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Levi-Civita-Symbol

Was ist Levi-Civita-Symbol?

Levi-Civita-Symbol εijk - (auch Epsilon-Tensor oder Permutationssymbol genannt) ist ein kleines griechisches Epsilon mit drei Indizes ijk, welches entweder +1, -1 oder 0 ergibt.

Das Levi-Civita-Symbol ist im dreidimenssionalen Fall i,j,k ∈ {1,2,3} folgendermaßen definiert: \[ \epsilon_{ijk} ~=~ \begin{cases} +1, & \text{gerade} ~ijk~ \text{Permutation} \\ -1, & \text{ungerade} ~ijk~ \text{Permutation} \\ 0, & \text{min. 2 gleiche Indizes} \end{cases} \]

Eine Gerade Permutaton - ist eine Vertauschung von zwei Indizes (also alle Indizes werden bewegt). Beispiel (jki), (kij) sind gerade Vertauschungen von (ijk). Dabei wurden die Indizes einfach gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Eine weitere Drehung würde wieder (ijk) ergeben.

Eine ungerade Permutaton - ist eine Vertauschung von einem Index (also nur zwei Indizes werden bewegt). Beispiel (jik), (kji) und (ikj) sind ungerade Vertauschungen von (ijk).

Beispiele mit Zahlen ε112, ε313, sowie ε222 würden 0 ergeben. Auch: ε123+ε213 = 1+(-1) = 0. Aber: ε123ε231=1·1=1.

So verarztest Du das Kreuzprodukt in Indexnotation

Definition des Kreuzprodukts \[ \vec{a} ~\times~ \vec{b} ~=~ \vec{e}_i \, \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \]

Achte auf die Definition: das erste Index (hier \( i \)) beim Epsilon-Tensor gehört dem Basisvektor \( \vec{e}_i \) und die anderen beiden (hier \( j,k \)) gehören den beiden Vektorkomponenten \( a_j \) und \( b_k \).

Achte außerdem darauf, dass bei der Definition die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde, damit das Kreuzprodukt schön kompakt ist! Hierbei lässt Du einfach die Summenzeichen weg: \[ \sum \limits_{i=1}^3\sum \limits_{j=1}^3 \sum \limits_{k=1}^3 \, \vec{e}_i \, \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k ~\rightarrow~ \vec{e}_i \, \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \] Auch, wenn die drei Summenzeichen weggelassen wurden, wird trotzdem weiterhin über die auftretenden Indizes \( i \), \( j \) und \( k \) summiert!

Du kannst das Kreuzprodukt auch in Komponentenschreibweise ausdrücken. Um nur eine Komponente des Kreuzproduktes zu bekommen, versiehst Du das Kreuzprodukt einfach mit einem Index \( i \), also \( \left( \vec{a} ~\times~ \vec{b} \right)_i \). Damit ist gemeint: Du betrachtest die \( i \)-te Komponente des Kreuzprodukts - also die erste, zweite oder dritte Komponente. Nur statt für \( i \) eine konkrete Zahl (1,2,3) einzusetzen, hälst Du es allgemein, deshalb \( i \).

Und, weil Du nur eine Komponente betrachtest, ist \( \left( \vec{a} ~\times~ \vec{b} \right)_i \) eine reine Zahl, bei der der Basisvektor \( \vec{e}_i \) nicht mehr vorkommen darf: \(i\)-te Komponente des Kreuzprodukts \[ \left( \vec{a} ~\times~ \vec{b} \right)_i ~=~ \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \]

Ob Du mit dem vollständigen Kreuzprodukt oder mit nur einer Komponente arbeiten möchtest, bleibt Dir überlassen!

Beispiel: 1.Komponente konkret ausschreiben

Dazu schreibst Du statt dem allgemein gehaltenen Index \( i \) die Zahl 1, die die 1. Komponente des Kreuzprodukts repräsentiert: \[ \left( \vec{a} ~\times~ \vec{b} \right)_1 ~=~ \epsilon_{1jk} \, a_j \, b_k \]

Du hast also jetzt die Komponente, die Du ausrechnen möchtest festgelegt. Jetzt musst Du über \( j \) und \( k \) summieren. Um alle Fälle durchzugehen, habe ich \( j = 1 \) gesetzt und alle Fälle für \( k =1,2,3 \) durchgegangen. Dann habe ich \( j = 2 \) gesetzt und alle Fälle für \( k =1,2,3 \) durchgegangen und analog für \( j = 3 \). Insgesamt müssen 3*3 = 9 Summanden herauskommen: \[ \epsilon_{1jk} \, a_j \, b_k ~=~ \epsilon_{111} \, a_1 \, b_1 ~+~ \epsilon_{112} \, a_1 \, b_2 ~+~ \epsilon_{113} \, a_1 \, b_3 ~+~ \epsilon_{121} \, a_2 \, b_1 ~+~ \epsilon_{122} \, a_2 \, b_2 ~+~ \epsilon_{123} \, a_2 \, b_3 ~+~ \epsilon_{131} \, a_3 \, b_1 ~+~ \epsilon_{132} \, a_3 \, b_2 ~+~ \epsilon_{133} \, a_3 \, b_3 \]

