1. Home
  2. Physik
  3. Kronecker-Delta

Kronecker-Delta

Was ist Kronecker-Delta?

Kronecker-Delta δij - ist ein kleines griechisches Delta, das entweder 1 oder 0 ergibt, je nachdem welche Werte seine zwei Indizes annehmen. Maximaler Wert eines Index entspricht der betrachteten Dimension, also im dreidimensionalen Raum: i,j ∈ {1,2,3}.

Definition von Kronecker-Delta:

δij = \( \begin{cases} 1 &\mbox{wenn } i=j \\ 0 &\mbox{wenn } i \neq j \end{cases} \)

Sind die beiden Indizes ij gleich, hat Kronecker-Delta den Wert δij=1. Und, wenn sie ungleich sind: δij=0.

Nach dieser Definition wäre zum Beispiel δ11=1 und δ12=0 oder δ11δ12=0.

Einsteinsche Summenkonvention

Das Summenzeichen erscheint immer dann, wenn zwei gleiche Indizes (z.B. ii) auftauchen. Zur kompakteren Schreibweise verwendest Du die Einsteinsche Summenkonvention. Sie bedeutet: Über doppelt auftretende Indizes in einem Produkt wird summiert; das Summenzeichen lässt Du einfach weg: \[ \sum \limits_{i=1}^3 \, a_i \, b_i ~\rightarrow~ a_i \, b_i \]

Der Vorteil der Einsteinschen Summenkonvention - neben der Kompaktheit - ist die formale Kommutativität (vertauschen erlaubt). Zum Beispiel: εijk\( \vec{e}_{i} \)sjrk = \( \vec{e}_{i} \)sjrkεijk

Es gibt jedoch Außnahmen, zum Beispiel die Ableitung j, die auf alle Nachfolger wirkt. Du darfst also Ausdrücke, die hinter dem Differentialoperator stehen, nicht davor ziehen und andersherum. Untereinander ist Vertauschen aber erlaubt, solange die Ausdrücke vor oder hinter dem j bleiben!

4 Rechenregeln für Kronecker-Delta

Bei Produkten mit den Indizes über die summiert wird, können Vereinfachungen vorgenommen werden:

1. Regel

Indizes ij können vertauscht werden: δij = δji

Am Ergebnis ändert sich nichts, denn das Vertauschen beider Indizes - ganz egal ob sie gleich (i=j) oder ungleich (ij) sind - ändert nichts an der Definition des Kronecker-Deltas: δij=1=δji bzw. δij=0=δji. Kronecker-Delta ist symmetrisch.

2. Regel

Kronecker-Deltas mit gleichem Index lassen sich zusammenfassen: δijδjk = δik

Hier wird über j - nach Summenkonvention - summiert.

Beispiel 1: wie Du Delta's zusammenfasst Wenn i=j und jk ist, folgt ik. Nach Definition von Kronecker-Delta ergibt sich dann: δijδjk=1*0=0=δik

Beispiel 2: WIE zusammenfassen - ist egal δjkδksδsi vereinfacht sich zu δjsδsi, wenn Du die ersten beiden Delta's (δjkδks) mithilfe der 2.Regel zusammenfasst (der Summationsindex k fliegt heraus). Du könntest aber genauso δjkδki herausbekommen, wenn Du nicht die ersten beiden, sondern die letzten beiden Delta's (δksδsi) zusammenfasst.
Die beiden gleichwertigen Vereinfachungen lassen sich noch ein mal zusammenfassen, weil bei einem Produkt über j und beim anderen über s summiert wird. Als Vereinfachung bekommst Du in beiden Fällen: δji.
Welchen Weg der Vereinfachung Du also nimmst, ist egal!

Achtung! Wann die 2.Regel nicht funzt Die Vereinfachung δijδjk=δik ist nicht erlaubt, wenn keine Summenkonvention verwendet wird; also beispielsweise, wenn schon konkrete Zahlen für die Indizes angegeben sind. Setze dazu z.B. i=k=1 und j=2, dann hast Du: δ12δ21=0, ABER nach Definition ist: δ11=1. Widerspruch!

