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Alexander Fufaev

H-Atom: Quantenzahlen & Anzahl der Orbitale

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Deine Aufgabe ist...

Das Elektron des Hydrogenium-Atoms (Wasserstoffatom) kann nicht eine beliebige Bindungsenergie haben, sondern kann nur diskrete Energien \( E \) annehmen, die durch die Hauptquantenzahl \( n \) charakterisiert sind. Die einzelnen Energiezustände des Elektrons werden insbesondere in der Chemie mit Buchstaben K, L, M, N etc. bezeichnet.

  1. Welche Energie hat das Elektron in der K-, L- und M-Schale?
  2. Wieviele Orbitale \( N \) besitzt das H-Atom, wenn die Energie des Elektrons \( E \lt -0.5 \,\text{eV} \) ist?
  3. Zähle alle möglichen Orbitale auf, indem Du ihren \( (n, l, m_{\text l}) \)-Zustand angibst. Wieviele Orbitale davon haben die Nebenquantenzahl \( l=2 \)?
  4. Welche Energie muss das Elektron besitzen, damit das H-Atom mindestens 200 Orbitale aber maximal 300 Orbitale besitzt?
Allgemeine Lösungstipps

Benutze die Rydberg-Formel, um die einzelnen Energiezustände für die jeweiligen Schalen zu bestimmen: \[ E = -E_{\text R} \, \frac{1}{n^2} \] hierbei ist \( E_{\text R} = 13.6 \, \text{eV} \) der Energiebetrag des Grundzustands \( n = 1 \), also der Betrag der tiefsten Energie, die das Elektron im H-Atom annehmen kann.

Das Schalenmodell ist eine Vereinfachung des Orbitalmodells. Die Schale K steht für \( n = 1 \). Die Schale L steht für \( n = 2 \). Die Schale M steht für \( n = 3 \).

Zu (b): Anzahl der Orbitale \( N \) pro Hauptquantenzahl \( n \) ist gegeben durch \( n^2 \).

Zu (c): Die Nebenquantenzahl \( l \) hat die Einschränkung: \( l \lt n \) und startet mit \(l=0\). Die magnetische Quantenzahl \( m_{\text l} \) kann die Werte \( -l \leq m_{\text l} \leq l \) annehmen.

Lösung zu (a) anzeigen

Die Energie des Elektrons ist gegeben durch die Rydberg-Formel: 1 \[ E = -E_{\text R} \, \frac{1}{n^2} \] mit der Rydberg-Energie \( E_{\text R} = 13.6 \, \text{eV} \), die den Energiebetrag des Grundzustands \( n = 1 \) im H-Atom angibt. Das Minuszeichen in 1 sagt aus, dass das Elektron im H-Atom gebunden ist. Das heißt: Die Energie muss aufgewendet werden, um das H-Atom zu ionisieren (das Elektron vom H-Atom zu entfernen).

Mithilfe von 1 kannst Du die Energie des Elektrons in der K-Schale (\( n = 1 \)) bestimmen: 2 \[ E = -E_{\text R} \cdot \frac{1}{1^2} = -13.6 \, \text{eV} \]

Energie des Elektrons in der L-Schale (\( n = 2 \)): 3 \[ E = -E_{\text R} \cdot \frac{1}{2^2} = -3.4 \, \text{eV} \]

Energie des Elektrons in der M-Schale (\( n = 3 \)): 4 \[ E = -E_{\text R} \cdot \frac{1}{3^2} = -1.51 \, \text{eV} \]

Lösung zu (b) anzeigen

Die Anzahl \( N_{n} \) der Orbitale für ein Energieniveau \( n \) ist gegeben durch die Hauptquantenzahl zum Quadrat und steckt sozusagen in der Rydberg-Formel 1: 5 \[ N_{n} = n^2 \]

Die Hauptquantenzahl \( n \) ist, wenn Du die Rydberg-Formel 1 anschaust, größer, je größer der Energiebetrag des Elektrons ist. Damit ist nach 5 auch die Anzahl der Orbitale größer. Nach der Aufgabe ist die Energie mit \( E \lt -0.5 \, \text{eV} \) vorgegeben. Die Energie ist also kleiner als \( -0.5 \, \text{eV} \). "Kleiner als" bedeutet, dass Du statt dem Gleichheitszeichen das Kleiner-Zeichen benutzen musst. Mit 1 hast Du also die Bedingung: 6 \[ E ~\lt~ -0.5 \, \text{eV} \] 7 \[ - E_{\text R} \, \frac{1}{n^2} ~\lt~ -0.5 \, \text{eV} \] 8 \[ \sqrt{\frac{13.6 \, \text{eV}}{0.5 \, \text{eV}}} ~\gt~ n \]

