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Alexander Fufaev

Geladener Hohlzylinder: E-Feld innerhalb & außerhalb

aus dem Bereich: Quests
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Deine Aufgabe ist...

Ein unendlich langer Hohlzylinder mit Radius R ist homogen mit einer Oberflächenladungsdichte σ geladen.

  1. Bestimme das E-Feld \(\vec{E}\) innerhalb des Hohlzylinders
  2. Bestimme das E-Feld \(\vec{E}\) außerhalb des Hohlzylinders
Lösungshinweise

Benutze das Gaußsche Gesetz in folgender Form: \[ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r})~\cdot~\text{d}\vec{A} ~=~ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_0}\]

Lösung für (a)

Das Gaußsche Gesetz - angewandt auf Elektrostatik - besagt, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche \( \mathcal{A} \) der eingeschlossenen Ladung \( Q_{\text{eing}} \) proportional ist: 1 \[ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r})~\cdot~\text{d}\vec{A} ~=~ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_0} \]

Wenn Du einen gedachten Gauß-Zylinder (mit Radius s und Höhe h) innerhalb des Hohlzylinders platzierst, wirst Du feststellen, dass die vom Gauß-Zylinder eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{eing}} = 0 \) ist, denn der eigentliche Zylinder ist innen hohl. Seine Ladung sitzt nur auf seiner Oberfläche. Wegen \( Q_{\text{eing}} = 0 \), folgt unter der Voraussetzung, dass die Gauß-Oberfläche nicht Null ist: 2 \[ \oint_{\mathcal{A}} \vec{E}(\vec{r}) ~\cdot~ \text{d}\vec{A} ~=~ 0 ~\Leftrightarrow~ \vec{E} = 0 \]

E-Feld innerhalb vom Hohlzylinder
Zylinder ist unendlich lang und homogen geladen.
3 \[ \vec{E} ~=~ 0 \]
Lösung für (b)

Um das E-Feld außerhalb des Hohlzylinders zu bestimmen, platzierst Du einen gedachten Gauß-Zylinder (mit Radius \( s \) und Höhe \( h \)), der den Hohlzylinder in seinem Umfang umschließt.

Wie bei Teilaufgabe (a) nutzt Du das Gaußsche Gesetz aus: 4 \[ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E}(\vec{r}) ~\cdot~ \text{d}\vec{A} ~=~ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_0} \]

Sowohl das E-Feld \( \vec{E}(\vec{r}) = E\vec{e}_{r_{\perp}} \) als auch das infinitesimale Flächenelement \( \text{d}\vec{A} = \text{d}A \, \vec{e}_{r_{\perp}} \) zeigen (in Kugelkoordinaten) beide radial nach außen, weshalb das Skalarprodukt ihrer Einheitsvektoren \( \vec{e}_{r_{\perp}}\cdot\vec{e}_{r_{\perp}} = \) ergibt. Du hast also: 5 \[ \oint_{\mathcal{A}}E(\vec{r}) ~ \text{d}A ~=~ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_0} \]

Das elektrische Feld ist aufgrund der zylindrischen Symmetrie, unabhängig von z und φ, weshalb es an jedem Punkt der Mantelfläche des Gauß-Zylinders konstant ist. Die Deckel- und Bodenflächen müssen nicht berücksichtigt werden, da deren Normalenvektoren senkrecht zur Richtung des E-Feldes stehen und deshalb herausfallen. Du darfst den Betrag des E-Feldes herausziehen: 6 \[ E \oint_{\mathcal{A}} \, \text{d}A ~=~ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_0} \]

Das Flächenintegral entspricht der Fläche Deines Gauß-Zylinders (einfache Formel für Zylindermantelfläche): 7 \[ E \, 2\pi \, s \, h ~=~ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_0} \]

Die eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{eing}} \) muss noch verarztet werden, da sie Dir nicht bekannt ist. Dafür kennst Du aber (nach der Aufgabenstellung) die Oberflächenladungsdichte \( \sigma \) - allgemein ist sie als Ladung pro Fläche definiert. Die Ladung ist dabei die vom Gauß-Zylinder eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{eing}} \). Diese Ladung des Hohlzylinders sitzt komplett auf seiner Mantelfläche. Die Mantelfläche \( A_{\text M} \) eines Zylinders ist: \( A_{\text M} ~=~ 2\pi \, r \, h \). Stelle die Oberflächenladungsdichte nach der Ladung um und setze sie ein: 8 \[ E \, 2\pi \, s \, h ~=~ \frac{1}{\varepsilon_0} \, \sigma \, 2\pi \, R \, h \]

Forme jetzt nur noch nach der Feldstärke \( E \) um und berücksichtige die radiale Richtung des E-Feldes:

E-Feld außerhalb vom Hohlzylinder
Zylinder ist unendlich lang und homogen geladen.
9 \[ \vec{E}(s) ~=~ \frac{\sigma\,R}{\varepsilon_0} \, \frac{1}{s} \, \vec{e}_{r_{\perp}} \]
  • σ: Oberflächenladungsdichte
  • ε0: Feldkonstante 8.854*10-12\(\frac{As}{Vm}\)
  • s: Abstand vom Hohlzylinder (außerhalb)
  • \( \vec{e}_{r_{\perp}} \):Einheitsvektor senkrecht auf der Zylinderachse
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