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Formeln: Noether-Theorem

Noether-Theorem der Mechanik

\[ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon~=~0}~=~\frac{\text{d}}{\text{d}t}( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_\alpha}~\frac{\partial q_\alpha}{\partial\epsilon} )\bigg\vert_{\epsilon~=~0}~=~0 \]

Erweitertes Noether-Theorem der Mechanik

\[ \frac{\text{d}\mathcal{L}}{\text{d}\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon~=~0} ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_\alpha}~\frac{\partial q_\alpha}{\partial \epsilon}\bigg\vert_{\epsilon~=~0} ~-~ \Lambda(q,\dot{q},t) \right) ~=~ 0 \]

Erklärung der Formelzeichen

Lagrange-Funktion \( \mathcal{L} \) SI-Einheit: \( J ~=~ \frac{kg \, m^2}{s^2} ~=~ N \, m \) (Joule)

ist die Differenz der kinetischen und potentiellen Energie \( \mathcal{L} ~=~ T ~-~ V \).

Eine Funktion \( \Lambda \)

beliebige Funktion in Abhängigkeit von generalisierten Koordinaten, Geschwindigkeit und der Zeit.

Generalisierter Impuls \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_\alpha} \)

hat entweder die Einheit des Drehimpulses oder des linearen Impulses. Partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach den generalisierten Geschwindigkeiten \( \dot{q}_\alpha \).

Scharparameter \( \epsilon \)

wird in Transformationen eingesetzt, um den Orts des zu verschieben, das System zu drehen oder in der Zeit zu verschieben.

Anzahl der Freiheitsgrade \( r \)

des Systems.

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