werden.

Lösung zu (a) anzeigen

Die Sprache \(L\) ist eine endliche Sprache, deren Wörter \(w\) aus den Buchstaben \(a\) und \(b\) bestehen und genau die Länge \(|w|=2\) haben. Die Sprache besteht also aus vier Wörtern: 1 \[ L = \{aa, ab, ba, bb \} \]

Für einen minimalen deterministischen endlichen Automaten werden \(n+2\) (mit \(|w|=n\)) Zustände gebraucht, also 4 Zustände. Die Zustandsmenge ist damit: 2 \[ Z = \{ z_0, z_1, z_2, z_3 \} \] mit \(z_0\) als Anfangszustand. Die Überführungsfunktion \(\delta: Z \times \Sigma \rightarrow Z\) sieht folgendermaßen aus: 3 \[ \delta(z_0, a) = \delta(z_0, b) = z_1 \] \[ \delta(z_1, a) = \delta(z_1, b) = z_2 \] \[ \delta(z_2, a) = \delta(z_2, b) = z_3 \] \[ \delta(z_3, a) = \delta(z_3, b) = z_3 \]

Die Menge \(E\) der Endzustände ist: 4 \[ E = \{ z_2 \} \]

Der angegebene Automat \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \) akzeptiert die betrachtete Sprache \(L\).

Lösung zu (b) anzeigen

Die Sprache \(L\) ist eine unendliche Sprache, deren Wörter \(w\) aus den Buchstaben \(a\) und \(b\) bestehen und größer oder gleich die Länge \(|w|=2\) haben. Die Sprache besteht beispielsweise aus folgenden Wörtern: 5 \[ L = \{aa, bb, ab, aaa..., bbb..., ~... \} \]

Für einen minimalen deterministischen endlichen Automaten werden \(n+1\) (mit \(|w| \geq n\)) Zustände gebraucht, also 3 Zustände. Die Zustandsmenge ist damit: 6 \[ Z = \{ z_0, z_1, z_2 \} \] mit \(z_0\) als Anfangszustand. Die Überführungsfunktion \(\delta: Z \times \Sigma \rightarrow Z\) sieht folgendermaßen aus: 7 \[ \delta(z_0, a) = \delta(z_0, b) = z_1 \] \[ \delta(z_1, a) = \delta(z_1, b) = z_2 \] \[ \delta(z_2, a) = \delta(z_2, b) = z_2 \]

Die Menge \(E\) der Endzustände ist: 8 \[ E = \{ z_2 \} \]

Der angegebene Automat \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \) akzeptiert die betrachtete Sprache \(L\).

Lösung zu (c) anzeigen

Die Sprache \(L\) ist eine endliche Sprache, deren Wörter \(w\) aus den Buchstaben \(a\) und \(b\) bestehen und kleiner oder gleich die Länge \(|w|=2\) haben. Die Sprache besteht aus folgenden Wörtern: 9 \[ L = \{\varepsilon, a, b, ab, ba, aa, bb \} \] hierbei ist \(\varepsilon\) das leere Wort mit der Länge \(|\varepsilon|=0\).

Für einen minimalen deterministischen endlichen Automaten werden \(n+2\) (mit \(|w| \leq n\)) Zustände gebraucht, also 4 Zustände. Die Zustandsmenge ist damit: 10 \[ Z = \{ z_0, z_1, z_2, z_3 \} \] mit \(z_0\) als Anfangszustand. Die Überführungsfunktion \(\delta: Z \times \Sigma \rightarrow Z\) sieht folgendermaßen aus: 11 \[ \delta(z_0, \varepsilon) = z_0 \] \[ \delta(z_0, a) = \delta(z_0, b) = z_1 \] \[ \delta(z_1, a) = \delta(z_1, b) = z_2 \] \[ \delta(z_2, a) = \delta(z_2, b) = z_3 \] \[ \delta(z_3, a) = \delta(z_3, b) = z_3 \]

Die Menge \(E\) der Endzustände ist: 12 \[ E = \{ z_0, z_1, z_2 \} \]

Der angegebene Automat \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \) akzeptiert die betrachtete Sprache \(L\).

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