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Nabla-Operator

Was ist Nabla-Operator?

Nabla-Operator (oder einfach Nabla genannt) - ist ein Vektoroperator, mit dem vektorielle Ableitungen wie Gradient, Divergenz oder Rotation gebildet werden können. Andere Notation: \(\vec{\nabla}\).

Nabla-Operator ähnelt einem Vektor und sieht im dreidimensionalen Fall so aus: = \( (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) \)

Wie Du siehst, die Komponenten des Nabla-'Vektors' sind partielle Ableitungen nach x, y oder z. Die Komponenten von Nabla sind sogenannte Differential-Operatoren und sagen Dir: Du musst eine Funktion nach der jeweiligen Variablen (die im "Nenner" steht) ableiten.

Partielles Ableiten ist wie ein ganz normales Ableiten, nur dass Du Variablen nach denen Du NICHT ableitest, wie Konstanten ansiehst. Leitest Du beispielsweise partiell nach x ab, dann sind y und z Konstanten.

3 Möglichkeiten der Anwedung

Nabla kann sowohl auf Vektorfunktionen \( \vec{F} \)(x,y,z) = \( \left(\begin{array}{c}F_{1}(x,y,z)\\ F_{2}(x,y,z)\\F_{3}(x,y,z)\end{array}\right) \) als auch auf skalare Funktionen angewendet werden: f(x,y,z)

Einen gewöhnlichen Vektor kannst Du mit einer Zahl multiplizieren (Skalarmultiplikation), Du kannst aber auch Skalarprodukt und Kreuzprodukt mit einem weiteren Vektor bilden. Diese 3 Operationen sind auch bei Nabla-'Vektor' erlaubt!

1. Nabla als Skalarmultiplikation

Dazu brauchst Du eine skalare Funktion f(x,y,z) (das ist kein Zeilenvektor, sondern f in Abhängigkeit von x,y,z). Diese leitest Du nach den jeweiligen Variablen x,y und z ab und schreibst diese Ableitungen als Komponenten eines Vektors. Du kannst Dir f als ein Skalar (als eine Zahl) vorstellen, mit dem Du den Vektor \(\vec{\nabla}\) multiplizierst:

\(\vec{\nabla}\)f

Nabla macht bei dieser Operation aus einer skalaren Funktion f, eine Vektorfunktion. Was zuerst ein reines Zahlenergebnis war (wenn Du für Variablen irgendwelche Zahlen einsetzt) ist nach der Nabla-Anwendung - ein Vektor!

Skalarmultiplikation einer Funktion f mit Nabla wird Gradient genannt.

2. Nabla als Skalarprodukt

Dieses Mal brauchst Du eine Vektorfunktion \(\vec{F}\)(x,y,z). In diesem Fall kannst Du Dir vorstellen, als würdest Du das Skalarprodukt bilden:

\( \vec{\nabla} \cdot \vec{F} \)

Nabla macht hier aus einer Vektorfunktion \(\vec{F}\) eine skalare Funktion. Also genau das Umgekehrte wie beim Gradient.

Skalarprodukt von einer Vektorfunktion \(\vec{F}\) mit Nabla wird Divergenz genannt.

3. Nabla als Kreuzprodukt

Auch dieses Mal brauchst Du eine Vektorfunktion \(\vec{F}\)(x,y,z). Jetzt kannst Du Dir vorstellen, als würdest Du das Kreuzprodukt bilden:

\( \vec{\nabla} \times \vec{F} \)

Nabla belässt hier die Vektorfunktion \(\vec{F}\) als Vektorfunktion.

Kreuzprodukt von einer Vektorfunktion \(\vec{F}\) mit Nabla wird Rotation genannt.

9 Rechenregeln mit Nabla

Nabla kann ausmulzipliert werden:

  1. (f+g) = f+g
  2. · (\( \vec{F}+\vec{R} \)) = (·\( \vec{F} \))+(·\( \vec{R} \))
  3. × (\( \vec{F}+\vec{R} \)) = (×\( \vec{F} \))+(×\( \vec{R} \))

Außerdem gelten folgende 6 Produktregeln:

  1. (fg) = fg+gf
  2. (\( \vec{F} \cdot \vec{R} \)) = \(\vec{F}\) × (×\(\vec{R}\)) + \(\vec{R}\) × (×\(\vec{F}\)) + (\(\vec{R}\)·)\(\vec{F}\) + (\(\vec{F}\)·)\(\vec{R}\)
  3. (f\(\vec{F}\)) = f(·\(\vec{F}\)) + \(\vec{F}\)·(f)
  4. ·(\(\vec{F}\)×\(\vec{R}\)) = \(\vec{R}\)·(×\(\vec{F}\)) - \(\vec{F}\)·(×\(\vec{R}\))
  5. ×(f\(\vec{F}\)) = f(×\(\vec{F}\)) - \(\vec{F}\)×(f)
  6. ×(\(\vec{F}\)×\(\vec{R}\)) = (\(\vec{R}\)·)\(\vec{F}\) - (\(\vec{F}\)·)\(\vec{R}\) + \(\vec{F}\)(·\(\vec{R}\))-\(\vec{R}\)(·\(\vec{F}\))
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