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Formeln: Maxwell-Gleichungen

Maxwellgleichungen der Elektrodynamik: Integrale Form

Gleichung: Gaußsches Gesetz für elektrische Felder

die Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes
\[ \oint_\mathcal{\partial V} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} ~=~ \frac{Q}{\epsilon_0} \]
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  • \( \mathcal{\partial V} \): Geschlossene Oberfläche über die Du integrierst (Rand des Volumens \( V \))
  • \( \vec{E} \): Elektrisches Feld [Einheit: \( \frac{V}{m} \)]
  • \( \text{d}\vec{A} \): Infinitesimales Flächenelement auf der geschlossenen Oberfläche
  • \( Q \): Von der Oberfläche \( \mathcal{\partial V} \) eingeschlossene Ladung
  • \( \epsilon_0 \): Elektrische Feldkonstante 8,854187817 * 10-12 \( \frac{As}{Vm} \)

Gleichung: Gaußsches Gesetz für magnetische Felder

rechtfertigt die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes
\[ \oint_{\mathcal{\partial V}} \vec{B} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} ~=~ 0 \]
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  • \( \mathcal{\partial V} \): Geschlossene Oberfläche über die Du integrierst (Rand des Volumens \( V \))
  • \( \vec{B} \): Magnetische Flussdichte [Einheit: \( T ~=~ \frac{kg}{A \, s^2} \)]
  • \( \text{d}\vec{A} \): Infinitesimales Flächenelement auf der geschlossenen Oberfläche

Gleichung: Induktionsgesetz

Änderung des Magnetfeldes erzeugt ein elektrisches Gegenfeld
\[ \oint_{\mathcal{\partial A}} \vec{E} ~\cdot~ \text{d}\vec{S} ~=~ -\int_{\mathcal{A}} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]
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  • \( \mathcal{\partial A} \): Geschlossene Linie über die Du integrierst (Rand der Fläche \(A\))
  • \( \vec{E} \): Elektrisches Feld [Einheit: \( \frac{V}{m} \)]
  • \( \text{d}\vec{S} \): Infinitesimales Linienlement auf der Fläche \(A\)
  • \( \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \): Partielle zeitliche Ableitung der magnetischen Flussdichte \( \vec{B} \)
  • \( \text{d}\vec{A} \): Infinitesimales Flächenelement auf der Fläche \(A\)

Gleichung: Amperesches Gesetz

\[ \oint_{\mathcal{S}} \vec{B} ~\cdot~ \text{d}\vec{S} ~=~ \mu_0 \, I + \int_{\mathcal{A}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ~\cdot~ \text{d}\vec{A} \]
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  • \( \mathcal{S} \): Geschlossene Linie über die Du integrierst (Rand der Fläche \(A\))
  • \( \vec{B} \): Magnetische Flussdichte [Einheit: \( T ~=~ \frac{kg}{A \, s^2} \)]
  • \( \text{d}\vec{S} \): Infinitesimales Linienlement auf der Linie \( \mathcal{S} \)
  • \( \mu_0 \): Magnetische Feldkonstante \( 4\pi \cdot 10^-7 \frac{N}{A^2} \)
  • \( I \): der von der geschlossenen Linie \( \mathcal{S} \) eingeschlossene Strom

Maxwellgleichungen der Elektrodynamik: differentielle Form

Gleichung: Gaußsches Gesetz für elektrische Felder

in differentieller Form
\[ \vec{\nabla} ~\cdot~ \vec{E} ~=~ \frac{\rho}{\epsilon_0} \]
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  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{E} \): Elektrisches Feld [Einheit: \( \frac{V}{m} \)]
  • \( \rho \): Ladungsdichte [Einheit: \( \frac{As}{m^3} \)]
  • \( \epsilon_0 \): Elektrische Feldkonstante 8,854187817 * 10-12 \( \frac{As}{Vm} \)

Gleichung: Gaußsches Gesetz für magnetische Felder

in differentieller Form
\[ \vec{\nabla} ~\cdot~ \vec{B} ~=~ 0 \]
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  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{B} \): Magnetische Flussdichte [Einheit: \( T ~=~ \frac{kg}{A \, s^2} \)]

Gleichung: Induktionsgesetz

in differentieller Form
\[ \vec{\nabla} ~\times~ \vec{E} ~=~ -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \]
Mehr zur Formel...
  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{E} \): Elektrisches Feld [Einheit: \( \frac{V}{m} \)]
  • \( \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \): Partielle zeitliche Ableitung der magnetischen Flussdichte \( \vec{B} \)

Gleichung: Amperesches Gesetz

in differentieller Form
\[ \vec{\nabla} ~\times~ \vec{B} ~=~ \mu_0 \, \vec{j} + \mu_0 \, \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \]
Mehr zur Formel...
  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{B} \): Magnetische Flussdichte [Einheit: \( T ~=~ \frac{kg}{A \, s^2} \)]
  • \( \mu_0 \): Magnetische Feldkonstante \( 4\pi \cdot 10^-7 \frac{N}{A^2} \)
  • \( \vec{j} \): Elektrische Stromdichte [Einheit: \( \frac{A}{m^2} \)]

Maxwellgleichungen der Elektrostatik: Differentielle Form

Gleichung: Gaußsches Gesetz für elektrische Felder

\[ \vec{\nabla} ~\cdot~ \vec{E} ~=~ \frac{\rho}{\epsilon_0} \]
Mehr zur Formel...
  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{E} \): Elektrisches Feld [Einheit: \( \frac{V}{m} \)]
  • \( \rho \): Ladungsdichte [Einheit: \( \frac{As}{m^3} \)]
  • \( \epsilon_0 \): Elektrische Feldkonstante 8,854187817 * 10-12 \( \frac{As}{Vm} \)

Gleichung: Gaußsches Gesetz für magnetische Felder

\[ \vec{\nabla} ~\cdot~ \vec{B} ~=~ 0 \]
Mehr zur Formel...
  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{B} \): Magnetische Flussdichte [Einheit: \( T ~=~ \frac{kg}{A \, s^2} \)]

Gleichung: Induktionsgesetz

im elektrostatischen Fall
\[ \vec{\nabla} ~\times~ \vec{E} ~=~ 0 \]
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  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{E} \): Elektrisches Feld [Einheit: \( \frac{V}{m} \)]
  • \( \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \): Partielle zeitliche Ableitung der magnetischen Flussdichte \( \vec{B} \)

Gleichung: Amperesches Gesetz

im elektrostatischen Fall
\[ \vec{\nabla} ~\times~ \vec{B} ~=~ \mu_0 \, \vec{j} \]
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  • \( \vec{\nabla} \): Nabla-Operator
  • \( \vec{B} \): Magnetische Flussdichte [Einheit: \( T ~=~ \frac{kg}{A \, s^2} \)]
  • \( \mu_0 \): Magnetische Feldkonstante \( 4\pi \cdot 10^-7 \frac{N}{A^2} \)
  • \( \vec{j} \): Elektrische Stromdichte [Einheit: \( \frac{A}{m^2} \)]
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