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Millikan-Versuch

Was ist der Millikan-Versuch?

Millikan-Versuch (oder Öltröpfchenversuch) - ist ein Experiment zur Bestimmung der Elementarladung e, bei dem Du in einem Plattenkondensator Öltröpfchen fallen und steigen lässt.

Formel: Ladung vom Öltröpfchen

mittels Gleichfeldmethode:
\[ q ~=~ \frac{9\pi \, d}{2U} \, \sqrt{ \frac{\eta^3 \left( v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{g\left( \rho_{Ö} ~-~ \rho_{L} \right)} } \, \left( v_{\downarrow} ~+~ v_{\uparrow} \right) \]
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  • d: Abstand der Kondensatorplatten
  • U: Spannung am Plattenkondenator
  • η: *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • g: Fallbeschleunigung (9,81 m/s2)
  • v: Steiggeschwindigkeit
  • v: Fallgeschwindigkeit
  • ρÖ: Dichte des Öls
  • ρL: Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)

So wird Millikan-Versuch aufgebaut

Aufbau: Millikan-Versuch
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Bild 1: Grundlegender Aufbau des Millikan-Versuchs. Öltröpfchen im Plattenkondensator werden beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet.

Für Millikan-Versuch brauchst Du 5 Dinge:

  1. Zwei übereinander liegende Kondensatorplatten, zwischen denen eine elektrische Spannung U angelegt ist. Es sollte die Möglichkeit geben, sie nicht nur einzuschalten und auszuschalten, sondern auch ihren Wert und Polarität zu ändern. Zwischen den Kondensatorplatten befindet sich übrigens ganz normale Luft.
  2. Zerstäuber - mit dem Du Öltröpfchen erzeugst und zwischen den Kondensatorplatten fallen lässt. Durch die Reibung beim Zerstäuben werden die Öltröpfchen elektrisch aufgeladen. Deshalb können sie natürlich von dem ebenfalls geladenen Plattenkondensator beeinflusst werden. Das wirst Du ausnutzen!
  3. Mikroskop und Lichtquelle - die Öltröpfchen sind so klein wie eine handelsübliche Bakterie; deshalb benutzt Du neben einem Mikroskop auch eine Lichtquelle, die den Zwischenraum des Kondensators beleuchtet und zwar, weil die Öltröpfchen mit einem herkömmlichen Mikroskop kaum zu sehen sind. Durch die Beleuchtung des Zwischenraums wirst Du im Mikroskop kleine Lichtbeugungsscheibchen sehen, und damit die einzelnen Öltröpfchen erkennen. Je nach Mikroskop wirst Du eventuell oben und unten vertauscht sehen, d.h. Fallen würde wie Steigen aussehen, je nach dem, was für ein Mikroskop Du verwendest.
  4. Eine Skala - sie ist im Mikroskop eingeblendet. Mit deren Hilfe wirst Du die Position der Öltröpfchen messen.
  5. Stoppuhr - mit der Du im Versuch die Fall- und Steigzeiten der Öltröpfchen bestimmst.

Grundlagen - um Millikan-Versuch zu verstehen

Du brauchst insgesamt 4 Formeln im Millikan-Versuch:

Schwerkraft der Erde

Formel: Gewichtskraft

auf ein Öltröpfchen:
\[ F_G ~=~ m_Ö \, g \]
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  • mÖ: Masse Deines Öltröpfchens
  • g: Fallbeschleunigung auf der Erde

Für den Millikan-Versuch wirst Du die Masse meistens umschreiben müssen und zwar mit der Formel: mÖ=ρÖV, wobei ρÖ die Dichte des Öls ist und V das Volumen des Öltröpfchens.

Elektrische Kraft im Plattenkondensator

Formel: Elektrische Kraft

auf ein Öltröpfchen:
\[ F_E ~=~ q \, E \]
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  • q: Ladung des Öltröpfchens
  • E: Elektrisches Feld im Plattenkondensator

Im Plattenkondensator ist das elektrische Feld E näherungsweise konstant und wird Deine Öltröpfchen zur oberen oder zur unteren Platte konstant beschleunigen, je nach dem wie die Platten geladen sind.

Reibung zwischen Öltröpfchen und Luft

Formel: Reibungskraft

auf ein Öltröpfchen, das kugelförmig ist
\[ F_R ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v \]
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  • η: Viskosität der Luft *Eta*
  • r: Radius des Öltröpfchens
  • v: Geschwindigkeit des Öltröpfchens

Der griechische Buchstabe η sagt Dir, wie zähflüssig ein Stoff ist. Je zähflüssiger ein Stoff ist, in dem Du das Öltröpfchen bewegst, desto größer ist die Reibungskraft. Viskosität ist abhängig vom Druck und Temperatur.

