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Alexander Fufaev

Magnetisches Dipolmoment von einem rotierenden Zylinder

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Rotierender elektrisch geladener Zylinder

Ein mit der elektrischen Ladungsdichte \(\rho\) homogen geladener Hohlzylinder der Länge \(L\) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) um seine Längsachse. Der Zylinder ist nicht unendlich dünn, sondern seine innere Wand hat den Radius \(r_{\text i}\) und die äußere Wand den Radius \(r_{\text e}\).

  1. Wie groß ist das magnetische Dipolmoment des Hohlzylinders?
  2. Welches magnetisches Moment hätte der Hohlzylinder, wenn er unendlich dünn wäre und eine Flächenladungsdichte \(\sigma\) trug?
Allgemeine Lösungstipps

Benutze die Definition des magnetischen Dipolmoments und integriere über das Volumen des Hohlzylinders.

Lösung zu (a) anzeigen

Der Ausgang ist die Definition des magnetischen Dipolmoments für eine Stromschleife, die vom Strom \(I\) durchflossen wird und eine Fläche \(A\) einschließt: 1 \[ \mu = A \, I \]

Der rotierende homogen geladene Zylinder hat viele Stromschleifen, die sowohl von unterschiedlichen Strömen und unterschiedliche Flächen einschließen. Die Stromschleife mit dem Radius \(r_1\) erzeugt ein anderes Dipolmoment als eine Stromschleife mit dem Radius \(r_2\). Die Fläche und der Strom und damit auch das magnetische Moment ortsabhängig: 2 \[ \mu(r) = A(r) \, I(r) \]

Das Ziel dieser Quest ist, das gesamte magnetische Dipolmoment herauszufinden und nicht nur das Moment, welches den Radius \(r\) hat. Deshalb müssen alle Stromschleifen des Zylinders mithilfe eines Integrals aufsummiert werden. Bevor das getan wird, wird zuerst ein infinitesimales Dipolmoment \(\text{d}\mu\), welches von einem infinitesimalen Stromelement \(\text{d}I\) erzeugt wird, betrachtet. Und die Fläche \(A(r)\) ist die Fläche eines Kreises (\(\pi \, r^2 \)), dessen Radius natürlich variabel sein muss: 3 \[ \text{d}\mu = \pi \, r^2 \, \text{d}I \]

Das Stromelement kann mithilfe der Definition des elektrischen Stroms mit der infinitesimalen Ladung \(\text{d}Q\) pro Periodendauer \(T\) ausgedrückt werden. 4 \[ \text{d}\mu = \pi \, r^2 \, \frac{\text{d}Q}{T} \]

Nun kann die gegebene Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ins Spiel gebracht werden, denn die Periodendauer \(T\) hängt mit der Frequenz \(f\) reziprok zusammen (\( T = 1/f\)) und die Frequenz hängt mit der Winkelgeschwindigkeit lediglich über den Faktor \(2\pi\) zusammen \(\omega = 2\pi \, f \). Damit kann die Periodendauer mit der bekannten Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt werden: 5 \[ \text{d}\mu = \pi \, r^2 \, \frac{\omega}{2\pi} \, \text{d}Q \]

Die Ladung ist nicht bekannt, muss deshalb ebenfalls ersetzt werden. Und hier kommt die gegebene Ladungsdichte \(\rho\) ins Spiel. Die auf dem Zylinder sitztende Gesamtladung ist die Ladungsdichte multipliziert mit dem Volumen des Zylinders (\(Q=\rho \, V\)). Da hier aber ein infinitesimale Ladung \( \text{d}Q \) betrachtet wird, ist das von dieser Ladung eingeschlossene Volumen ebenfalls infinitesimal: 6 \[ \text{d}\mu = \frac{\omega}{2} \, r^2 \, \rho \, \text{d}v \]

In den zum Problem passenden Zylinderkoordinaten ist \(\text{d}v = r \, \text{d}\varphi \, \text{d}r \, \text{d}z \): 7 \[ \text{d}\mu = \frac{\omega \, \rho}{2} \, r^2 \, r \, \text{d}\varphi \, \text{d}r \, \text{d}z \]

Das Integral über die z-Koordinate würde die Länge \(L\) des Zylinders ergeben und das Integral über die \(\varphi\)-Koordinate im Kreis herum würde \(2\pi\) ergeben: 8 \[ \text{d}\mu = \frac{\omega \, \rho}{2} \, r^3 \, 2\pi \, L \, \text{d}r \]

Nun muss lediglich über den Radius \(r\) von der inneren Wand bis zur äußeren Wand des Zylinders integriert werden: 9 \[ \int \text{d}\mu = \pi \omega \, \rho \, L \, \int^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} r^3 \, \text{d}r \]

Das Integral ergibt: 10 \[ \mu = \pi \omega \, \rho \, L \, \left[ \frac{1}{4} \, r^4 \right]^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} \]

Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert das gesuchte gesamte magnetische Dipolmoment des Hohlzylinders:

11 \[ \mu = \frac{\pi}{4} \, \omega \, \rho \, L \, \left( r_{\text e}^4 - r_{\text i}^4 \right) \]
Lösung zu (b) anzeigen

Der Ausgang ist wie in (a) ebenfalls die Definition des magnetischen Dipolmoments einer Stromschleife: 12 \[ \mu = A \, I \]

Wie in der Gleichung 4 wird hier die Fläche \(A = \pi \, r^2 \) und der Strom \( I = Q/T\) ersetzt. Der Unterschied ist jetzt aber, dass aufgrund eines unendlich dünnen Hohlzylinders, es jetzt nur Stromschleifen mit dem Radius \(r\) gibt: 13 \[ \mu = \pi r^2 \, \frac{Q}{T} \]

Analog zur Gleichung 5 wird die Periodendauer ersetzt: 14 \[ \mu = \pi r^2 \, \frac{\omega}{2\pi} \, Q \]

Nun wird die Ladung \(Q\) mithilfe der gegebenen Flächenladungsdichte (Ladung pro Fläche) und der Fläche des Zylinders (Umfang MAL Höhe) ausgedrückt: 15 \[ \mu = \frac{\omega}{2} \, r^2 \, \lambda \, 2\pi \, r \, L \]

Damit ergibt sich das magnetische Dipolmoment eines rotierenden, unendlich dünnen, geladenen Hohlzylinders:

16 \[ \mu = \pi \, \omega \, \lambda \, L \, r^3 \]
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