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Aufgaben: BAC-CAB Regel herleiten

Das solltest Du drauf haben...

Aufgabenstellung

Schreibe doppeltes Kreuzprodukt \[ \vec{a} ~\times~ \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right) \] in die sogenannte BAC-CAB-Regel um: \[ \vec{b} \left( \vec{a} ~\cdot~ \vec{c} \right) ~-~ \vec{c} \left( \vec{a} ~\cdot~ \vec{b} \right) \]

Lösungshinweise

Versuch bloß nicht das doppelte Kreuzprodukt ohne Indexnotation umzuformen. Benutze stattdessen die Indexnotation! Alles, was Du dafür brauchst ist die Definition des Kreuzprodukts mit dem Epsilon-Tensor: \[ \vec{a} ~\times~ \vec{b} ~=~ \vec{e}_{i} \, \epsilon_{ijk} \, a_j \, b_k \] und das Kronecker-Delta.

Schreibe zuerst das äußere Kreuzprodukt und dann das innere Kreuzprodukt in Indexnotation um. Benutze dann eine wichtige Identität, die aus Kronecker-Delta's besteht... und fasse dann nach den Kronecker-Delta-Rechenregeln einiges zusammen. Dann kannst Du Skalarprodukte, die in Indexnotation sind, wieder in die Vektornotation umschreiben. Dann bist Du fertig!

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Wenn Du mit der Indexnotation noch nicht vertraut bist, geh lieber schrittweise vor... Schreibe zuerst eines der Kreuzprodukte in Indexnotation aus, in dem Du die Definition des Kreuzproduktes mithilfe des Epsilon-Tensors einsetzt. Ob Du zuerst das äußere oder das innere Kreuzprodukt umschreibst, spelt keine Rolle. Hier schreiben wir zuerst das äußere Kreuzprodukt um und zwar lassen wir die Summenzeichen weg, weil wir die Einsteinsche Summenkonvention verwenden. Beachte also, dass über doppelt auftretende Indizes summiert wird: \[ \vec{a} ~\times~ \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right) ~=~ \vec{e}_{i} \, \epsilon_{ijk} \, a_j \, \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_k \]

Jetzt stehen da noch die Basisvektoren \( \vec{e}_i \). Entweder kannst Du sie da stehen lassen und damit weiter umformen oder Du betrachtest einfach die i-te Komponente vom Kreuzprodukt. So musst Du nicht die Basisvektoren mitschleppen: \[ \left( \vec{a} ~\times~ \left( \vec{b} ~\times ~ \vec{c} \right) \right)_i ~=~ \epsilon_{ijk} \, a_j \, \left( \vec{b} ~\times~ \vec{c} \right)_k \]

Schreibe auch das innen stehende Kreuzprodukt \( \vec{b}\times\vec{c} \) in Indexnotation um. Beachte, dass Du hier keinen Vektor hast, sondern die k-te Komponente von diesem Vektor! So wie wir uns oben für die Betrachtung der Komponenten entschieden haben, sieht es hier ähnlich aus. Der Basisvektor \( \vec{e}_k \) darf hier also nicht vorkommen. Der Epsilon-Tensor muss aber sehr wohl ein k-Index aufweisen: \[ \left( \vec{a} ~\times~ \left( \vec{b} ~\times ~ \vec{c} \right) \right)_i ~=~ \epsilon_{ijk} \, a_j \, \epsilon_{kmn} \, b_m \, c_n \] Du darfst die Indizes von \(b_m\) und \(c_n\) frei wählen, beachte nur, dass sie nicht mit \(i\), \(j\) oder \(k\) übereinstimmen.

Und hier siehst Du hoffentlich schon den Vorteil der Indexnotation! Du hast das doppelte Kreuzprodukt so umgeschrieben, dass Du nur reine Zahlen auf der rechten Seite der Gleichung hast. Das heißt: Du darfst jetzt alle möglichen Klammern weglassen und Faktoren hin und her vertauschen. Mit Ausnahme von Operatoren, wie z.B. einem Differentialoperator, der eine Ableitung darstellt. Schon klar, dass es falsch wäre den Differentialoperator vorzuziehen und dann etwas ganz anderes abzuleiten... aber zum Glück kommen in Deinem Fall keine Operatoren vor! Also sieht die rechte Seite folgendermaßen aus: \[ \epsilon_{ijk} \, \epsilon_{kmn} \, a_j \, b_m \, c_n\]

Wie Du siehst, kommt im Produkt der beiden Epsilon-Tensoren ein gleicher Index \(k\) vor. Da könntest Du eine wichtige Identität anwenden, die in der Aufgabe "Produkt von zwei Epsilon-Tensoren" hergeleitet wurde: εkijεkmn = δimδjn - δjmδin. Um diese Identät anwenden zu können, musst Du zuerst Deine Epsilon-Tensoren in die gleiche Form bringen wie in der Identität.

Aus der Definition des Epsilon-Tensors weißt Du, dass eine gerade Vertauschung von Indizes des Epsilon-Tensors (\( ijk ~\rightarrow~ kij ~\rightarrow~ jki \)) nichts am Ergebnis ändert. Gerade vertauschen bedeutet alle Indizes "in eine Richtung zu rotieren". Um also die Idenität anwenden zu können, musst Du die Indizes einmal nach rechts rotieren: \[ \epsilon_{kij} \, \epsilon_{kmn} \, a_j \, b_m \, c_n\]

Jetzt kannst Du die Identät mit den Kronecker-Delta's einsetzen: \[ \left( \delta_{im} \, \delta_{jn} ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \right) \, a_j \, b_m \, c_n\]

Multipliziere die Klammer aus und wende die Rechenregeln von Kronecker-Delta an: \[ \delta_{im} \, \delta_{jn} \, a_j \, b_m \, c_n ~-~ \delta_{jm} \, \delta_{in} \, a_j \, b_m \, c_n ~=~ a_n \, b_i \, c_n ~-~ a_m \, b_m \, c_i \]

Dabei sind \( a_m \, b_m \) und \( a_n \, c_n \) Skalarprodukte in Indexnotation. Setze Definition des Skalarproduktes ein. Schreibe auch am besten die linke Seite wieder hin, um zu schauen, wie weit Du gekommen bist: \[ \left( \vec{a} ~\times~ \left( \vec{b} ~\times ~ \vec{c} \right) \right)_i ~=~ b_i \, \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) ~-~ c_i \, \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) \]

Das ist also die Gleichung für die \(i\)-te Komponente des Vektors (des doppelten Kreuzproduktes). Wenn Du den Basisvektor \( \vec{e}_i \), den Du am Anfang weggelassen hast, wieder miteinbeziehst, bekommst Du eine Gleichung in Vektorschreibweise. Diese kannst Du Dir gleich als BAC-CAB-Regel merken: \[ \vec{a} ~\times~ \left( \vec{b} ~\times ~ \vec{c} \right) ~=~ \vec{b} \, \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) ~-~ \vec{c} \, \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) \]

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