Beachte, dass das Kleiner-Zeichen sich umgedreht hat, weil beide Seiten mit "-" multipliziert wurden. 9 \[ 5.2 ~\gt~ n \]

Damit ist die größte Hauptquantenzahl nach 9 \( n = 5 \) (bedenke, dass soetwas wie \( n=5.2\) NICHT gibt). Daraus bestimmst Du mithilfe von 5 die Orbitalanzahl. Dabei summierst Du die Anzahl von 1 bis 5: 10 \[ N = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55 \]

Die Summe der Quadrate \( n^2 \) wie in 10, die Dir die Anzahl der Orbitale verrät, kannst Du allgemein folgenermaßen berechnen: 11 \[ N = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Lösung zu (c) anzeigen

Nachdem die Anzahl der Orbitale in (b) bestimmt wurde, kannst Du auch Dich fragen, welche genauen Zustände (also Quantenzahlen) haben diese 55 Orbitale? Ein Orbital wird durch die drei Quantenzahlen bestimmt:

  • Hauptquantenzahl \( n \), wobei sie nur ganze Zahlen annehmen kann \(n = 1,2,3... \).
  • Nebenquantenzahl \( l \), wobei sie stets kleiner als die Hauptquantenzahl ist. Und die maximale Hauptquantenzahl ist: \( l = n-1 \). Wie jede andere Quantenzahl kann sie ebenfalls nur ganze Zahlen annehmen. Sie kann im Gegensatz zu \( n \) den Wert \( l = 0 \) haben.
  • Magnetische Quantenzahl \( m_{\text l} \), wobei sie zwischen minimaler Nebenquantenzahl \(-l \) und maximaler Nebenquantenzahl \(l\) liegt \( -l \leq m_{\text l} \leq l \).

Um die konkreten Orbitale zu bestimmen, musst Du den Zahlentripel \( (n,l,m_{\text l})\) angeben und zwar in diesem Fall 55 Zahlentripel, wegen 55 möglichen Orbitalen. In (b) hast Du die maximale Hauptquantenzahl \( n = 5 \) für die Energie \( E \lt -0.5 \, \text{eV} \) bestimmt. Damit ist die maximale Nebenquantenzahl, \( l = n-1 = 5-1 = 4 \).

Die magnetische Quantenzahl kann für \( l = 4 \) nur folgende Werte annehmen: 12 \[ -4 \leq m_{\text l} \leq 4 ~~~\Leftrightarrow~~~ m_{\text l} = \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\} \]

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 3 \) dagegen: 13 \[ -3 \leq m_{\text l} \leq 3 ~~~\Leftrightarrow~~~ m_{\text l} = \{-3,-2,-1,0,1,2,3 \} \]

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 2 \): 14 \[ -2 \leq m_{\text l} \leq 2 ~~~\Leftrightarrow~~~ m_{\text l} = \{-2,-1,0,1,2 \} \]

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 1 \): 15 \[ -1 \leq m_{\text l} \leq 1 ~~~\Leftrightarrow~~~ m_{\text l} = \{-1,0,1 \} \]

Die magnetische Quantenzahl für \( l = 0 \): 16 \[ 0 \leq m_{\text l} \leq 0 ~~~\Leftrightarrow~~~ m_{\text l} = \{ 0 \} \]

Wenn Du alle Möglichkeiten, unter Beachtung der obigen Bedingungen für die Quantenzahlen durchgehst, dann bekommst Du genau 55 Orbitale. Starte also bei \( n = 1 \) und gehe die Bedingungen durch. Dann gehe zu \( n = 2 \) über und gehe die Bedingungen durch. Und so weiter:

Hauptquantenzahl \( n\) Nebenquantenzahl \(l\) Orbital \( (n,l,m_{\text l})\)
10(1,0,0)
20(2,0,0)
21(2,1,-1)
21(2,1,0)
21(2,1,1)
30(3,0,0)
31(3,1,-1)
31(3,1,0)
31(3,2,1)
32(3,2,-2)
32(3,2,-1)
32(3,2,0)
32(3,2,1)
32(3,2,2)
40(4,0,0)
41(4,1,-1)
41(4,1,0)
41(4,1,1)
42(4,2,-2)
42(4,2,-1)
42(4,2,0)
42(4,2,1)
42(4,2,2)
43(4,3,-3)
43(4,3,-2)
43(4,3,-1)
43(4,3,0)
43(4,3,1)
43(4,3,2)
43(4,3,3)
50(5,0,0)
51(5,1,-1)
51(5,1,0)
51(5,1,1)
52(5,2,-2)
52(5,2,-1)
52(5,2,0)
52(5,2,1)
52(5,2,2)
53(5,3,-3)
53(5,3,-2)
53(5,3,-1)
53(5,3,0)
53(5,3,1)
53(5,3,2)
53(5,3,3)
54(5,4,-4)
54(5,4,-3)
54(5,4,-2)
54(5,4,-1)
54(5,4,0)
54(5,4,1)
54(5,4,2)
54(5,4,3)
54(5,4,4)

