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Aufgaben: Vorfaktor aus der Dirac'schen Deltafunktion herausziehen

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Zeige, dass \[ \delta(k \, x) ~=~ \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \] gilt und bestimmte daraus die Dimension der Deltafunktion.

Lösungstipps

Substituiere \( kx \) durch \( y \) und benutze die Eigenschaften der Deltafunktion. Benutze außerdem die Eigenschaft, dass zwei Funktion \( S(x) \) und \( T(x) \) (die Deltafunktionen beinhalten) genau dann gleich sind, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist: \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, S(x) ~ \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, T(x) ~ \text{d}x \]

Lösungen zur Aufgabe

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Im Lernartikel "Dirac'sche Deltafunktion" hast Du gelernt, dass: \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(x-c) ~ \text{d}x ~=~ 1 \] gilt. Daraus folgt insbesondere der - in dieser Aufgabe betrachtete - Fall \( c ~=~ 0 \): \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(x) ~ \text{d}x ~=~ 1 \]

Um diese Eigenschaft für die Aufgabe nutzen zu können, betrachtest Du das Integral: \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(k \, x) ~ \text{d}x \] wobei \( f(x) \) eine belibiege, stetige Funktion ist.

Das \( k \, x \) substituierst Du mit \( y ~=~ k \, x \). Dann ist die Ableitung von \( y \) nach \( x \): \[ \frac{\text{d}y}{\text{d}x} ~=~ k \]

Nach der Umstellung der Gleichung folgt das infinitesimale Element \[ \text{d}x ~=~ \frac{1}{k} \, \text{d}y \]

Die obere Integrationsgrenze \[ y_{oben} ~=~ k * \infty \] und die untere Integrationsgrenze \[ y_{unten} ~=~ k * (-\infty) \] bleiben gleich.

Einsetzen von \( \text{d}x ~=~ \frac{1}{k} \, \text{d}y \) und \( x ~=~ \frac{1}{k} \, y \) in das Integral, ergibt: \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(\frac{1}{k} \, y) \, \delta(y) ~ \frac{1}{k} \, \text{d}y \]

Da \( k \) eine beliebige Konstante sein darf (außer Null), kann sie auch negativ werden. Es können also 2 Fälle eintreten (\( k \) ist positiv oder negativ). Diese musst Du berücksichtigen.

Beide Fälle ergeben also: \[ \pm \int_{-\infty}^{\infty}f(\frac{1}{k} \, y) \, \delta(y) ~ \frac{1}{k} \, \text{d}y \]

Die Definition von der Deltafunktion besagt, dass \( \delta(y) \) genau dann nicht Null ist, wenn \( y ~=~ 0 \) ist. Du kannst also, die im Lernartikel zur Deltafunktion kennengelernte Beziehung (mit \( c~=~0 \)): \[ f(x) \, \delta(x) ~=~ f(0) \, \delta(x) \] in das obige Integral einsetzen: \[ \pm \int_{-\infty}^{\infty}f(\frac{1}{k} \, y) \, \delta(y) ~ \frac{1}{k} \, \text{d}y ~=~ \pm \int_{-\infty}^{\infty}f(0) \, \delta(y) ~ \frac{1}{k} \, \text{d}y \]

\( f(0) \) und \( \frac{1}{k} \) sind nur Konstanten, die Du vor das Integral herausziehen darfst. Weiteres Benutzen der Deltafunktion (fürs Integral) ergibt: \[ \pm \, \frac{1}{k} \, f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) ~ \, \text{d}y ~=~ \pm\frac{1}{k} \, f(0) ~=~ \frac{1}{|k|} \, f(0) \]

Du hast also bisjetzt gezeigt, dass \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(k \, x) ~ \text{d}x ~=~ \frac{1}{|k|} \, f(0) \]

\( \frac{1}{|k|} \, f(0) \) kannst Du auch umschreiben und zwar, in dem Du für \( f(0) \) die Deltafunktion einsetzt: \[ \frac{1}{|k|} \, f(0) ~=~ \frac{1}{|k|} \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(x) ~ \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \left( \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \right) ~ \text{d}x \]

Damit auch: \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(x) ~ \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \left( \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \right) ~ \text{d}x \]

Nun gilt die Gleichung \( \delta(kx) ~=~ \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \) genau dann, wenn das eben gezeigte Integral (siehe Lösungshinweis) \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \delta(x) ~ \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \, \frac{1}{|k|} \, \delta(x) ~ \text{d}x \] gilt. GEIL! Denn Du hast eben gezeigt, dass die beiden Integrale gleich sind!

Damit folgt die Behauptung: \[ \delta(kx) ~=~ \frac{1}{|k|} \, \delta(x) \]

Insbesondere folgt für \( k = -1 \): \[ \delta(-x) ~=~ \frac{1}{|-1|} \, \delta(x) ~=~ \delta(x) \]

Und, wenn \( x \) die Dimension der Länge hat, folgt aus dieser Eigenschaft die Dimension für \( \delta(x) \), nämlich \( \frac{1}{\text{Länge}} \).

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