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Massenmittelpunkt

Massenmittelpunkt: Formel

\[ \sum_{i=1}^{n}\frac{r_{i}*m_{i}}{m_{ges}} = \frac{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+...+r_{n}m_{n}}{m_{ges}} \]

  • \( r_{i} \): Ortsvektor von der \(i\)-ten Masse in \(m\)
  • \( m_{i} \): \(i\)-te Masse in \(kg \)

Du lernst hier den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) eines Objekts (nicht den geometrischen Schwerpunkt einer masselosen Figur). Wobei: Der geometrische Schwerpunkt stimmt mit dem Massenmittelpunkt genau dann überein, wenn die Massenverteilung des Objekts gleichmäßig ist; sprich: Massendichte ist konstant.

Stelle Dir mal einen auf der Erde senkrecht geworfenen Hammer vor. Er bewegt sich unter dem Einfluss der Gravitation und rotiert noch nebenbei. Wenn Du dir jetzt einen Punkt des Hammers herausgreifst und seine Bahnkurve anschaust, wirst Du feststellen, dass die Bahnkurve nicht einer Parabel eines schiefen Wurfs entspricht; wie man es normalerweise aus der Schule kennt, wenn man Gegenstände auf der Erde nach vorne wirft. In der Schule hattest Du es mit der Punktmechanik zu tun. Dort wurden Gegenstände als Massenpunkte betrachtet, und nicht als ausgedehnte Objekte. Und jetzt betrachten wir einen ausgedehnten Körper, nämlich einen Hammer, dessen Punkte nicht eine Bewegung entlang einer Parabel ausführen; weil die betrachteten Punkte noch zusätzlich eine Rotationsbewegung erfahren. Es gibt jedoch einen ganz besonderen Punkt des Hammers, der nicht rotiert - nämlich der Schwerpunkt. Man kann sagen, dass der Hammer um seinen eigenen Schwerpunkt rotiert, das Drehmoment ist dort - Null, wobei der Schwerpunkt selbst, als ein Punkt interpretiert wird, in dem die gesamte Masse des Hammers steckt! Anders gesagt: greifst Du am Massenmittelpunkt mit einer äußeren Kraft an, bleibt das Objekt rotationsfrei. Nimm z.B. ein Lineal und lege es auf deinen Zeigefinger, so, dass das Lineal im Gleichgewicht ist. Sprich: du unterstützt das Lineal im Schwerpunkt, sodass die Schwerkraft kompensiert wird. Mit deinem anderen Finger hebst du jetzt die eine Seite des Lineals an. Diese Kraft, die du verursacht hast, hatte eine kleine Drehung des Lineals zur Folge. Machst Du nun das Gleiche mit der Stelle, in der Mitte des Lineals, wo du es mit deinem anderen Finger im Gleichgewicht hältst, wirst Du feststellen, dass Du es zwar nach oben anhebst, verursachst damit aber keine Drehung. Und das ist eine besondere Eigenschaft des Schwerpunkts. Das Drehmoment ist dort Null und die Bewegung des Objekts kann mittels der Punktmechanik beschrieben werden.

Schau Dir z.B. Erde und Mond an. Der Mond rotiert in Wirklichkeit nicht um den Erdmittelpunkt, sondern der Mond und die Erde rotieren um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Dort, wo der Schwerpunkt ist, ist die Masse sozusagen um den Punkt herum ausgeglichen verteilt.