Nach Definition des Epsilon-Tensors, sind von neun Termen nur zwei ungleich Null und zwar die mit unterschiedlichen Indizes: \[ \epsilon_{1jk} \, a_j \, b_k ~=~ \epsilon_{123} \, a_2 \, b_3 ~+~ \epsilon_{132} \, a_3 \, b_2 \]

Dabei ist \( \epsilon_{123} ~= 1 \), weil es eine gerade Permutation ist. Und \( \epsilon_{132} ~= -1 \), weil es eine ungerade Permutation ist. Einsetzen ergibt: \[ \epsilon_{1jk} \, a_j \, b_k ~=~ a_2 \, b_3 ~-~ \, a_3 \, b_2 \]

Analog gehtst Du mit der 2. und 3. Komponenten vor und erhälst so alle drei Komponenten des Ergebnisvektors des Kreuzprodukts.

Spatprodukt in Indexnotation mit Levi-Civita-Symbol

Mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich bei Spatprodukt zeigen, dass: \[ \vec{a} \cdot \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right) ~=~ \vec{c} \cdot \left( \vec{a} ~\times~ \vec{b} \right) ~=~ \vec{b} \cdot \left( \vec{c} ~\times~ \vec{a} \right) \] Dabei muss Dir die zyklische Permutation der drei Vektoren auffallen!

Wie kannst Du das Spatprodukt in Indexnotation beweisen?
Starte mit dem linken Seite der Gleichung. Da es sich um ein Skalarprodukt zwischen \( \vec{a} \) und \( \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right) \) handelt, versiehst Du sowohl das Kreuzprodukt als auch den Vektor \( \vec{a} \) mit einem - gleichen - Index, z.B. \( i \), über den - nach der Einsteinschen Summenkonvention - summiert wird: \[ a_i \, \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_i \]

Jetzt hast Du ein gewöhnliches Produkt von zwei Zahlen: \( a_i \) und \( \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_i \), weshalb das Skalarprodukt-Punkt weg ist.

Du hast außerdem vorher gelernt, dass die \( i \)-te Komponente des Kreuzprodukts sich mit Hilfe des Epsilon-Tensors umschreiben lässt. Benutze also die Definition obige: \[ a_i \, \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_i ~=~ a_i \, \epsilon_{ijk} \, b_j \, c_k \]

Jetzt sind es alles reine Zahlen und es gelten übliche Rechengesetze, unter anderem das Kommutativgesetzt. Vertausche die Faktoren soviel Du willst! Packe beispielsweise den Epsilon-Tensor an den Anfang: \[ a_i \, \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_i ~=~ \epsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k \]

Um die obige Idenität des Spatprodukts zu zeigen, nutze die Eigenschaft des Epsilon-Tensors aus, dass bei gerader Permutation sich nichts verändert. Das heißt: eine gerade Vertauschung der Indizes ändert nichts an der Gleichheit! Bei ungerader Permutation dagegen würde sich das Vorzeichen verändern.

Für die erste gerade Permutation 'rotierst' Du Indizes einmal im Kreis: \( ijk ~\rightarrow~ kij \). Da sich am Ergebnis nichts ändert, sind die permutierte und nicht-permutierte Versionen gleich: \[ \epsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \epsilon_{kij} \, a_i \, b_j \, c_k \]

Nächste gerade Permutation (d.h. nochmal rotieren) der Indizes \( kij ~\rightarrow~ jki \), ergibt einen weiteren Term, der den anderen gleicht: \[ \epsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \epsilon_{kij} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \epsilon_{jki} \, a_i \, b_j \, c_k \]

Würdest Du die Indizes ein drittes Mal rotieren, dann kommst Du zum Anfangszustand \( jki ~\rightarrow~ ijk \)! Es bringt also nichts, noch ein weiteres Mal eine gerade Vertauschung durchzuführen. Schreibe am besten das Ganze in der "passenderen" Reihenfolge auf (Du kannst ja jetzt alle Faktoren vertauschen wie Du willst): \[ \epsilon_{ijk} \, a_i \, b_j \, c_k ~=~ \epsilon_{kij} \, c_k \, a_i \, b_j ~=~ \epsilon_{jki} \, b_j \, c_k \, a_i \]

Schreibst Du die drei Seiten wieder als Kreuzprodukt - mithilfe der Epsilon-Tensor-Definition - auf, dann bekommst Du: \[ a_i \, \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_i ~=~ c_k \, \left( \vec{a} ~\times~ \vec{b} \right)_k ~=~ b_j \, \left( \vec{c} ~\times~ \vec{a} \right)_j \]

Jetzt nur noch nicht die \(i\)-te Komponente des Skalarprodukts betrachten, sondern das ganze Skalarprodukt (als Vektor), dann hast Du die Gleichheit der Spatprodukte vollständig gezeigt.

Für das 1.Semester des Physikstudiums ist folgende Identität wichtig zu merken: Produkt zweier Epsilon-Tensoren mit einem gleichen Index - ausgedrückt mithilfe des Kronecker-Symbols: \[ \epsilon_{ijk} \, \epsilon_{imn} ~=~ \delta_{jm} \, \delta_{kn} ~-~ \delta_{km} \, \delta_{jn} \]

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