In Deinem Fall werden sich die Öltröpfchen in der Luft bewegen. Luft hat eine geringe Viskosität. Beispielwerte für η Bei 1bar Druck und Temperatur 0°C hat die Viskosität den Wert η0 = 17,24 · 10-6kg/m·s.
Bei Zimmertemperatur ist der Wert: η20 = 18,24 · 10-6kg/m·s.

Die Reibungskraft bremst das Öltröpfchen ab: Sie wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung! Wenn das Öltröpfchen fällt, wirkt die Reibungskraft also nach oben; wenn es steigt, dann wirkt sie nach unten.

Auftriebskraft in der Luft

Formel: Auftriebskraft

falls ein genauer Wert der Elementarladung erwünscht ist
\[ F_A ~=~ \rho_L \, V \, g \]
Mehr zur Formel...
  • V: Volumen des Öltröpfchens
  • ρL: Dichte der Luft (bei 20°C: 1,204 kg/m3)
  • g: Fallbeschleunigung auf der Erde

Du kannst die Auftriebskraft auch vernachlässigen. Warum? Dichte der Luft ρL, die in der Formel für Auftriebskraft steckt, ist viel viel kleiner als die Dichte des Öls ρÖ, die in der Formel für Gewichtskraft vorkommt. Beispiel: Warum Auftriebskraft vernachlässigbar ist Wenn die Gewichtskraft auf ein Olivenölmonstertropfen mit dem Volumen V=1000 cm3 und einer Öldichte von ρÖ = 1052 kg/m3, überragende FG=10,32N beträgt, dann ist seine Auftriebskraft - in der Luft - gerade mal FA=0,01N. Merkst Du wie winzig die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft ist?! Ob Du sie beachtest oder nicht, macht hier kaum einen Unterschied.


Beim Zerstäuben werden nicht alle Öltröpfchen gleich aufgeladen. Deshalb hat jedes von ihnen unterschiedliche elektrische Eigenschaften, was dazu führt, dass sie verschiedene Bewegungen ausführen:

  • Öltröpfchen mit größerer Ladung bewegen sich schneller als mit kleinerer Ladung.
  • Positiv bzw. negativ geladene Öltröpfchen erfahren elektrische Kraft, wenn der Kondensator angeschaltet ist.
  • Elektrisch neutrale Öltröpfchen erfahren keine elektrische Kraft.

Methoden um Elementarladung zu bestimmen

Es gibt grundsätzlich 2 Methoden zur Bestimmung der Elementarladung:

  1. Schwebemethode
  2. Gleichfeldmethode (auch Zweifeldmethode genannt)

Dein grundsätzliches Ziel ist es, die Ladung q des Öltröpfchens zu bestimmen und damit dann die kleinstmögliche Ladung, die Elementarladung e, herauszufinden.

SCHWEBEMETHODE: Öltröpfchen schweben & fallen lassen

1. Öltröpfchen zum Schweben bringen

Nachdem Du geladene Öltröpfchen mit dem Zerstäuber zwischen die Kondensatorplatten gesprüht hast, schaltest Du die Spannungsquelle so an, dass die obige Platte positiv und die untere negativ geladen ist. Dadurch werden negativ geladene Öltröpfchen von der oberen Platte angezogen und von der unteren abgestoßen.

Insgesamt zeigt die elektrische Kraft FE auf die negativ geladenen Öltröpfchen nach oben. Sie wirkt in diesem Fall der Schwerkraft FG entgegen. Wenn Du noch die Auftriebskraft FA berücksichtigen möchtest: Sie wirkt immer entgegen der Schwerkraft, hier also in die gleiche Richtung wie elektrische Kraft.

Wenn die Kräfte, die nach oben zeigen, genauso stark sind, wie die Kräfte nach unten, dann hat sich Kräftegleichgewicht eingestellt.

