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Aufgaben: Divergenz vom Vektorpotential eines magnetischen Dipols

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Überprüfe, ob Divergenz vom Vektorpotential \(\vec{A}\) eines magnetischen Dipols Null ergibt: div\( \left( \frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3} \right)\stackrel{?}{=}\) 0

Lösungshinweise

Schreibe Divergenz in Indexnotation um. Fasse dann die beiden Einheitsvektoren zu Kronecker-Delta zusammen und überlege Dir - nach der Anwendung der Produktregel -, welcher der Summanden wegfällt. Um dann zu sehen, warum der Ausdruck Null wird, vertausche (gerade) die Indizes beim Epsilon-Tensor so, dass dann Kreuzprodukt vom Ortsvektor mit sich selbst steht. Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt was?

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Der Divergenz-Operator in Indexnotation ist: div\( \vec{A} = \nabla\cdot{\vec{A}}=\vec{e}_{i}\partial_{i}\cdot\vec{e} \)jAj

Zusammen mit dem Kreuzprodukt in Indexnotation und dem Betrag des Ortsvektors \(\vec{r}\) als r=(xsxs)1/2, steht dann: \( \vec{e}\)ii · \( \vec{e} \)jεjknmkxn(xsxs)-3/2

Du darfst nur Konstanten vor den Differentialoperator i ziehen. In diesem Fall wirkt er auf die Komponenten des Ortsvektors, nämlich auf x,y und z. Deshalb darfst Du mk und \(\vec{e}\)j vorziehen, da sie keine Variablen enthalten nach denen Du ableiten musst. Dann fasst Du \( \vec{e}\)i\(\vec{e}\)j zu Kronecker-Delta δij zusammen. Insgesamt steht dann: εjknmkδijixn(xsxs)-3/2

Fasse z.B. δiji zusammen zu j und wende die Produktregel an: εjknmk((xsxs)-3/2jxn + xnj(xsxs)-3/2)

xn abgeleitet nach der j-ten Variable ergibt Null, wenn jn (z.B. 1x2=0), und ergibt Eins, wenn j=n (z.B. 3x3=1). Das entspricht der Kronecker-Delta δjn Definition. Ausmultpliziert kommt im ersten Summanden also εjknδjn vor. Dies ist immer Null, denn für j=n ist der Epsilon-Tensor Null und für jn ist Kronecker-Delta Null. Also fällt der erste Summand ganz weg!

Leite also nur im zweiten Summanden (xsxs)-3/2 nach der j-ten Variable ab. Hier fällt aber nichts weg, da über Index s summiert wird (z.B. bleibt bei 1(x1x1+x2x2+x3x3) ein 1x1x1 über!). Es bleibt bei der inneren Ableitung genau der Summand über, welcher den j-ten Index trägt. Nach dem Ableiten hast Du: εjknmkxn(xsxs)-5/2(-\( \frac{3}{2} \)2xj)

Zusammenfassen und Umordnen ergibt: -3r-5εjknmkxnxj

Für den letzten Schritt zum Ergebnis, wende einen sexy Trick an, um zu erkennen, dass Null herauskommt: Indizes beim Epsilon-Tensor kannst Du einmal gegen den Uhrzeigersinn drehen, ohne, dass sich etwas am Ergebnis ändert. Dann steht: -3r-5εknjmkxnxj

Wenn Du es noch nicht siehst, dass der Ausdruck Null ist, dann bist Du genauso dumm wie ich. Forme an dieser Stelle den Epsilon-Tensor wieder in ein Kreuzprodukt um, dann hast Du: -3r-5mk(\( \vec{r}\times\vec{r} \))k

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt immer Null. Rechne es nach, wenn Du mir nicht glaubst! Damit bist Du fertig. Insgesamt erfüllt das Vektorpotential des magnetischen Dipols die sogenannte Coulomb-Eichung: div(\( \vec{A} \)) = 0

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