Alexander Fufaev

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Hier findest Du die Formel für Noether-Theorem, mit dem Du die Erhaltungsgrößen eines mechanischen Systems berechnen kannst.

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FormelNoether-Theorem

Möglichen Formen des Noether-Theorems

Noether-Theorem der Mechanik

\[ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon~=~0} ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_\alpha}~\frac{\partial q_\alpha}{\partial \epsilon} \right)\bigg\vert_{\epsilon~=~0} ~=~ 0 \]

Erweitertes Noether-Theorem der Mechanik

\[ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon~=~0} ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_\alpha}~\frac{\partial q_\alpha}{\partial \epsilon}\bigg\vert_{\epsilon~=~0} ~-~ \Lambda(q,\dot{q},t) \right) ~=~ 0 \]

Physikalische Größen in den Formeln

  1. Lagrange-Funktion \( \mathcal{L} \): [Einheit: \( J ~=~ \frac{kg \, m^2}{s^2} ~=~ N \, m \)] ist die Differenz der kinetischen und potentiellen Energie \( \mathcal{L} ~=~ T ~-~ V \).
  2. Funktion \( \Lambda \): ist im Allgemeinen in Abhängigkeit von generalisierten Koordinaten, Geschwindigkeit und der Zeit.
  3. Generalisierter Impuls \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_\alpha}\) - hat entweder die Einheit des Drehimpulses oder des linearen Impulses. Partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach den generalisierten Geschwindigkeiten \( \dot{q}_\alpha \).
  4. Scharparameter \( \epsilon \) - wird in Transformationen eingesetzt, um den Orts des zu verschieben, das System zu drehen oder in der Zeit zu verschieben.
  5. Anzahl der Freiheitsgrade \( r \).
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