Schwerpunkt experimentell bestimmen

Bei alltäglichen Objekten (Kaffeetasse, Hufeisen, Wasserkocher oder oder oder), die du leicht aufhängen kannst, bestimmst du den Schwerpunkt folgendermaßen: Du hängst ein "aufhängbares" Objekt, z.B. ein Hufeisen, an einem Faden. Der Schwerpunkt befindet sich irgendwo auf der Schwerelinie. Die Frage ist nur wo? Dazu hängst Du das das Objekt an einem anderen beliebigen Punkt auf und siehe da: Du hast einen Schnittpunkt beider Schwerelinien gefunden. Und genau dieser Schnittpunkt ist der gesuchte Schwerpunkt. Am Hufeisen erkennst Du sogar, dass der Schwerpunkt nicht unbedingt im Objekt selbst liegen muss, sondern auch außerhalb liegen kann; je nach Form und Massenverteilung des Objekts. Wobei, wenn die Massenverteilung homogen ist, dann hängt die Lage des Schwerpunkts nur von der geometrische Form des Objekts ab. Bei symmetrischen Objekten mit homogener Massenverteilung liegt der Schwerpunkt immer auf den Symmetrieachsen. Selbst bei Objekten, die auf den ersten Blick etwas komplizierter erscheinen, kannst du es in Teilobjekte zerlegen, deren Schwerpunkte dir bekannt sind, um daraus dann den gemeinsamen Schwerpunkt zu berechnen.

Bei etwas länglichen Objekten, z.B. bei einem Kugelschreiber, kannst du folgendermaßen vorgehen, um den Schwerpunkt zu berechnen: Du legst den Kugelschreiber auf deine beiden Zeigefinger, und zwar so, dass sie sich an den Rändern des Kugelschreibers befinden. Jetzt rückst du die Finger langsam zusammen, bis sie sich berühren. Wo sie sich dann am Ende treffen, da ist dann ungefähr der Schwerpunkt. Versuch' das mal mit einem leicht ungleichmäßig schweren Stift. Mal gucken, ob dir dabei eine merkwürdige Sache auffällt...

Schwerpunkt theoretisch berechnen

Dazu platzierst Du deine betrachteten Objekte erstmal in ein Koordinatensystem und multiplizierst jeden Ort \(\overrightarrow{r}\) des Objekts mit der jeweiligen Masse \(m\) dort. Am Ort \(\overrightarrow{r_{1}}\) ist die Masse \(m_{1}\). Also \(\overrightarrow{r_{1}}*m1\). Am Ort \(\overrightarrow{r_{2}}\), ist die Masse \(m_{2}\). Also \(\overrightarrow{r_{2}}*m2\). Und so weiter... Damit hast du den jeweiligen Orten eine Gewichtung zugewiesen! Jetzt betrachtest Du den Mittelwert davon: Alle gewichteten Orte addieren und durch die Gesamtmasse \(m_{ges}=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}\) teilen. Die Einheit der Masse \(kg\) kürzt sich am Ende weg und Du erhälst den Ort, an dem sich der Schwerpunkt befindet. Allgemein kannst Du schreiben: \( \sum_{i=1}^{n}\frac{r_{i}*m_{i}}{m_{ges}} = \frac{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+...+r_{n}m_{n}}{m_{ges}} \)

Beispiel: Berechnung des Schwerpunkts

Du möchtest den Schwerpunkt von 4 Kugeln mit homogener Massenverteilung berechnen. Sie haben folgende Massen: \( 0,5kg, 1kg, 1kg, 2kg \). Du legst erstmal ein beliebiges Koordinatensystem an und bestimmst, durch das Ablesen, die Ortsvektoren der Schwerpunkte der vier Kugeln: \( r_{1}=\left(0,0,1\right)m, r_{2}=\left(0,1,0\right)m, r_{3}=\left(1,0,0\right)m, r_{4}=\left(-1,0,0\right)m \). Aufgrund der Symmetrie massen-homogener Kugel, liegen ihre Schwerpunkte genau im Zentrum. Um den gemeinsamen Schwerpunkt der Kugeln zu berechnen, gewichtest du die jeweiligen Ortsvektoren mit den Massen der Kugeln und dividierst durch die Gesamtmasse \( m_{ges}=0,5kg+1kg+1kg+2kg = 4,5kg \). Also befindet sich der gemeinsame Schwerpunkt ungefähr am folgenden Ort: \( \frac{ \left(0,0,1\right)m*0,5kg+\left(0,1,0\right)m*1kg+\left(1,0,0\right)m*1kg+ \left(-1,0,0\right)m*2kg }{4,5kg} \approx \left(-0,2;0,2;0,1\right)m \). Das funktioniert nicht nur mit 4 Kugeln, sondern mit sehr vielen Teilchen oder mit einer ganzen Galaxie!

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