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Alexander Fufaev

Maschenregel & Knotenregel - Schaltung mit 6 Widerständen

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Deine Aufgabe ist...

Elektrischer Schaltkreis Speichern | Info
Die zu behandelnde elektrische Schaltung.

Bestimme alle elektrischen Ströme und Spannungen im Netzwerk mit sechs Widerständen \(R_1 = 2\,\text{k}\Omega\), \(R_2 = 30\,\Omega\), \(R_3 = 95\,\Omega\), \(R_4 = 400\,\Omega\), \(R_5 = 700\,\Omega\) und \(R_6 = 1.2\,\text{k}\Omega\) sowie der vorgegebenen Quellspannung \(U_{\text q} = 3 \, \text{V} \).

Allgemeine Lösungstipps

Benutze die Knoten- und Maschenregel. Es macht Sinn einige in Serie geschalteten oder parallel geschalteten Widerstände zusammenzufassen, um daraus neue Information zu gewinnen.

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Maschen und Knotenpunkte Speichern | Info
Maschen und Knoten der Schaltung #2.

Linke Seite des Schaltkreises:
Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist nach der Skizze \(U_{\text q}\). Bei gegebenem Widerstand \(R_1\) kann der Strom durch den Widerstand \(R_1\) mit dem Ohm-Gesetz berechnet werden:

1 \[ I_1 = \frac{U_{\text q}}{R_1} = 1.5 \, \text{mA} \]

Die Spannung, die an beiden Widerständen \(R_2\) und \(R_3\) abfällt ist \(U_{\text q}\). Das kann leicht nachvollzogen werden, wenn die beiden in Reihe geschalteten Widerstände zusammengefasst werden \(R_2 + R_3\). Der Strom \(I_{23}\) durch die Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) ist also:

2 \[ I_{23} = \frac{U_{\text q}}{R_2 + R_3} = 24 \, \text{mA} \]

Nach der Knotenregel muss der Strom \(I_{123}\) die Summe der eben berechneten Teilströme 1 und 2 sein:

3 \[ I_{123} = I_1 + I_{23} = 25.5 \, \text{mA} \]

Die Spannung am Widerstand \(R_1\) ist, wie bereits gesagt, die Quellspannung:

4 \[ U_1 = U_{\text q} = 3 \, \text{V} \]

Da der Strom \(I_{23}\) bereits bestimmt wurde, kann mit seiner Hilfe die Spannung \(U_3\) am Widerstand \(R_3\) berechnet werden:

5 \[ U_3 = R_3 \, I_{23} = 2.28 \, \text{V} \]

Analog auch die Spannung \(U_2\) am Widerstand \(R_2\). Durch diesen fließt auch der Strom \(I_{23}\):

6 \[ U_2 = R_2 \, I_{23} = 0.72 \, \text{V} \]

Rechte Seite des Schaltkreises:
Um den Strom \(I_{456}\) zu bestimmen, werden die Widerstände auf der rechten Seite der Schaltung zusammengefasst. Die Widerstände \(R_5\) und \(R_6\) sind parallel geschaltet, folglich ist deren Gesamtwiderstand \(R_{56}\) die Summe der Reziprokwerte \(1/R_{56} = 1/R_5 + 1/R_6\), oder alternativ formuliert: 7 \[ R_{56} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} = 442.1 \, \Omega \]

Der Widerstand \(R_{56}\) ist mit dem Widerstand \(R_4\) in Reihe geschaltet, folglich addieren sich die beiden Widerstände: 8 \[ R_{456} = \frac{R_5 \, R_6}{R_5 + R_6} + R_4 = 842.1 \, \Omega \]

Wie viel Spannung an dem zusammengefassten Widerstand 8 abfällt, ist nun bekannt, nämlich die Quellspannung. Daraus kann mit dem Ohm-Gesetz der Strom \(I_{456}\) durch diesen Widerstand bestimmt werden:

9 \[ I_{456} = \frac{U_{\text q}}{R_{456}} = 3.56 \, \text{mA} \]

Da nun der Strom \(I_{456}\) durch den Widerstand \(R_4\) bekannt ist, kann die Spannung, die an diesem Widerstand abfällt, berechnet werden:

10 \[ U_4 = R_4 \, I_{456} = 1.424 \, \text{V} \]

Die dritte Maschenregel besagt: 11 \[ U_{\text q} = U_4 + U_5 \]

Stelle 11 nach der unbekannten Spannung \(U_5\) um, und berechne:

12 \[ U_5 = U_{\text q} - U_4 = 1.576 \, \text{V} \]

Die vierte Masche ergibt:

13 \[ U_6 = U_5 = 1.576 \, \text{V} \]

Die Knotenregel \(I_{456} = I_5 + I_6\) ergibt:

14 \[ I_6 = I_{456} - \frac{U_5}{R_5} = 1.3 \, \text{mA} \]

hierbei ist \(U_5/R_5\) der Strom \(I_5\). Ebenfalls nach der Knotenregel und mit 14 folgt:

15 \[ I_5 = I_{456} - I_6 = 2.26 \, \text{mA} \]

Der Quellstrom \(I_{\text q}\) ist nach der Knotenregel:

16 \[ I_{\text q} = I_{123} + I_{456} = 29.06 \, \text{mA} \]

Damit ist die Quest vollständig gelöst - alle Ströme und Spannungen an den Widerständen wurden bestimmt!

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