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Alexander Fufaev

Größe vom Heißluftballon zum Aufsteigen

aus dem Bereich: Quests
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Deine Aufgabe ist...

Welchen Radius r muss ein Heißluftballon besitzen, damit er in einer 10°C-Luft aufsteigen kann?

Der Heißluftballon besitzt ein Gesamtgewicht von 400kg und im Inneren des Ballons ist die Luft auf 30°C erhitzt.

Lösungshinweise

Benutze die Formeln für Auftriebskraft und Gewichtskraft, sowie die Luftdichte für die entsprechende Temperatur unter Normaldruck.

Lösung anzeigen

Damit der Heißluftballon aufsteigen kann, muss auf ihn einwirkende Gewichtskraft durch die Auftriebskraft kompensiert werden. Zur Gewichtskraft muss noch neben der Masse des Heißluftballons m, auch noch die Masse der Luft mL berücksichtigt werden, die sich im Ballon befindet. Es muss also gelten: \[ m \, g ~+~ m_{\text L} \, g ~=~ \rho_{\text {L,10}} \, V \, g \]

Dabei ist \( \rho_{\text {L,10}} \) die Dichte der Luft bei 10°C. Und \( V \) ist das Volumen der vom Heißluftballon verdrängten Luft, also genau das Volumen des Ballons. Das Volumen der Gondel kannst Du vernachlässigen.

Da Du die Masse der Innenluft nicht kennst, schreibst Du \( m_{\text L} ~=~ \rho_{\text {L,10}} \, V \) um.

Du suchst den Radius des Heißluftballons \( r \), deshalb schreibe das Volumen in (näherungsweise) Kugelvolumen um: \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \).

Forme dann die Gleichung nach dem Radius um: \[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{3m}{4\pi (\rho_{\text {L,10}} - \rho_{\text {L,30}} )} } \]

Die Dichte der Luft bei 10 Grad beträgt laut Wikipedia \( \rho_{\text {L,10}} ~=~ 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Und bei 30 Grad: \( \rho_{\text {L,30}} ~=~ 1.644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Einsetzen der gegebenen Werte ergibt den Radius: \[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{ 3 ~*~ 400 \, \text{kg} }{4\pi (\left( 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} ~-~ 1.1644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \right) }} ~=~ 10.51 \, \text{m} \]

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