Kräftegleichung für den Schwebezustand

Schwebezustand-Formel
Mehr zur Formel...
  • FG: Gewichtskraft
  • FE: Elektrische Kraft
  • FA: Auftriebskraft

Also – um das Kräftegleichgewicht herzustellen, veränderst Du den Wert der elektrischen Spannung, dadurch verändert sich die elektrische Kraft. Stelle sie so ein, dass das Öltröpfchen einigermaßen schwebt. Es wird nicht einfach sein, denn die Öltröpfchen sind so klein, dass sie wegen der Brownschen Molekularbewegung zittern. Und genau das ist ein Nachteil der Schwebemethode, weil es nicht einfach ist einen super geilen Schwebezustand einzustellen. Dadurch wird der Messfehler größer.

Betrachte pro Messung nur ein einziges Öltröpfchen, denn jedes von ihnen hat unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeit, weshalb sich bei jedem einzelnen von ihnen das Kräftegleichgewicht (also das Schweben) bei unterschiedlicher Spannung einstellen wird. Du kannst nicht alle Öltröpfchen gleichzeitig verarzten. Deshalb - konzentriere Dich nur auf EINES davon!

Wenn Du der Meinung bist, Du hast den Schwebezustand einigermaßen einstellen können, dann notiere Dir den dazugehörigen Spannungswert U.

Schwebezustand des Öltröpfchens
Kräftegleichgewicht zwischen elektrischer Kraft, Auftriebskraft und Gewichtskraft. Du hast durch das Erhöhen der Spannung den Schwebezustand einsgellt, weshalb Reibungskraft - Null ist.

2. Öltröpfchen fallen lassen

Du brauchst noch den Radius des Öltröpfchens, um eine Gleichung für Ladung zu haben, die nur Größen enthält, die Du kennst. Dazu lässt Du das Öltröpfchen, nach dem Du es zum Schweben gebracht hast, fallen; indem Du die Spannungsquelle ausschaltest. Dann stellst Du die Fallgleichung auf, formst nach dem Radius um und setzt es in die Formel der Ladung ein.

Fallen des Öltröpfchens mit Spannung Null
Betrachtung des Öltröpfchens im Mikroskop. Es herrscht Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft, Auftriebskraft und Reibungskraft. Elektrische Kraft ist bei ausgeschalteter Spannungsquelle - Null.

GLEICHFELDMETHODE: Öltröpfchen steigen & fallen lassen

Der Vorteil dieser Methode ist, dass Du im Gegensatz zur Schwebemethode keinen zittrigen Schwebezustand einstellen musst. Dadurch reduziert sich natürlich der Messfehler.

1. Öltröpfchen steigen lassen

Steigen des Öltröpfchens bei konstanter Spannung
Steigen des Öltröpfchens bei fest eingestellter Spannung. Es wirken Gewichtskraft, Reibungskraft, Elektrische Kraft und Auftriebskraft.

Benutze den Zerstäuber und lasse ein ausgewähltes Öltröpfchen zuerst langsam nach oben steigen, indem Du einen geeigneten Spannungswert einstellst. Schwerkraft wirkt wie immer nach unten und wird durch Reibungskraft unterstützt, da die Reibungskraft ja entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Den beiden Kräften entgegen wirken die elektrische Kraft und die Auftriebskraft. Zwischen ihnen stellt sich in Nullkommanix Kräftegleichgewicht ein, d.h. die Geschwindigkeit mit der das Öltröpfchen steigt, ist konstant.

Du hast also:

Steigen des Öltröpfchens im E-Feld

d.h. Spannung ist nicht Null:
\[ F_G ~+~ F_{R \uparrow} ~=~ F_E ~+~ F_A \]
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  • FG: Gewichtskraft
  • FE: Elektrische Kraft
  • FR↑: Reibungskraft engegen dem Steigen
  • FA: Auftriebskraft

Miss die Zeit t, die das Öltröpfchen braucht, um eine Strecke s beim Steigen zurückzulegen. Damit bestimmst Du die Steiggeschwindigkeit: v = \( \frac{s_{\tiny{\uparrow}}}{t_{\tiny{\uparrow}}}\)

2. Öltröpfchen fallen lassen

Fallen des Öltröpfchens bei konstanter Spannung
Fallen des Öltröpfchens bei fest eingestellter Spannung. Es wirken Gewichtskraft, Reibungskraft, elektrische Kraft und Auftriebskraft.

Pole den Plattenkondensator um, sodass die Ladung der Kondensatorplatten vertauscht ist. Lasse dabei den Spannungswert unverändert; dadurch bleibt die elektrische Kraft auf Dein Öltröpfchen gleich stark, wirkt jedoch durch das Vertauschen der Pole jetzt nicht mehr nach oben, sondern nach unten.