3. Regel

Faktoren mit gleichem Index wie Kronecker-Delta, lassen sich zusammenfassen: ajδjk = ak

Das Produkt ist nur dann nicht Null, wenn j=k ist. Das heißt: Wenn einer der Indizes (jk) vom Kronecker-Delta nochmal irgendwo vorkommt (in diesem Fall j), dann ersetzt Du den mit dem anderen Index von Kronecker-Delta (in diesem Fall k) und machst Kronecker-Symbol weg.

Eigentlich nichts Neues! Diese Regel sagt Dir nur, dass Du mit Regel 2 nicht nur Kronecker-Deltas untereinander zusammenfassen kannst, sondern auch andere Ausdrücke, die in einem Produkt mit Kronecker-Delta stehen und einen gleichen Index tragen.

4. Regel

Für n ∈ {1,2,3,...,n} gilt: δjj = n

Nach der Summenkonvention wird hier über j summiert: δjj = δ11+δ22+...+δnn = 1+1+...+1 = n

Alarm! Häufige Fehler in der Notation

Wenn Du Summenkonvention und diese Rechenregeln benutzt, musst Du außerdem auf die richtige Notation achten: Summiert wird dann, wenn ein Index genau doppelt auftritt und zwar auf einer Seite der Gleichung.

Beispielsweise folgende Notation weist Fehler auf:

Falsch!vi = bici

Auf der einen Seite wird zwar summiert, auf der anderen Seite steht aber auch der Summationsindex - das ergibt keinen Sinn... Es dürfen in einer Gleichung einzelne Indizes (genannt: freie Indizes, z.B. i bei vi) einmalig auf jeder Seite der Gleichung auftauchen.

Außerdem darf auch der Summationsindex nur auf einer Seite der Gleichung auftreten. Folgendes wär falsch, da der Summationsindex k auf beiden Seiten der Gleichung erscheint:

Falsch! δjkvk = δmkrk

Folgende "Gleichung" wäre auch falsch, weil hier eingesetze Zahlen zusammengefasst wurden:

Falsch! δi1δ1k = δik

Index "1" tritt zwar doppelt auf, ist aber kein variabler Index, über den Du summieren kannst. Deshalb darfst Du nicht nach der Summenkonvention derart zusammenfassen.

So schreibst Du Skalarprodukt mithilfe von Kronecker-Delta

Die Komponenten eines dreidimensionalen Vektors können so dargestellt werden: \[ \vec{v} ~=~ \left( x,y,z \right) ~=~ \vec{e}_x \, x ~+~ \vec{e}_y \, y ~+~ \vec{e}_z \, z \]

In der Indexnotation wirst Du sie von nun an numerieren, was - zusammen mit Summenkonvention - in einer kürzeren Schreibweise resultiert. Über Index j wird summiert. Wie Du hier den Index nennst, ist egal: \[ \vec{v} ~=~ \left( x_1,x_2,x_3 \right) ~=~ \vec{e}_j \, x_j \]

Betrachte das Skalarprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren \( \vec{a} \) = (a1,a2,a3) und \( \vec{b} \) = (b1,b2,b3), bei dem Du die beiden Vektoren komponentenweise multiplizierst: \[ \vec{a} ~\cdot~ \vec{b} ~=~ a_1 \, b_1 ~+~ a_2 \, b_2 ~+~ a_3 \, b_3 \]

Diese Summe kannst Du kürzer schreiben, in dem Du über einen frei wählbaren Index, z.B. i, summierst: \[ a_1 \, b_1 ~+~ a_2 \, b_2 ~+~ a_3 \, b_3 ~=~ \sum \limits_{i=1}^3 \, a_i \, b_i \]

Wenn Du noch die Summenkonvention ausnutzt, dann ist das dicke Summenzeichen auch weg: \[ \sum \limits_{i=1}^3 \, a_i \, b_i ~=~ a_i \, b_i \]

