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Gradient

Was ist Gradient?

Gradient \( \vec{\nabla}\)ƒ - ist eine Ableitung der skalaren Funktion ƒ nach mehreren Variablen x,y,z..., sodass aus diesem skalaren Feld ƒ ein vektorielles Feld \( \vec{\nabla}\)ƒ entsteht. Andere Notationen: grad(ƒ) oder ∇ƒ.

Gradient eines skalaren Feldes ƒ kann mit dem Nabla-Operator \( \vec{\nabla} \) gebildet werden. Im dreidimensionalen Fall (d.h. drei Ortskomponenten) und in kartesischen Koordinanen (x,y,z) kann der Nabla-Operator folgendermaßen ausgeschrieben werden: \[ \vec{\nabla} = \left( \frac{ \partial }{ \partial{x} }, \frac{ \partial }{ \partial{y} }, \frac{ \partial }{ \partial{z} } \right) \] Die Komponenten des Nabla-Operators sind partielle Ableitungen einer skalaren Funktion ƒ(x,y,z) nach den Ortskoordinaten x, y und z. Nabla-Operator ähnelt zwar einem Vektor und kann in den meisten Fällen wie ein Vektor verarztet werden, ist aber kein Vektor!

Gradient berechnen: \[ \vec{\nabla}{f}\left(x,y,z \right) = \left( \frac{ \partial{f} }{ \partial{x} }, \frac{ \partial{f} }{ \partial{y} }, \frac{ \partial{f} }{ \partial{z} } \right)\] Wendest Du den Nabla-Operator \( \vec{\nabla} \) auf ein skalares Feld \(f\) an, bekommst Du ein vektorielles Feld \( \vec{\nabla}{f} \), genannt Gradientenfeld.

Da die erste Ableitung einer Funktion \(f\) der Steigung dieser Funktion entspricht, sind die Komponenten des entstandenen Gradientenfeldes, Steigungen in \(x-,y-\) und \(z-\)Richtung: \[ \vec{\nabla}{f}=\left(\begin{array}{c}Steigung~in~x-Richtung\\ Steigung~in~y-Richtung\\ Steigung~in~z-Richtung\end{array}\right) \] Der berechnete Gradient ist ein Vektorfeld und besitzt deshalb einen Betrag und eine Richtung, die zum steilsten Anstieg der Funktion \(f\) zeigt. Befindest Du Dich am Ort eines lokalen Extremums (Maximum oder Minimum) oder am Sattelpunkt einer Funktion dann ist Gradient der Nullvektor. Er ist aber auch dann Nullvektor, wenn die Funktion \(f\) konstant ist.

Warum Gradient zum steilsten Anstieg zeigt

Wenn Du in den berechneten Gradienten Koordinaten eines Ortes einsetzt, wirst Du beim Zeichnen des Gradientenfeldes feststellen, dass der Vektor an dem jeweiligen Ort in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt; sprich: der Betrag des Gradienten am diesem Ort ist am größten (der Betrag der Steigung ist am größten)! Das kannst Du Dir verdeutlichen, indem Du das Skalarprodukt des Gradienten mit einem normierten, beliebigen Vektor \(\vec{ v }\) betrachtest, der in die Richtung zeigt, in die Du Dich bewegen möchtest: \[\nabla{f}\cdot\vec{ v }\]

Geometrisch interpretiert lässt es sich auch schreiben als: \[\nabla{f}\cdot\vec{ v } = |\nabla{f}||\vec{v}|cos(\alpha)\] \(cos(\alpha)\) hat dabei sein Maximum bei 1, d.h. bei \(\alpha=0^{\circ}\). Während bei \(\alpha=90^{\circ}\) die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, sind sie bei \(\alpha=0^{\circ}\) parallel. Und parallele Vektoren haben gleiche Steigungen: \[\nabla{f}\cdot\vec{ v }=|\nabla{f}||\vec{v}|*1\] Da \(\vec{v}\) normiert ist, ist sein Betrag \(|\vec{v}| = 1\), d.h.: \[\nabla{f}\cdot\vec{ v }=|\nabla{f}|*1*1=|\nabla{f}| \] Für den steilsten Anstieg bleibt nur der Gradient über.

Richtungsableitung berechnen

Wenn Du nicht die Richtung des steilsten Anstiegs berechnen möchtest, sondern: Steigung in Richtung eines Vektors \(\vec{v}\): \[\nabla{f}\cdot\vec{ v }\]

  • Such Dir eine beliebige Richtung \(\vec{ v }\) aus und normiere sie, in dem Du den Vektor durch seinen Betrag teilst: \(\frac{ \vec{ v } }{ |\vec{ v }| }\)
  • Rechne den Gradienten \( \nabla{f} \) aus
  • Bilde Skalarprodukt vom normierten Vektor und dem Gradienten von \(f\) und berechne die Steigung in Richtung von \(\vec{v}\)

Gradient an einem Beispiel

Gegeben sei ein skalares Feld: ƒ(x,y,z) = 2x2+3y+xz und eine Richtung \(\vec{ v }\)=(1,1,0) in die Du Dich vom Ort \(\vec{ a }\)=(1,0,0) ein Stückchen bewegen möchtest. So gehst Du vor:

  1. Gradient berechnen - dazu leitest Du das gegebene Skalarfeld partiell nach jeder Ortskoordinate ab, die Du als Komponenten eines Gradientenfelds aufschreibst: \(\nabla{f} = \left(4x+z,3,x\right)\)
  2. Ortskoordinaten einsetzen: \(\left(4*1+0,3,1\right)=\left(4,3,1\right)\)
  3. Richtungsvektor normieren: \(\frac{ \vec{ v } }{ |\vec{ v }| } = \frac{ \left(1,1,0\right) }{ |\left(1,1,0\right)| } = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }\left(1,1,0\right) \)
  4. Skalarprodukt ausrechnen - \(\nabla{f}\cdot\vec{ v } = \left(4,3,1\right) \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \left(1,1,0\right) = \frac{ 7 }{ \sqrt{2} } \approx 4,95 \)

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