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Alexander Fufaev

Geladene Hohlkugel: E-Feld innerhalb & außerhalb

aus dem Bereich: Quests
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Deine Aufgabe ist...

Homogen geladene Kugel Speichern | Info
Homogen geladene Kugel.

Eine homogen geladene Hohlkugel mit der Ladung Q hat den Radius R.

  1. Bestimme das E-Feld außerhalb der Hohlkugel
  2. Bestimme das E-Feld innerhalb der Hohlkugel
Lösungstipps

Benutze den Gaußschen Integralsatz in Kombination mit der Maxwell-Gleichung aus der Elektrostatik für das elektrische Feld: \[ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Lösung zu (a)
Gaußsche Schachtel Speichern | Info
Gaußsche Kugel, welche die Hohlkugel umschließt.

Da es sich um ein sphärisches Problem handelt, führt das Gaußsche Gesetz zur schnellsten Bestimmung des E-Feldes.

Um das elektrische Feld außerhalb zu bestmmen, legst Du eine Gaußsche Kugel an, die die Hohlkugel umschließt. Der gegebene Radius der Hohlkugel \( R \) ist in diesem Fall also kleiner als der Radius der Gaußschen Kugel, den wir mit \( r \) bezeichnen: \( r \gt R\).

Benutze den Gaußschen Satz in Kombination mit der Maxwell-Gleichung aus der Elektrostatik für die Divergenz des E-Feldes (Wie kommt man drau?): 1 \[ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Die von der Gaußschen Kugel eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{eing}} \) entspricht genau der Gesamtladung der Hohlkugel \( Q \): 2 \[ \frac{Q}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Jetzt musst Du noch das Oberflächenintegral auf der rechten Seite verarzten! Für dieses sphärische Problem nutzt Du die Kugelkoordinanten \((r,\theta, \varphi)\). Damit lässt sich das elektrische Feld in die jeweiligen Anteile in Kugelkoordinanten zerlegen: 3.1 \[ \vec{E} ~=~ E(r)\,\vec{e}_{\text r} + E(\theta)\,\vec{e}_{\theta} + E(\varphi)\,\vec{e}_{\varphi} \]

Die Ladungsverteilung auf der Hohlkugel ist homogen verteilt, d.h. das E-Feld ist an jedem Punkt der Kugel (im Abstand \( r \)) gleich. Sein Betrag ist also unabhängig davon, ob Du Dich ein Stückchen in Richtung \(\vec{e}_\theta\) oder \(\vec{e}_\varphi\) bewegst. Diese beiden Anteile fallen weg und das E-Feld zeigt nur in radiale Richtung: 3.2 \[ \vec{E} ~=~ E(r)\,\vec{e}_{\text r} \]

Das infinitesimale Flächenelement der Gauß-Kugel (im Abstand \(r \)) lautet in Kugelkoordinaten: 3.3 \[ \text{d}\vec{A} ~=~ r^2 \, \sin(\theta) \, \text{d}\theta \, \text{d} \, \varphi \, \vec{e}_{\text r} \]

Wie Du am Flächenelement 3.3 siehst: Du musst nicht über \( r \) integrieren, weil Du ja über die Oberfläche der Gaußschen Kugel integrieren musst. Der Betrag des elektrischen Feldes \( E(r) \), welcher in Abhängigkeit von \( r \) ist, kann also als eine Konstante angesehen werden, die deshalb vor das Integral gezogen werden kann.

Setze nun das E-Feld 3.2 und das Flächenelement 3.3 in 2 ein. Dabei ergibt das Skalarproukt zwischen dem Einheitsvektor vom Flächenelement in 3.3 und dem Einheitsvektor vom E-Feld in 3.2: \( \vec{e}_{\text r} \cdot \vec{e}_{\text r} = 1 \). Du hast also: 4 \[ \frac{Q}{\varepsilon_{0}} ~=~ E(r) \, r^2 \int^{2\pi}_{0} \text{d}\varphi \int^{\pi}_{0} \sin(\theta) \, \text{d}\theta \, \]

Das innere Integral auf der rechten Seite von 4 ergibt \( 2 \) und das äußere Integral ergibt \( 2\pi \). Beide zusammen ergeben also \( 4\pi \). Zusammen mit \( r^2 \) entspricht es genau der Oberfläche der Kugel mit Radius \( r \) (also genau die Oberfläche der Gaußschen Kugel): 5 \[ \frac{Q}{\varepsilon_{0}} ~=~ E(r) \, 4\pi \, r^2 \]

Elektrisches Feld (innen / außen) - Hohlkugel Speichern | Info
Elektrisches Feld innerhalb und außerhalb einer Hohlkugel mit dem Radius \(R\).

Forme 5 nach dem Betrag des E-Feldes \(E(r)\). Und schreib den als Vektorfeld, indem Du einfach den radialen Einheitsvektor \(\vec{e}_{\text r} \) an das Ergebnis anfügst (wie in 3.2):

E-Feld außerhalb einer Hohlkugel 5 \[ \vec{E}(r) ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_{0}} \, \frac{Q}{r^2} \, \vec{e}_{\text r} \]

Das E-Feld außerhalb einer Hohlkugel fällt mit \( 1/r^2 \) ab; wie bei einer im Mittelpunkt konzentrierten Punktladung oder wie das E-Feld (außerhalb) einer Vollkugel.

Lösung zu (b)

Lege wie in (a) eine gedachte Gauß-Kugel mit Radius \( r \) an, die jetzt aber nicht die Hohlkugel umschließt, sondern in der Hohlkugel drin ist! Es gilt also: \( r \lt R \).

Benutze den Hinweis für die Quest: 6 \[ \frac{Q_{\text{eing}}}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Eine Gauß-Kugel, die sich in einer geladenen Hohlkugel befindet, schließt keine Ladung ein, weil die Kugel ja hohl ist: \( Q_{\text{eing}} = 0 \). Das heißt 6 wird zu: 7 \[ 0 ~=~ \oint_{\mathcal{A}}\vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]

Elektrisches Feld (innen / außen) - Hohlkugel Speichern | Info
Elektrisches Feld innerhalb und außerhalb einer Hohlkugel mit dem Radius \(R\).

Das Integral auf der rechten Seite von 7 muss also Null ergeben. Da die Oberfläche der Gauß-Kugel offensichtlich nicht Null sein kann, muss das elektrische Feld \( \vec{E} \) Null sein!

E-Feld innerhalb der Hohlkugel 8 \[ \vec{E}(r) ~=~ 0 \]

Jetzt weißt Du auch warum Du in einem Faradayschen Käfig (z.B. in Form einer Hohlkugel) sicher bist!

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