1. Home
  2. Physik
  3. Aufgaben
  4. Kreisfrequenz des Elektrons im H-Atom im Bohr-Atommodell

Aufgaben: Kreisfrequenz des Elektrons im H-Atom im Bohr-Atommodell

Im Bohrschen Atommodell kreisen Elektronen auf Kreisbahnen um den Atomkern, die in bestimmten diskreten Abständen zum Kern sind. Die Kreisfrequenz eines Elektrons kann mit klassischen Mitteln berechnet werden und zwar ist diese Kreisfrequenz abhängig vom Abstand zum Kern.

Das solltest Du drauf haben...
  • Coulombsches Gesetz
  • Formeln der klassischen Mechanik
  • Bohrsches Atommodell (Quantenzahlen, quantisierter Drehimpuls)

Aufgabenstellung

Bestimme die klassische Kreisfrequenz \( \omega_n \) eines Elektrons - in Abhängigkeit vom Abstand zum Atomkern des Wasserstoffatoms, in dem Du die Quantenzahl \( n \) und die Quantisierung des Drehimpulses mit einbeziehst.

Lösungstipps

Benutze Coulombsches Gesetz, sowie Zentrifugalkraft für Deine Überlegungen. Mache Dir klar, wie Kreisfrequenz definiert ist. Bestimmte dann mit der Formel für quantisierten Drehimpuls den quantisierten Radius \( r_n \)

Lösungen zur Aufgabe

Lösung anzeigen

Um die Kreisfrequenz \( \omega_n \) eines klassischen Elektrons im H-Atom zu bestimmen, musst Du zuerst herausfinden, welche Bedingung das kreisende Elektron erfüllt. Im Bohrschen Atommodell bleibt es immer auf bestimmten Abstand \( r_n \) - in Abhängigkeit vom Energieniveau \( n \) - zum Atomkern des Wasserstoffatoms.

Damit der gleiche Abstand eingehalten wird, muss die Zentrifugalkraft \( F_Z \) die anziehende Kraft zwischen dem negativen Elektron und dem positiven Atomkern durch elektrische Kraft \( F_C \) - welche durch das Coulombsche Gesetz gegeben ist - ausgleichen. Setze also die beiden Kräfte gleich: \[ \frac{Q_1 \, Q_2}{4\pi \, \epsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ \frac{m \, v_{n}^2}{r_{n}} \]

Im Wasserstoffatom befindet sich im Atomkern ein positiv geladenes Proton \( Q_1 ~=~ e \). Es kreist auch nur ein einziges Elektron mit der Ladung \( Q_2 ~=~ e \). Ihre elektrischen Ladungen sind gleich und entsprechen der Elementarladung \( e ~=~ 1,602 ~*~ 10^{-19} \, C \).

Die Masse \( m ~=~ m_e \) ist die Masse des kreisenden Teilchens, also (näherungsweise, wenn es sich nicht zu schnell bewegt) die Ruhemasse des Elektrons \( m_e ~=~ 9,109 ~*~ 10^{-31} \, kg \). Die elektrische Feldkonstante \( \epsilon_0 \) findest Du auch in Deiner Formelsammlung.

Setzt Du nun die Ladungen und die Masse (noch nicht als Zahlen) ein, dann hast Du: \[ \frac{e^2}{4\pi \, \epsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ \frac{m_e \, v_{n}^2}{r_{n}} \]

Jetzt musst Du noch irgendwie auf die Kreisfrequenz \( \omega_n \) kommen. Und zwar am besten so, dass Du sie nur mit physikalischen Größen ausdrückst, die bereits in Deiner Gleichung vorhanden sind.

Die Umlaufzeit \( T_n \) (auch Periodendauer genannt) ist - in Deinem Fall - Umfang des Kreises (mit Quantenzahl \( n \) auf der das Elektron kreist) \( 2\pi \, r_n \) pro Geschwindigkeit \( v_n \). (Du weißt ja: Strecke pro Geschwindigkeit ist Zeit). Zusammengefasst: \[ T_n ~=~ \frac{2\pi \, r_n}{v_n} \]

Die Frequenz \( f_n \) ist definiert als \( \frac{1}{T_n} \). Du hast also folgenden Ausdruck für die Frequenz: \[ f ~=~ \frac{1}{T} ~=~ \frac{v_n}{2\pi \, r_n} \]

Die Kreisfrequenz ist ja definiert als \( \omega_n ~=~ 2\pi \, f \). Du musst also die obige Gleichung für Frequenz auf beiden Seiten mit \( 2\pi \) multiplizieren, um auf die Kreisfrequenz zu kommen: \[ \omega_n ~=~ \frac{v_n}{r_n} \]

Jetzt hast Du eine Kreisfrequenz-Gleichung, die nur Größen enthält, die in \( F_C ~=~ F_Z \) - Gleichung vorhanden sind; nämlich die Geschwindigkeit \( v_n \) und der Radius der Kreisbahn \( r_n \).

Nun kannst Du die Kreisfrequenz-Gleichung nach der Geschwindigkeit umformen \[ v_n ~=~ \omega_n \, r_n \] und sie in die \( F_C ~=~ F_Z \) - Gleichung einsetzen: \[ \frac{e^2}{4\pi \, \epsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ m_e \, \omega_{n}^2 \, r_n \]

Dabei kürzt sich ein \( r_n \) im Bruch weg. Du suchst ja die Formel für Kreisfrequenz, also forme die Gleichung nach der Kreisfrequenz um: \[ \omega_n ~=~ \sqrt{ \frac{e^2}{4\pi \, \epsilon_0 \, m_e \, r_{n}^3} } \]

Der Radius \( r_n \) ist Dir leider nicht bekannt und die Quantenzahl \( n \) ist in der Gleichung auch noch nicht vorhanden, deshalb benutzt Du den quantisierten Drehimpuls \( L_n ~=~ n \, \hbar \) \[ m_e \, v_n \, r_n ~=~ n \, \hbar \] um den Radius zu eliminieren und die Quantenzahl in Deine Hauptgleichung einzuführen. Dabei ist \( \hbar \) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} \).

Forme die Drehimpuls-Gleichung nach der Geschwindigkeit um \[ v_n ~=~ \frac{n \, \hbar}{m_e \, r_n} \] und setze sie in die Ausgangsgleichung \( F_Z ~=~ F_C \) ein: \[ \frac{e^2}{4\pi \, \epsilon_0 \, r_{n}^2} ~=~ \frac{n^2 \, \hbar^2}{r_{n}^3 \, m_e} \] dabei kürzt sich ein \( m_e \) weg.

Forme nach dem Radius \( r_n \): \[ r_n ~=~ \frac{4\pi \, \epsilon_0 \, n^2 \, \hbar^2}{e^2 \, m_e} \]

Das ist übrigens der Bohrsche Radius. Diesen setzt Du in die Gleichung für Kreisfrequenz ein: \[ \omega_n ~=~ \sqrt{ \frac{e^8 \, m_{e}^3 }{4\pi \, \epsilon_0 \, n^6 \, \hbar^6 \, 4^3 \, \pi^3 \epsilon_{0}^3 m_e} } \]

Kürze und ziehe die Wurzel. Dann hast Du Deine gesuchte Kreisfrequenz, die nur von Konstanten und der Quantenzahl \( n \) abhängt: \[ \omega_n ~=~ \frac{e^4 \, m_{e} }{16\pi^2 \, \epsilon_{0}^2 \, \hbar^3} \, \frac{1}{n^3} \]

Weltkarte
Gehe zu...
Suche
Community
ONLINE 1
Gäste online: 1
Denker online: 0
Welt betreten
Statistiken