Die zweite Frage war, wie viele Orbitale die Nebenquantenzahl \( l =2 \) besitzen. Das kannst Du leicht an der Tabelle abzählen. Dabei können die Energien mit \( n=1\) und \(n=2\) natürlich keinen Zustand mit Nebenquantenzahl \( l=2\) haben, weil sie sonst die Bedingung \( l \lt n \) nicht erfüllen würden. Es kommen also nur die Hauptquantenzahlen größer als 2 in Frage. In unserem Fall \( n = 3,4,5\) (insgesamt 3 Hauptquantenzahlen).

Jeder Energiezustand mit \( n \gt 2 \) enthält genau fünf \(l=2\) Zustände, z.B. für \( n = 3 \) sind es (3,2,-2), (3,2,-1), (3,2,0), (3,2,1) und (3,2,2). Die Gesamtzahl der Orbitale mit \( l = 2 \) ist also: 17 \[ \text{Anzahl der Hauptquantenzahlen > zwei} \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15 \]

Oder alternativ kannst Du die Anzahl \( N(l) \) der Orbitale mit beliebigem \( l \) folgendermaßen berechnen: 18 \[ N(l) = (n_{\text{max}}-l) \cdot (2l + 1) \] natürlich muss dabei stets die Bedingung \( n \gt l \) erfüllt sein.

Lösung zu (d) anzeigen

Gesucht ist die Energie \( E \), bei der die minimale Orbitalanzahl \( N_{\text{min}} = 200 \) und die maximale Orbitalanzahl \( N_{\text{max}} = 300 \) beträgt. Die Energie \( E \) muss also in einem bestimmten Energiebereich liegen, damit diese beiden Bedingungen erfüllt sind. Dazu brauchst Du die Formel 11 aus Teilaufgabe (b), die Dir allgemein die Anzahl der Orbitale im H-Atom angibt: 19 \[ N = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Gesucht ist die Hauptquantenzahl \( n \), damit Du daraus dann mit der Rydberg-Formel die Mindesenergie bestimmen kannst. Stelle dazu die Gleichung 19 so um, dass die Gleichung die folgende Form hat: 20 \[ 0 = 2n^3 + 3n^2 + n - 6N \]

Wie Du an 20 siehst, kannst Du nicht einfach nach \( n \) auflösen, weil es eine Gleichung 3. Grades ist. Benutze dazu Deinen Taschenrechner oder Internet, mit dem Du die Nullstellen (also die Lösungen) herausfinden kannst. Du bekommst dann die folgende reelle Lösung, wenn Du \( N = 200 \) einsetzt: 21 \[ n = 7.944 \]

Und, wenn Du \( N = 300 \) einsetzt, dann bekommst Du als Lösung: 22 \[ n = 9.164 \]

Das heißt: Das H-Atom besitzt zwischen 200 und 300 Orbitale genau dann, wenn die Hauptquantenzahl zwischen \( 7.944 \) und \( 9.164 \) liegt. Da sie aber ganzzahlig sein muss, ist sie dann entweder \( 8 \) oder \( 9 \).

Um die Mindest- und Maximalenergie zu berechnen, setze einfach in die Rydberg-Formel die beiden Quantenzahlen ein: 23 \[ E_{\text{min}} = -13.6 \, \text{eV} \cdot \frac{1}{8^2} = -0.2125 \, \text{eV} \] 23 \[ E_{\text{max}} = -13.6 \, \text{eV} \cdot \frac{1}{9^2} = -0.1679 \, \text{eV} \]

Das heißt: Damit mindestens 200 Orbitale besetzt sind, muss die Energie \( E \) des Elektrons größer als \( - 0.2125 \, \text{eV} \) sein. Es dürfen aber auch nicht mehr als 300 Orbitale existieren, also die Energie kleiner als \( - 0.1679 \, \text{eV} \) sein. Insgesamt: 24 \[ - 0.2125 \, \text{eV} ~\leq~ E ~\leq~ - 0.1679 \, \text{eV} \]

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