So schreibst Du orthonormierte Basisvektoren um

Zwei senkrecht aufeinander stehende Vektoren, \( \vec{e}_{i} \) und \( \vec{e}_{j} \), die den Betrag \( |\vec{e}_{i}| ~=~ |\vec{e}_{j}| ~=~ 1 \) haben, werden orthonormierte Basisvektoren genannt. Ihr Skalarprodukt ergibt entweder \( \vec{e}_{i} ~\cdot~ \vec{e}_{j} ~=~ 1 \), wenn \( i ~=~ j \) oder \( \vec{e}_{i} ~\cdot~ \vec{e}_{j} ~=~ 0 \), wenn \( i ~\ne~ j \).

Das Skalarprodukt von zwei orthonormierten Basisvektoren verhält sich also genau wie die Definition von Kronecker-Delta! Deshalb kannst Du die beiden obigen Fälle in einer Gleichung zusammenfassen: \[ \vec{e}_{i} ~\cdot~ \vec{e}_{j} ~=~ \delta_{ij} \]

Damit lässt sich das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren mit Summenkonvention auch allgemein schreiben: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} ~=~ a_i \, \vec{e}_i ~\cdot~ b_j \, \vec{e}_j ~=~ a_i \, b_j \, \left( \vec{e}_i ~\cdot~ \vec{e}_j \right) ~=~ a_i \, b_j \, \delta_{ij} \]

Jetzt hast Du nur ein normales Produkt, dessen Faktoren - ohne Bedenken - beliebig ausgeklammert und vertauscht werden dürfen. Zusammen mit dem Levi-Civita-Symbol, das das Kreuzprodukt in ein normales Produkt umwandelt, sind die beiden echt stark!

Summe ausschreiben

Wie Du bereits gelernt hast, wird in \( a_i \, b_j \, \delta_{ij} \) über \( i \) und \( j \) summiert! Schreibe die Doppelsumme des dreidimensionalen Falls aus, d.h.: \( i, j ~\in~ \{ 1,2,3 \} \). Gehe also alle möglichen Kombinationen der Indizes durch und Du bekommst einen etwas langen Ausdruck: \[ a_i \, b_j \, \delta_{ij} ~=~ a_1 \, b_1 \, \delta_{11} ~+~ a_1 \, b_2 \, \delta_{12} ~+~ a_1 \, b_3 \, \delta_{13} ~+~ a_2 \, b_1 \, \delta_{21} ~+~ a_2 \, b_2 \, \delta_{22} ~+~ a_2 \, b_3 \, \delta_{23} ~+~ a_3 \, b_1 \, \delta_{31} ~+~ a_3 \, b_2 \, \delta_{32} ~+~ a_3 \, b_3 \, \delta_{33} \]

Wie Du siehst, - wegen der Definition von Kronecker-Delta - sind nur 3 Komponenten von insgesamt 9 ungleich Null, bei denen i=j ist. Du darfst also alle Summanden mit ungleichen Indizes weglassen. Zusammen mit der obigen 3.Regel hast Du: \[ a_i \, b_i ~=~ a_1 \, b_1 \, \delta_{11} ~+~ a_2 \, b_2 \, \delta_{22} ~+~ a_3 \, b_3 \, \delta_{33} \]

Mit der Definition von Kronecker-Delta, ist \( \delta_{11} ~=~ \delta_{22} ~=~ \delta_{33} ~=~ 1 \) und Du bekommst das Dir bekannte Skalarprodukt heraus: \[ a_i \, b_i ~=~ a_1 \, b_1 ~+~ a_2 \, b_2 ~+~ a_3 \, b_3 \]

Das Kronecker-Delta funktioniert!

Verfestige Dein Wissen zum Thema mithilfe der Aufgaben!

Kronecker-Delta Wissen verfestigen
Suchst Du nach weiteren Inhalten?
Weiterführende Inhalte
Weltkarte
Gehe zu...
Suche
Community
ONLINE 1
Gäste online: 1
Denker online: 0
Welt betreten
Statistiken