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Alexander Fufaev

Geladene unendliche Ebene: Elektrisches Feld

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Deine Aufgabe ist...

Eine unendlich ausgedehnte, unendlich dünne Ebene trägt eine homogene Flächenladungsdichte \( \sigma \). Bestimme das elektrische Feld \( \vec{E} \) an jedem Ort im Raum.

Lösungstipps

Benutze die Maxwell-Gleichung für zeitunabhängiges E-Feld: \[ \nabla ~\cdot~ \vec{E} ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \] wobei \( \rho \) die (Raum)Ladungsdichte ist.

Nutze außerdem den Gaußschen Integralsatz: \[ \int_{\mathcal{V}}\left( \nabla ~\cdot~ \vec{E} \right) \, \text{d}V ~=~ \oint_{\mathcal{A}} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \] und nutze die ebene Symmetrie aus.

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Gaußsche Schachtel Speichern | Info
Gaußsche Schachtel für die ebene Symmetrie.

Zeichne oder stell Dir ein zur Symmetrie des Problems geeignetes Gauß-Volumen vor. Da es sich um ein Problem mit der ebenen Symmetrie handelt, eignet sich dafür eine Gaußsche Schachtel. Diese umhüllt einen Teil der unendlich ausgedehnten Ebene und zwar so, dass die Ebene die Gaußsche Schachtel genau mittig schneidet.

Setze in das Gaußsche Gesetz für das elektrische Feld 1 \[ \int_{\mathcal{V}}\left( \nabla ~\cdot~ \vec{E} \right) \, \text{d}V ~=~ \oint_{\mathcal{A}} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \] die folgende Maxwell-Gleichung ein: 2 \[ \nabla ~\cdot~ \vec{E} ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \]

Dann bekommst Du: 3 \[ \int_{\mathcal{V}} \frac{1}{\varepsilon_0} \, \rho \, \text{d}V ~=~ \oint_{\mathcal{A}} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Die Ladungsdichte \( \rho \) integriert über ein Volumen \(\mathcal{V}\) ergibt die von diesem Volumen eingeschlossene Ladung, die wir beispielsweise als \( Q \) bezeichnen: 4 \[ \frac{Q}{\varepsilon_0} ~=~ \oint_{\mathcal{A}} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Da es sich laut der Quest um eine Ebene mit der konstanten Flächenladungsdichte \( \sigma \) handelt, ist die eingeschlossene Ladung gegeben durch: 5 \[ Q ~=~ \sigma \, A \] wobei \( A \) die von der Gaußschen Schachtel eingeschlossene Fläche der unendlich dünnen Ebene ist.

Setze 5 in 4 ein: 6 \[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ \oint_{\mathcal{A}} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Da die Ebene in jedem ihrer Punkte symmetrisch und homogen ist, zeigt das elektrische Feld auf beiden Seiten aus der Ebene heraus. Auf der oberen Seite der Ebene zeigt das E-Feld in kartesischen Koordinaten in z-Richtung: \( \vec{E} = E\,\vec{e}_{\text z} \). Deshalb liefern die Seitenflächen der Gaußschachtel keinen Beitrag zum Flächenintegral, da elektrisches Feld und der Orthogonalenvektor dieser Seitenflächen senkrecht aufeinander stehen. Betrachte beispielsweise eine Seitenfläche, deren Orthogonalenvektor in x-Richtung zeigt: 7 \[ \vec{E} ~\cdot~ \text{d} \vec{A}_{\text S} ~=~ E\,\vec{e}_{\text z} ~\cdot~ \vec{e}_{\text x} \, \text{d}A_{\text S} ~=~ 0 \]

Die einzigen Stücke der Gaußschen Schachtel, die Beiträge zum E-Feld liefern, sind die beiden Deckelflächen, deren Orthogonalenvektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Also wird die Gleichung 6 zu: 8 \[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ \int_{\text{Deckel 1}} E\,\vec{e}_{\text z} \cdot \vec{e}_{\text z} \, \text{d}A_{\text D} ~+~ \int_{\text{Deckel 2}} (-E\,\vec{e}_{\text z}) \cdot (-\vec{e}_{\text z} \, \text{d}A_{\text D}) \]

Die Basisvektoren des E-Felds und der Orthonormalenvektor der Deckelfläche sind parallel zueinander, das heißt: \( \vec{e}_{\text z} \cdot \vec{e}_{\text z} ~=~ 1 \). Die Integration über die Deckelflächen ergibt ihren Flächeninhalt \( A \). Damit vereinfacht sich 8 zu: 9 \[ \frac{\sigma \, A}{\varepsilon_0} ~=~ E\,A ~+~ E\,A ~=~ 2E\,A \]

Forme nur noch 9 nach dem E-Feld um. Bezeichnen wir \( \vec{n} := \text{sgn}(z) \, \vec{e}_{\text z} \), um anzudeuten, dass das elektrische Feld senkrecht auf der Ebene steht. Dann ist die Quest gelöst:

E-Feld: unendlich ausgedehnte Ebene 10 \[ \vec{E} ~=~ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \, \vec{n} \]

Wie Du an der hergeleiteten Formel 10 siehst, ist das elektrische Feld unabhängig davon, wie weit entfernt Du Dich von der unendlich ausgedehnten Platte befindest! Sonst würde in der Formel eine Ortskoordinate stecken...

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