Das heißt: Dein Öltröpfchen fängt an zu fallen. Da sich seine Bewegungsrichtung geändert hat, kehrt sich auch die Richtung der Reibungskraft um, denn, Du weißt ja: Reibungskraft wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung. Insgesamt wirken Gewichtskraft und elektrische Kraft nach unten und ihnen entgegen wirken Reibungskraft und die Auftriebskraft nach oben. Wieder stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht ein, sodass das Öltröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit fällt.

Dann gilt:

Gleichung: Falle des Öltröpfchens im E-Feld

d.h. Spannung ist nicht Null:
\[ F_G ~+~ F_E ~=~ F_{R\downarrow} ~+~ F_A \]
Mehr zur Formel...
  • FG: Gewichtskraft
  • FE: Elektrische Kraft
  • FR↓: Reibungskraft engegen dem Fallen
  • FA: Auftriebskraft

Auswertung des Millikan-Versuchs im Diagramm

Ob Du Schwebemethode oder Gleichfeldmethode benutzt; bei beiden Methoden untersuchst Du natürlich nicht ein einziges Öltröpfchen, sondern so viele wie möglich! Jedem untersuchten Öltröpfchen vergibst Du eine Nummer. Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3 und so weiter und trägst die Nummern auf der x-Achse auf. Auf der y-Achse trägst Du die dazugehörigen, ausgerechneten Ladungen des jeweiligen Öltröpfchens. Wenn Du genügend Öltröpfchen gemessen hast, wirst Du folgendes Diagramm sehen.

Auswertung: Millikan-Versuch
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Das Ergebnis des Millikan-Versuchs im Diagramm veranschaulicht. Ladungen der Öltröpchen sind diskret verteilt und tragen ein Vielfaches der Elementarladung.

Dabei müssen Dir 3 Sachen auffallen:

  1. Öltröpfchen tragen unterschiedliche Ladungen.
  2. Die Ladungsverteilung ist diskret - d.h. die Ladungen der Öltröpfchen sind nicht kontinuierlich über das ganze Diagramm verteilt. Es gibt Öltröpfchen, die um einen bestimmten Wert streuen, andere Öltröpfchen um einen anderen Wert. Zeichne waagerechte Hilfslinien auf genau die Werte, in deren Umgebung viele Messwerte liegen.
  3. Abstand zwischen diesen Hilfslinien ist immer gleich - vorausgesetzt Du hast sehr viele Messungen gemacht.

Was bedeuten diese Beobachtungen? Die Öltröpfchen können anscheinend nur Vielfache einer kleinstmöglichen Ladungsmenge tragen. Diese kleinste Ladungsmenge nennen die Physiker daher Elementarladung e. Ihren Wert kannst Du an Deinem Diagramm ablesen – es ist der Abstand zwischen den Hilfslinien; also die kleinste Ladungsdifferenz. Sie hat den ungefähren Wert: e=1,6·10-19C.

Elementarladung genauer bestimmen

Für die Physik-Gangster unter euch: Die Bestimmung der Elementarladung geht noch präziser, wenn Ihr die Reibungskraft FR durch die sogenannte Cunningham-Korrektur teilt: \[ \frac{F_{\small{R}}}{1+\frac{1,257*\lambda}{r}} \]

Dabei ist λ, die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle. *If you know what I mean.*

Die Korrektur verwendest Du, weil die Formel der Stokesschen Reibungskraft eigentlich nicht für so winzige Objekte wie die Öltröpfchen geeignet ist.

Und wer es super geil genau haben möchte, der muss sich den Quanten-Hall-Effekt anschauen. Aber bevor es soweit ist, gönn Dir erst mal das Video zum klassischen Hall-Effekt.

Übrigens: Erinnerst Du Dich noch an den Fadenstrahlrohr-Versuch? Mit dem Fadenstrahlrohr kannst Du das Verhältnis der Ladung des Teilchens zur seiner Masse q/m bestimmen, z.B. von Elektronen. Sie tragen die Elementarladung. Nachdem Du mit dem Millikan-Versuch jetzt den Wert der Elementarladung bestimmt hast, kannst Du für Ladng q einfach Elementarladung e einsetzen und schon hast Du die Elektronenmasse mE herausgefunden! Damals hättest Du dafür bestimmt den Nobelpreis bekommen!

Natürlich kannst Du auf diese Weise auch andere geladene Teilchen vermessen – und schon hast Du ein Massenspektrometer! Aber das ist ein anderes Thema...

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